УП Нелинейные цепи 2011
.pdfкоторая называется матрицей Якоби.
Итерационный процесс сходится, если одна из норм этой матрицы меньше
единицы. Итерационная формула (2.5) реализуется в матричной форме.
Уравнение (2.7) в матричной форме принимает следующий вид: |
|
|
x (x) x f (x), |
(2.11) |
|
где матрица должна быть неособенной. |
|
|
Уравнению (2.8), а также (2.10) соответствует матричное уравнение: |
|
|
|
|
(2.12) |
(x) E f |
(x), |
где E – единичная матрица.
Процесс итерации для системы (2.12) сходится, если, как и в случае (2.6),
матрица (2.12) мала по норме, поэтому последняя приравнивается к нулю; а на-
ходится матрица :
f |
|
1 |
, |
(2.13) |
(x) |
|
где f (x) 1 – обратная матрица.
Процедура определения корней системы уравнений (2.9) строится так же,
только операции на каждом шаге проводятся с матрицами и векторами (матри-
цами-столбцами), порядок которых соответствует порядку системы (2.9).
2.3. Самостоятельная работа № 1 по расчету нелинейной электрической
цепи постоянного тока
2.3.1.Задание на самостоятельную работу № 1
Вработе необходимо определить токи ветвей любым методом, рассмот-
ренным в п. 2 (если он не указан преподавателем).
Номер схемы выбирается в соответствии с вариантом V (для студентов очного обучения – номером по списку преподавателя).
Номер варианта V студенты заочного факультета выбирают по формуле:
V MN P, |
(2.14) |
где MN – две последние цифры шифра студента; |
|
P – число (Р = 0 при MN = 0 30; Р = 30 |
при MN = 31 60; Р = 60 при |
MN = 61 90; Р = 90 при MN = 91 99). При MN = 0 номер варианта V = 30.
Пример: шифр студента 7588, MN = 88, Р = 60, V = 88 – 60 = 28.
20
Обобщенная схема индивидуального задания представлена на рис. 2.6.
Параметры схемы заданы в табл. 2.1 и 2.2. Из обобщенной схемы необходимо удалить те элементы, для которых параметры в строке табл. 2.1 и 2.2, соответ-
ствующей варианту, не указаны (т.е. стоит прочерк). Вольт-амперные характе-
ристики нелинейных элементов ВАХ 1 и ВАХ 2 приведены соответственно на рис. 2.7 и 2.8.
|
r1 |
|
|
r2 |
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
НЭ1 НЭ2 НЭ3
E1 |
E2 |
E3 |
Рис. 2.6. Обобщенная схема индивидуального задания
U,В |
|
|
|
|
|
|
|
U,В |
|
|
|
|
|
|
|
||||
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 2 3 4 5 I,А |
|
0 |
|
1 2 3 4 5 I,А |
||||||||||||
|
Рис.2.7. Вольт-амперная |
|
Рис.2.8. Вольт-амперная |
||||||||||||||||
|
характеристика НЭ ВАХ 1 |
|
характеристика НЭ ВАХ 2 |
21
Т а б л и ц а 2.1
Исходные данные для самостоятельной работы № 1
Номер |
E1, В |
E2, В |
E3, В |
r1, Ом |
r2, Ом |
r3, Ом |
|
варианта |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
1 |
30 |
– |
– |
10 |
– |
– |
|
2 |
– |
30 |
– |
10 |
10 |
– |
|
3 |
20 |
30 |
– |
10 |
10 |
– |
|
4 |
– |
50 |
– |
20 |
– |
– |
|
5 |
– |
– |
50 |
– |
40 |
10 |
|
6 |
– |
– |
30 |
– |
– |
– |
|
7 |
– |
50 |
60 |
– |
– |
– |
|
8 |
– |
30 |
– |
10 |
– |
20 |
|
9 |
– |
– |
20 |
10 |
– |
5 |
|
10 |
30 |
– |
– |
5 |
5 |
20 |
|
11 |
– |
50 |
– |
20 |
5 |
10 |
|
12 |
– |
30 |
– |
5 |
– |
