![](/user_photo/65345__13Zm.jpg)
УП Нелинейные цепи 2011
.pdf![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv11x1.jpg)
ределенных значений частоты токов и напряжений. Выше этих значений (из-за влияния емкостей переходного слоя) их свойства изменяются настолько, что эффект выпрямления может исчезнуть полностью. При расчетах необходимо знать, для какого диапазона частот применима та или иная характеристика НЭ.
|
|
|
iб |
|
iк |
|
|
iк |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eн |
|
|
i33 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
i32 |
|
|
|
||
|
Ey |
|
э.к |
|
|
|
|
|
|
i31 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
iэ |
|
|
|
|
|
rн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i < i < i |
uэ.к |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2. Схема включения транзистора |
Рис. 1.3. Выходные характеристики |
||||||||||||||||
|
с общим эмиттером |
|
|
|
транзистора |
|
|
1.2. Параметры нелинейных элементов
При исследовании нелинейных электрических цепей в основном исполь-
зуются две группы параметров: статические и дифференциальные, определяе-
мые по статическим характеристикам НЭ. В случае ВАХ имеют дело со статиче-
скими или дифференциальными сопротивлениями (проводимостями). Будем обозначать их соответственно rст, gст и rд, gд .
Требуется определить статические и дифференциальные параметры, на-
пример, в точке b характеристики рис. 1.4, а.
i |
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|||
c |
u |
||
0 |
|
||
|
|
а б
Рис. 1.4. Определение параметров НЭ с восходящей ВАХ (а) и падающим участком ВАХ (б)
10
![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv12x1.jpg)
Сопротивление rст пропорционально тангенсу угла между отрезком оb,
проходящим через начало координат, и осью токов:
r |
u |
|
muab |
|
mu |
tg ktg , |
|
|
|
||||
ст |
i mbc |
|
m |
|||
|
|
|
i |
|
i |
где mu и mi – соответственно масштабы напряжений и токов.
Проводимость gст находится как обратная величина:
1
gст rст , rстgст 1.
(1.1)
(1.2)
Дифференциальное сопротивление rд пропорционально тангенсу угла
наклона касательной к характеристике:
r |
du |
|
mu |
tg ktg , |
(1.3) |
|
di |
m |
|||||
д |
|
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
а дифференциальная проводимость
g |
|
|
1 |
, |
r g |
|
1. |
(1.4) |
|
r |
|
||||||
|
д |
|
|
д |
д |
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
Статические параметры всегда положительны:
rст 0, gст 0. |
(1.5) |
Дифференциальное сопротивление (проводимость) положительно для восходящих участков ВАХ и отрицательно для падающих. Например, для ВАХ
(см. рис. 1.4, б):
r ktg 0, |
|
, tg 0; |
|||
|
|||||
ст |
2 |
(1.6) |
|||
|
|||||
|
|
|
|||
r ktg 0, |
, tg 0. |
||||
|
|||||
д |
2 |
|
|
||
|
|
|
Поэтому падающие участки ВАХ называют еще участками с отрицатель-
ными дифференциальными сопротивлениями (проводимостями).
По аналогии с сопротивлениями и проводимостями используются также понятия статических и дифференциальных индуктивностей, магнитных прони-
цаемостей и других параметров.
11
1.3. Свойства нелинейных элементов
Предположим, что к бареттеру приложено синусоидальное напряжение.
Если частота напряжения достаточно мала, то в координатах i, и (мгновенные значения) ВАХ имеет вид кривой, приведенной на рис. 1.1, б. При повышении частоты ВАХ бареттера изменяется и при каком-то значении превращает-
ся в линейную. Нелинейность проявляется только в координатах I, U (дейст-
вующие значения).
Объясняется это тем, что бареттер обладает тепловой инерцией и его со-
противление изменяется настолько медленно, что остается практически посто-
янным в пределах периода, если частота тока достаточно высока. Как следствие
– линейность ВАХ в координатах i, и. Изменение действующего значения тока,
которым определяется тепловое действие, более медленное, и ВАХ в координа-
тах I, U остается нелинейной.
