Лекция-Корреляция-
.pdf
После нахождения выборочных уравнений линий регрессии следует проверить нулевую гипотезу об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными. Для этого выполняют следующие шаги:
1. Вычисляют наблюдаемое значение критерия
t |
|
|
r |
|
n |
|
B |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
набл |
|
|
1 |
r |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
B |
Стьюдента с k
2 |
, который имеет распределение |
|
n 2 |
степенями свободы. |
2. Вычисляют критическое
по |
таблице |
(приложение |
||||
значение критерия t |
|
t |
|
|
||
крит |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
;
4) |
||
k |
|
, |
|
||
где − уровень значимости. |
|
||||
3. Решение принимают после |
|||||
значений. Если |
t |
набл |
t |
крит |
, |
|
|
|
|
||
сравнения найденных то нулевая гипотеза
отвергается, |
а |
это |
значит, |
что выборочный |
||
коэффициент корреляции значимо отличается от |
||||||
нуля |
и |
выявленная |
линейная корреляционная |
|||
зависимость не является следствием случайного |
||||||
отбора переменных в выборку. |
|
|||||
Пример. Дана корреляционная таблица. Найти выборочный коэффициент корреляции, выборочные уравнения регрессиина и на . Проверить гипотезу об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными.
y |
i |
20 |
23 |
26 |
29 |
32 |
|
||||||
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
47 |
|
11 |
5 |
|
|
|
57 |
|
2 |
13 |
7 |
|
|
67 |
|
|
1 |
6 |
3 |
|
77 |
|
|
|
6 |
6 |
6 |
87 |
|
|
|
|
4 |
6 |
Решение. Сначала вычислим компоненты выборочных
коэффициентов |
регрессии, |
|
а |
|
именно: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
k |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y j |
n j |
|
|
|
xi y j nij |
|
|
|
|||||||||||
|
y |
j 1 |
|
, |
|
|
xy |
|
i 1 j 1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2j |
n j |
|
|
|
|
|
|
xy x y |
|
|
|
||||||
|
y2 |
|
j 1 |
|
|
, |
rB |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
y |
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k |
|
i |
|
|
|
i |
||
|
x |
x |
n |
||
|
i 1 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k |
|
i |
|
|
|
i |
||
|
|
|
x |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
i 1 |
|
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
. Для этого
2
расширим исходную таблицу следующим образом:
y |
i |
|
xi
47
57
67
77
87
n j
20 |
23 |
26 |
29 |
32 |
11 |
5 |
|
|
|
2 |
13 |
7 |
|
|
|
1 |
6 |
3 |
|
|
|
6 |
6 |
6 |
|
|
|
4 |
6 |
13 |
19 |
19 |
13 |
12 |
ni
16
22
10
18
10
n=76
Откуда получаем следующие значения:
x |
47 16 57 22 67 10 77 18 87 10 |
64,89 |
, |
|||
|
76 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
20 13 23 19 26 19 29 13 32 12 |
25,68 |
, |
|
||
|
76 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
xy |
47 20 11 47 23 5 57 20 2 57 23 13 ... 87 29 4 87 32 6 |
|||||
76 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1713,87
,
x2 472 16 572 22 672 10 772 18 872 10 4396,37, 76
y2 202 13 232 19 262 19 292 13 322 12 675, 21, 76
|
* |
|
4396,37 64,89 |
2 |
|
||||
x |
|
|||
|
|
|
|
13,626
и
|
* |
|
675, 21 25,68 |
2 |
3,968, |
|
|||||
y |
|
||||
|
|
|
|
|
r |
|
1713,87 64,89 25,68 |
0,8784 |
|||||
|
|
|
|
|||||
B |
|
|
13,626 |
3,968 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
0,8784 |
13,626 |
3,02 |
и |
|||
xy |
3,968 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0,8784 |
3,968 |
0, 26. |
||||
yx |
13,626 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
,
Следовательно:
1) |
x |
y
64,89 3,02 y 25,68
− уравнение выборочной регрессии
X
на
Y
;
2) |
y |
x
25,68 0, 26 x 64,89
− уравнение выборочной
регрессии Y на X .
Выборочный коэффициент корреляции получился близким к единице, проверим, случайно это или нет.
Наблюдаемое значение критерия
tнабл |
0,8784 |
76 2 |
15,81. |
|
|
|
2 |
||
|
1 0,8784 |
|
||
|
|
|
||
Критическое |
значение |
t |
крит |
t |
1 0, 05;74 |
|
1,99 |
. |
Так как |
||
|
|
|
|
|
|||||||
15,81 1,99, |
то |
гипотезу |
|
о |
случайности |
|
линейной |
||||
корреляционной связи между переменными следует отбросить, т.е. коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.