20 |
|
13 |
– |
40 |
– |
20 |
– |
10 |
|
14 |
– |
– |
40 |
20 |
– |
5 |
|
15 |
40 |
– |
– |
5 |
20 |
– |
|
16 |
– |
– |
30 |
– |
– |
10 |
|
17 |
30 |
– |
– |
10 |
– |
10 |
|
18 |
30 |
– |
20 |
10 |
– |
10 |
|
19 |
50 |
– |
– |
– |
– |
20 |
|
20 |
– |
50 |
– |
40 |
10 |
– |
|
21 |
– |
30 |
– |
– |
– |
– |
|
22 |
50 |
60 |
– |
– |
– |
– |
|
23 |
30 |
– |
– |
– |
20 |
10 |
|
24 |
– |
20 |
– |
– |
5 |
10 |
|
25 |
– |
– |
30 |
5 |
20 |
5 |
|
26 |
50 |
– |
– |
5 |
10 |
20 |
|
27 |
30 |
– |
– |
– |
20 |
5 |
|
28 |
40 |
– |
– |
– |
10 |
20 |
|
29 |
– |
40 |
– |
– |
5 |
20 |
|
30 |
– |
– |
40 |
20 |
– |
5 |
22
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2.2 |
|
Исходные данные для самостоятельной работы № 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
ВАХ нелинейных элементов |
|
||
варианта |
НЭ1 |
|
НЭ2 |
|
НЭ3 |
1 |
– |
|
ВАХ1 |
|
ВАХ2 |
2 |
ВАХ1 |
|
– |
|
ВАХ2 |
3 |
– |
|
– |
|
ВАХ1 |
4 |
– |
|
ВАХ1 |
|
ВАХ2 |
5 |
ВАХ1 |
|
– |
|
– |
6 |
ВАХ2 |
|
ВАХ2 |
|
ВАХ1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
ВАХ2 |
|
ВАХ1 |
|
ВАХ1 |
|
|
|
|
|
|
8 |
– |
|
ВАХ1 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
9 |
– |
|
ВАХ2 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
10 |
– |
|
ВАХ1 |
|
– |
11 |
– |
|
ВАХ1 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
12 |
ВАХ1 |
|
– |
|
– |
13 |
– |
|
ВАХ1 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
14 |
– |
|
ВАХ2 |
|
– |
15 |
– |
|
– |
|
ВАХ2 |
|
|
|
|
|
|
16 |
ВАХ2 |
|
ВАХ1 |
|
– |
17 |
– |
|
ВАХ2 |
|
ВАХ1 |
|
|
|
|
|
|
18 |
– |
|
ВАХ1 |
|
– |
|
|
|
|
|
|
19 |
ВАХ1 |
|
ВАХ2 |
|
– |
20 |
– |
|
– |
|
ВАХ1 |
21 |
ВАХ2 |
|
ВАХ1 |
|
ВАХ2 |
22 |
ВАХ1 |
|
ВАХ1 |
|
ВАХ2 |
23 |
ВАХ1 |
|
– |
|
– |
24 |
ВАХ2 |
|
– |
|
– |
|
|
|
|
|
|
25 |
ВАХ1 |
|
– |
|
– |
26 |
ВАХ1 |
|
– |
|
– |
27 |
– |
|
– |
|
ВАХ1 |
28 |
ВАХ1 |
|
– |
|
– |
29 |
ВАХ2 |
|
– |
|
– |
30 |
– |
|
ВАХ1 |
|
– |
|
|
23 |
|
|
2.3.2.Примеры расчета
Всхеме, приведенной на рис. 2.9, необходимо определить токи ветвей.
ВАХ нелинейного элемента приведена на рис. 2.10. Параметры цепи: E 40 B,
r1 4 Ом, r2 20 Ом.
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НЭ |
|
|
U |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 6 8 A 12 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|||||||||
Рис. 2.9. Расчетная схема |
Рис. 2.10. ВАХ нелинейного элемента |
2.3.2.1. Решение графическим методом (последовательно-параллельное соединение элементов)
Построим в одних координатных осях ВАХ линейных сопротивлений r1
(зависимость 1), r2 (зависимость 2) и нелинейного элемента НЭ (зависимость 3) (рис. 2.11) . ВАХ линейного сопротивления представляет собой прямую линию,
проведенную через начало координатной оси и любую точку, определяемую по
закону |
Ома. Например, для r1 4 Ом зададимся током |
I1 10 А, тогда |
U1 I1r1 |
40 В. Тогда ВАХ сопротивления r1 представляет собой прямую, про- |
ходящую через начало координат и точку с полученными координатами (зави-
симость 1). Аналогично строится ВАХ для сопротивления r2 (зависимость 2).