Нелинейные элементы, обладающие такими свойствами, называются инерционными. Кроме бареттера, к этой группе относятся лампы накаливания,
различные терморезисторы. Кривые тока и напряжения этих НЭ при низких частотах неодинаковы, так как сказывается нелинейность ВАХ для мгновенных значений. При повышенных частотах ток и напряжение имеют одинаковую форму.
Большинство НЭ такой двойственностью не обладает и составляет важ-
ный класс безынерционных НЭ. Нелинейность их характеристик вызвана нете-
пловыми процессами, поэтому в любых условиях (кроме цепей постоянного то-
ка) напряжения и токи различаются по форме.
Если напряжение считать входной величиной НЭ, а ток – выходной, то говорят, что их спектры не совпадают, или, другими словами, безынерционные НЭ преобразуют спектр входного сигнала.
Это важное свойство безынерционных НЭ является принципиальной ос-
новой тех эффектов, которые реализуются в нелинейных цепях и находят ши-
рокое практическое применение.
В качестве примера на рис. 1.5, а приведена схема с диодом VD и рези-
стором r. Характеристика диода (см. рис. 1.1, в) заменена ВАХ идеализирован-
ного диода (рис. 1.5, б), у которого прямое сопротивление принято постоянным,
а обратное – бесконечно большим. Такой прием применяется для упрощения расчетов при исследовании различных полупроводниковых преобразователей.
12
![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv14x1.jpg)
В рассматриваемом случае он упрощает математическое описание тока в схеме
(рис. 1.5, а).
VD |
r |
u |
i |
i
rпр const
u
i 2 1 |
3 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
u |
0 |
t |
u
t
Рис. 1.5. Схема с диодом (а), идеализированная ВАХ (б) и графическое определение формы кривой тока (в)
Входное напряжение u Um sin t изображено на рис. 1.5, в. Под его воз-
действием в схеме возникает ток, форма которого определяется эквивалентной ВАХ схемы 3, найденном суммированием абсцисс ВАХ диода 1 и резистора 2.
Кривая тока несинусоидальна. В отличие от напряжения ток содержит постоянную составляющую, ряд высших гармоник и описывается выражением:
|
I |
|
|
|
|
|
i(t) |
m |
sin t 2 |
||||
|
1 |
|
||||
|
2 |
|||||
|
|
k 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2k t . |
(1.7) |
4k |
2 |
1 |
|||
|
|
|
13
![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv15x1.jpg)
С помощью диода VD в схеме (см. рис. 1.5, а) осуществляется так назы-
ваемое однополупериодное выпрямление.
На рис. 1.6 приведена кривая тока в катушке с ферромагнитным сердеч-
ником при синусоидальном магнитном потоке, и показан способ ее построения.
Такой режим возникает при синусоидальном входном напряжении, если сопро-
тивление катушки очень мало и может быть принято равным нулю. Тем самым исключается влияние падения напряжения в активном сопротивлении, которое по форме совпадает с током, то есть несинусоидально.
Ф Ф,i
Ф
i
0 |
i |
0 |
t |
Рис. 1.6. Графический метод расчета кривой тока в катушке с ферромагнитным сердечником
Это пример с неоднозначной характеристикой. В качестве входной коор-
динаты принят магнитный поток, а выходной – ток. Влияние неоднозначности зависимости (i) выражается в том, что ток в каждом полупериоде несиммет-
ричен относительно вертикальной оси.
Приведенные примеры позволяют судить о принципиальном отличии не-
линейных элементов от линейных. Постоянство параметров линейных элементов не позволяет осуществить подобное преобразование спектров входных сигналов.
14
![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv16x1.jpg)
2.НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1.Графические методы расчета нелинейных электрических цепей
постоянного тока
Рассматриваются цепи с НЭ, задаваемыми ВАХ. Графические методы ис-
следования таких цепей привлекают простотой и отсутствием необходимости аналитического представления характеристик НЭ. Как и в случае линейных це-
пей, расчет строится на использовании законов Кирхгофа.
Рассмотрим особенности методов на отдельных примерах.
На рис. 2.1, а показано последовательное соединение двух НЭ r1(i) и r2(i).
Задано входное напряжение uвх U const, ВАХ этих НЭ и требуется найти ток I.
r1 |
r2 |
U1 |
U2 |
U |
|
|
I |
i |
1 |
2 |
3 |
I |
|
|
|
0 U1 U2 U u
а б
Рис. 2.1. Расчетная схема с последовательным соединением НЭ (а) и результаты графического расчета тока и напряжений в ней (б)
По второму закону Кирхгофа |
|
U1 U2 U. |
(2.1) |
Составляющие левой части (2.1) для установившегося режима неизвест-
ны так же, как и ток I. Поэтому сначала на один график наносится ВАХ 1 и
ВАХ 2 нелинейных элементов, строится результирующая ВАХ 3 схемы сумми-
рованием в соответствии с (2.1) абсцисс характеристик, и только затем по кри-
вой 3 определяется искомый ток. Для этого заданное значение U сносится вверх
до пересечения с результирующей ВАХ (рис. 2.1, б), полученная точка далее
переносится по горизонтали на ось токов. Пересечение горизонтали с ВАХ 1 и 2 дает искомые значения напряжений U1 и U2 .
При параллельном соединении (рис. 2.2, а) |
|
I1 I2 I. |
(2.2) |
15 |
|
![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv17x1.jpg)
На рис. 2.2, б в соответствии с (2.2) складываются ординаты ВАХ 1 и 2.
По результирующей характеристике находится общий ток I, а по кривым 1 и 2 –
токи I1 и I2 .
|
I |
|
i |
3 |
1 |
2 |
|
I1 |
I2 |
||||
|
|
|||||
|
I |
|
|
|
||
U |
g1 |
g2 |
I |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
0 U u
а |
б |
Рис. 2.2.Расчетная схема параллельным соединением НЭ (а) и результаты графического расчета токов в ней (б)
Режим в схеме (рис. 2.3, а) с последовательно-параллельным соединением
элементов рассчитывается в два этапа.
|
|
|
|
|
r1 |
I |
1 |
|
|
a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
I3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
r3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
||||||
i |
i1(uab) |
2 |
|
|
|
|
|
i |
|
i1(uab) |
1 |
i1(U)
|
3 |
|
|
|
I2 |
|
I1 |
|
|
0 Uab |
u |
0 Uab |
U |
u |
б |
|
|
в |
|
Рис. 2.3.Расчетная схема с последовательно-параллельным соединением НЭ (а) и результаты графического расчета токов и напряжения в ней (б, в)
16
![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv18x1.jpg)
Сначала по правилам параллельного соединения находится результирую-
щая ВАХ i1(uab)(см. рис. 2.3, б). При этом складываются ординаты характери-
стик второго и третьего НЭ. Затем по правилам последовательного соединения находится результирующая ВАХ цепи i1(uвх ) суммированием абсцисс ВАХ пер-
вого НЭ и зависимости i1(uab) (рис. 2.3, в).
Результирующая характеристика i1(uвх ) позволяет найти общий ток цепи I1
(см. рис. 2.3, в). По току I1 определяются напряжение Uab и токи ветвей I2 , I3.
Аналогично рассчитываются и более сложные двухполюсники, состоя-
щие из последовательных и параллельных участков.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В электрических цепях встречаются ветви, содержащие источники ЭДС или тока. Чтобы применить те же правила, удобно для таких ветвей сначала построить эквивалентные харак-
теристики ветвей. Например, для схем рис. 2.4, а, б, содержащих НЭ и источни-
ки ЭДС, эквивалентные ВАХ (штриховые линии) находятся сдвигом ВАХ не-
линейного элемента влево или вправо.
r |
E |
|
|
|
I |
r |
E |
|
|
|
I |
i |
i |
u |
u |
E |
E |
а |
б |
Рис. 2.4. Схема и результирующая ВАХ при положительном (а) и отрицательном (б) направлениях ЭДС относительно тока
Направление смещения определяется простым правилом: если закоротить входные зажимы схем (U 0), то в первом случае значение тока на оси ординат должно быть положительным, что свидетельствует о необходимости смещения
17
![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv19x1.jpg)
ВАХ влево. Во второй схеме при тех же условиях ток будет отрицателен, а ре-
зультирующая ВАХ расположится правее ВАХ нелинейного элемента.