Затем по правилу сложения ВАХ при параллельном соединении элементов про-
суммируем характеристики НЭ и r2 по току (зависимость 4 на рис. 2.11). Ре-
зультирующую ВАХ цепи относительно ЭДС E1 построим по правилу сложе-
ния характеристик при последовательном соединении элементов, т.е. просум-
мируем ВАХ сопротивления r1 (зависимость 1) и зависимость 4 по напряжению
(зависимость 5 на рис. 2.11). По заданному значению ЭДС определим ток I1
(I1 4,8 А). Пересечение перпендикуляра к оси абсцисс в точке I1 4,8 А с за-
висимостью 4 даст значение напряжения Uаb (Uаb 20 В). По пересечению
24
перпендикуляра к оси ординат в точке Uаb |
20 В с зависимостями 2 и 3 опре- |
|||||||
делим соответственно токи I2 0,8 А и I3 4 А. |
|
|
||||||
|
50 |
2 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
В E |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
Uаb |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
I |
3 |
I1 |
|
|
|
|
0 |
2 |
|
6 |
8 |
A |
12 |
|
|
2 |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
Рис. 2.11. Процесс и результаты расчета |
||||||||
2.3.2.2. Решение методом двух узлов |
Выразим напряжение Uаb через токи ветвей I1, I2 |
и I3. Для этого запи- |
|||||||||||||||||||||
шем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров, изображенных на рис. 2.12. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НЭ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
UНЭ |
( |
|
I3) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Uаb |
|
|
|
|
|
|
|
Uаb |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uаb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
E |
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
а |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|||||||
Рис. 2.12. Контуры, образованные ветвями расчетной схемы: первой (а), |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
второй (б) и третьей (в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для первого контура (рис. 2.12, а ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Uаb I1r1 |
E; |
Uаb(I1) E I1r1 |
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
||||||||
Для второго контура (рис. 2.12, б ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Uаb I2r2 |
|
0; |
Uаb(I2) I2r2 |
|
|
|
|
|
|
(2.16) |
|||||||
Для третьего контура (рис. 2.12, в): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uаb Uнэ(I3) 0; |
Uаb (I3) Uнэ(I3) |
(2.17) |
Построим полученные зависимости Uаb(I1), Uаb(I2), Uаb(I3) |
в одной сис- |
теме координат, задаваясь значениями тока (рис. 2.13).
50 |
|
Uаb(I2) |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Uаb(I3) |
||
30 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
U |
U |
аb |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
Uаb(I1) |
|
|
10 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
I2 |
I3 |
I1 |
8 |
A |
12 |
2 |
4 |
6 |
||||
|
|
|
I |
|
|
|
Рис. 2.13. Процесс и результаты расчета |
Кривая Uаb(I3) Uнэ(I3) представляет собой заданную ВАХ |
НЭ (см. |
рис. 2.10). |
|
Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а: |
|
I1 I2 I3 0; I1 I2 I3 |
(2.18) |
Токи в выражении (2.18) являются функциями одного напряжения (Uаb ). |
|
Просуммируем в соответствии с (2.18) ВАХ Uаb(I2) и Uаb(I3) |
по току и |
получим вспомогательную кривую 1. Пересечение этой кривой с Uаb(I1) даст то значение Uаb , при котором справедливо равенство (2.18). (Uаb 20 В).
Пересечение |
перпендикуляра к |
оси ординат Uаb 20 В |
с кривыми |
Uаb(I1), Uаb(I2) и |
Uаb(I3) позволит |
определить искомые токи |
(I1 4,8 А, |
I2 0,8 А, I3 4 А).
2.3.2.3. Решение методом эквивалентного источника
Рассматриваемый метод позволяет определить ток в ветви с НЭ, т.е. I3.
Выделим ветвь с искомым током, а остальную часть цепи заменим эквивалентным источником с параметрами Eэи и rэи (рис. 2.14).
Сопротивление rэи определим как входное сопротивление цепи при х.х.
относительно ветви с НЭ. Сопротивление ЭДС при этом принимаем равным 0.
26
b
НЭ rэи
I3 Eэи
a
Рис. 2.14. Расчетная схема
|
b |
r1 |
r2 |
E |
Uаb х.х. Eэи |
I1х.х. |
I2х.х. |
|
a |
Рис. 2.15. Схема замещения для определения Eэи
r |
|
r1 |
r2 |
, |
r |
|
4 20 |
3,33 Ом. (2.19) |
эи |
|
r r |
эи |
|
4 20 |
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
ЭДС Eэи определим как напряжение при х.х. относительно ветви с НЭ (рис. 2.15)
Eэи Uаb х.х. |
|
I2х.х. |
r2 ; |
(2.20) |
||||||||
I |
|
I |
|
|
|
|
|
E |
|
; |
(2.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1х.х. |
|
2х.х. |
|
r r |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
I |
I |
|
|
|
|
|
40 |
|
1,67 А, |
(2.22) |
||
|
|
|
4 20 |
|||||||||
1х.х. |
|
2х.х. |
|
|
|
|
|
|||||
Eэи Uаb х.х. 1,67 20 33,33 В |
(2.23) |
Дальнейшее решение проведем графиче-
ски. Изобразим в одной системе координат ВАХ НЭ и сопротивления rэи (рис. 2.16). Эти элемен-
ты соединены последовательно (см. рис. 2.14).