Для исследования схем, содержащих два узла, или приводящихся к ним,
применяется метод двух узлов.
Если в сложной электрической цепи существует только одна ветвь, со-
держащая НЭ, то ток в этой ветви может быть определен с применением метода эквивалентного источника.
Применение методов двух узлов и эквивалентного источника подробно рассмотрено ниже в п. 2.3.2.2 и 2.3.2.3 соответственно.
2.2.Особенности применения аналитических и численных способов расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока
В установившихся режимах такие цепи описываются нелинейными ал-
гебраическими уравнениями, решение которых аналитическим путем может
быть получено только в простейших случаях. Напри- |
|
I |
|||||||
мер, требуется найти ток в схеме рис. 2.5, если заданы |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
входное напряжение U и ВАХ, аппроксимированная |
|
|
|
|
|
r |
|||
|
|
|
|
|
|||||
выражением i a au a |
u2. Подстановка значения |
|
U |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
U в это выражение сразу дает искомую величину тока. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
В большинстве случаев требуется применение |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рис. 2.5. Расчетная |
||||||||
численных методов. |
Например, расчет тока в схеме |
|
|||||||
|
|
|
|
|
схема |
рис. 2.5 выглядит совершенно иначе, если ВАХ ап-
проксимирована выражением u b0 bi1 b2i2 . Здесь известная величина U
находится в левой части уравнения и ток нельзя найти простой подстановкой.
С такой ситуацией приходится встречаться при решении различных прак-
тических задач. Поэтому нельзя применять методы решения линейных алгебраи-
ческих уравнений, а используются итерационные процедуры, основой которых
являются идеи метода простой итерации или последовательных приближении.
Суть последних состоит в следующем. |
|
Имеется нелинейное уравнение |
|
f (x) 0. |
(2.3) |
Это уравнение представляется в виде |
|
x (x), |
(2.4) |
и образуется итерационная формула |
|
xk 1 (xk ), |
(2.5) |
18 |
|
![](/html/65345/189/html_pGd0VcTmsB.jjFr/htmlconvd-kHNMQv20x1.jpg)
где k – номер приближения.
Сходимость вычислений обеспечивается, если по модулю
|
(2.6) |
(x) 1. |
Переход от (2.3) к (2.4) можно осуществлять различными путями, но удовлетворяет лишь тот, который приводит к выполнению условия (2.6). Во многих случаях удобно (2.4) реализовать в следующем виде:
x (x) x f (x), |
(2.7) |
где – коэффициент или функция, удовлетворяющие (2.6).
Чем меньше производная (2.6), тем меньшее количество шагов (прибли-
жений) потребуется для нахождения корня уравнения Следовательно, наилуч-
шим вариантом является условие |
|
|
|
|
можно |
|
(x) 0. При его использовании |
||||||
найти из уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(2.8) |
|
|
. |
|||||
(x) 1 f |
(x) 0, |
f (x)
Количество вычислений зависит также от близости начального прибли-
жения к точному значению корня уравнения.
Аналогичные процедуры применяются и для сложных цепей, только уравнения (2.3) и (2.4) заменяются системами уравнений, составленными по за-
конам Кирхгофа или по методам контурных токов, узловых потенциалов, опре-
деляющих величин:
x1 |
1(x1, x2,..., xn ), |
|||
|
2 |
(x1, x2 |
,..., xn ), |
|
x2 |
||||
|
|
|
|
(2.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n |
(x , x |
,..., x ). |
n |
|
1 2 |
n |
Вместо (2.6) записывается матрица
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
1 |
, |
, |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(x) |
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
2 |
, |
, |
3 |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
x1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
, |
|
n |
, |
, |
|
n |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
xn |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|