Просуммируем их характеристики по напряже-
нию и получим суммарную ВАХ (кривая 1
рис. 2.16). Пересечение перпендикуляра к оси ординат в точке Eэи 33,33 В с кривой 1 позво-
лит определить искомый ток I3 (I3 4 А).
50 |
|
|
|
1 |
|
|
В |
|
|
|
|
rэи |
|
Eэи |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
30 |
|
|
|
|
|
н.э. |
U |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
I3 |
8 |
A |
12 |
6 |
||||||
|
|
|
I |
|
|
|
Рис. 2.16. Процесс и результаты расчета |
27
3. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ |
||
Магнитные цепи – это магнитопроводы электрических машин, измери- |
||
тельных приборов, трансформаторов, магнитных усилителей, элементов вы- |
||
числительной техники и других устройств, выполняемые из различных ферро- |
||
магнитных материалов. Участками магнитных цепей могут быть воздушные за- |
||
зоры или прокладки из диамагнитных материалов. Магнитные потоки возбуж- |
||
даются токами катушек, охватывающих отдельные участки магнитных цепей. В |
||
постоянных магнитах магнитные потоки возникают за счет остаточной намаг- |
||
ниченности. |
|
|
Свойства магнитных цепей опреде- |
B |
|
ляются кривыми намагничивания мате- |
||
|
||
риалов, из которых они изготовлены. При |
|
|
постоянных потоках в расчетах использу- |
|
|
ются основные кривые намагничивания |
|
|
(жирная линия на рис. 3.1), представляю- |
H |
|
щие геометрические места вершин сим- |
||
|
||
метричных частных петель гистерезиса. |
|
|
Эти зависимости приводятся в справочной |
|
|
литературе в виде кривых и таблиц. В ка- |
|
|
честве магнитных материалов применяет- |
|
|
ся технически чистое железо и электро- |
Рис. 3.1. Семейство петель |
|
технические (кремнистые) стали. Отдель- |
||
гистерезиса и основная кривая |
||
ную группу составляют железоникелевые |
намагничивания |
|
оплавы (пермаллои), имеющие прямоугольную петлю гистерезиса. Находят ис- |
||
пользование железокобальтовые сплавы, имеющие по сравнению с другими |
||
наиболее высокие индукции насыщения (до 2,4 Тл), а также железоалюминие- |
||
вые. При высоких частотах применяются ферриты – неметаллические соедине- |
||
ния из смеси окислов железа, никеля, цинка, марганца, меди и других металлов. |
||
Их удельное электрическое сопротивление в миллионы раз больше, чем у ме- |
||
таллических ферромагнитных материалов. Подобные свойства имеют и магни- |
||
тодиэлектрики (альсифер, карбонильное железо и др.). |
||
Особыми свойствами обладают тонкие магнитные пленки, находящие |
||
широкое применение в вычислительной технике, автоматике и технике звуко- |
||
записи. |
|
|
28 |
|
Постоянные магниты изготавливаются из магнитнотвердых материалов с высокой остаточной намагниченностью. В последнее время большое внимание привлекают соединения редкоземельных элементов с кобальтом и некоторыми другими металлами (редкоземельные магниты).
Разнообразие магнитных цепей весьма широко. В качестве примера на рис. 3.2 изображен ряд конструкции, начиная с тороида до упрощенного изо-
бражения поперечного разреза магнитной системы электрической машины по-
стоянного тока.
Рис. 3.2. Конструкции магнитных цепей
3.1.Соотношения для магнитных цепей
Воснову расчета магнитных цепей положен один из фундаментальных за-
конов электромагнетизма – закон полного тока в интегральной форме:
|
|
|
|
|
(3.1) |
Hd I, |
согласно которому циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по
замкнутому контуру равна току, охватываемому этим контуром.
Для случая, приведенного на рис. 3.3, а, в правую часть (3.1) входит ток I
проводника.
|
|
|
2 |
I |
|
1 |
3 |
|
|
||
H |
H |
H |
4 |
|
|
|
Рис. 3.3. Источники магнитного поля: проводник с током (а), катушка (б), обмотки на сердечниках тороидальной (в) и прямоугольной (г) форм
В поле, создаваемом катушкой с w витками (рис. 3.3, б), циркуляция век-
тора H определяется выражением:
|
|
|
|
(3.2) |
|
|
|
|
|
||
Hd I wI, |
|||||
29 |
|