![](/user_photo/_userpic.png)
Математический анализ / Выкладки по теории / Теория по рядам
..pdf![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP61x1.jpg)
4.3. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Пример. Найти решение дифференциального уравнения yў = x2 y2 -1, y(0) =1,
используя метод последовательного дифференцирования.
Решение
Решение будем искать в виде
|
ў |
|
ўў |
|
y |
(n) |
(0) |
|
|
y(x) = y(0)+ |
y (0) |
x + |
y (0) |
x2 |
+ ...+ |
|
xn + ... |
||
|
|
|
|
|
|||||
1! |
2! |
|
|
|
n! |
. |
|||
|
|
|
|
Вычислим значения производных yў(0), yўў(0), yўўў(0), ...:
yў(x) = x2 y2 -1, yў(0) = -1; yўў(x) = 2xy2 + 2x2 yyў, yўў(0) = 0;
yўўў = 2y2 + 4xyyў + 4xyyў + 2x2(yyў)ў =
= 2y2 + 4xyyў + 4xyyў + 2x2 yў2 + 2x2 yyўў, yўўў(0) = 2, ... .
Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим
y(x) =1+ (-x)+ 13 x3 - ....
Задачи для самостоятельного решения
1.Используя соответствующий ряд, вычислить cos18 с точностью до 10-4.
Ответ. 0,9511.
2.Используя соответствующий ряд, вычислить 4 630 с точностью до 10-4 .
Ответ. 5,0100.
59
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP62x1.jpg)
4. Приложения степенных рядов
3. Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной
1
функции, вычислить т2 1- cos x dx.
0 x2
Ответ. 0,2483 с точностью до 10-4 .
4. Взяв шесть членов разложения в ряд подынтегральной
функции, вычислить т1 e- x2 dx.
0
Ответ. 0,747 с точностью до 10-3 .
5. Найти первые четыре члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения
|
yў = 2x2 + 3x + y2 |
y (0) = 2. |
|||
Ответ. |
y (x) = 2 + 4x + |
19 x2 |
+ |
56 x3 |
+ ... . |
|
|
2 |
|
3 |
|
6.Найти первые три члена (отличных от нуля) разложения
вряд решения дифференциального уравнения
yўў = xyў - y + ex y (0) =1, yў(0) = 0.
Ответ. y (x) =1+ 16 x3 + 241 x4 ....
60
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP63x1.jpg)
5.Ряды Фурье
5.1.Тригонометрические ряды. Теорема Дирихле
При изучении периодических процессов, то есть процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в тригонометрический ряд.
Функциональный ряд вида
a0
2
+ a1 cos x + b1 sin x + ...+ an cosnx + bn sinnx + ... =
|
a0 |
Ґ |
|
|
= |
+ е(an cosnx + bn sinnx) |
(5.1) |
||
|
||||
2 |
n=1 |
|
называется тригонометрическим рядом.
Действительные числа a0, an, bn (n =1, 2, ...) называются коэф
фициентами тригонометрического ряда.
Запишем формулы, которые в дальнейшем понадобятся. Пусть m и n являются целыми положительными числами,
тогда имеют место следующие формулы
|
мsinnx |
|
p |
|
|||
|
|
|
|||||
p |
п |
|
|
|
|
= 0, (n № 0), |
|
т cosnxdx = н |
|
n |
|
-p |
(5.2) |
||
-p |
п |
|
p |
= 2p (n = 0); |
|
||
|
пx |
|
|
|
|||
|
о |
|
-p |
|
|
|
61 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP64x1.jpg)
|
|
5. Ряды Фурье |
|
|
тp sinnxdx = 0 при любом n; |
(5.3) |
|
|
-p |
|
|
p |
1 p |
м0, (m № n), |
(5.4) |
т cosmx Чcosnxdx = |
т (cos(m + n)x + cos(m - n)x)dx = н |
||
-p |
2-p |
оp, (m = n); |
|
тp sinmx Чcosnxdx = 12 |
тp (sin(m + n)x + sin(m - n)x)dx = 0; |
(5.5) |
|
-p |
|
-p |
|
тp
-p
sinmx Чsinnxdx = |
1 p |
м0, (m № n), |
(5.6) |
2-тp |
(cos(m - n)x - cos(m + n)x)dx = н |
||
|
оp, (m = n). |
|
Формулы (5.2)- (5.6) показывают, что семейство функций
1, cos x, sin x, cos 2x, sin2x, cos3x, sin3x, ... ,cosnx, sinnx, ...
обладают свойством ортогональности: интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину 2p, равен нулю.
Формулы (5.2)–(5.6) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок [0;2p].
Пусть функция f (x) — произвольная периодическая функция с периодом 2p. Предположим, что функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд:
|
a0 |
|
Ґ |
|
|
|
|
|
f (x) = |
+ |
е |
(a cosnx + b sinnx) |
(5.7) |
||||
|
||||||||
2 |
|
n |
n |
. |
||||
|
n=1 |
|
|
|
|
Так как функция f (x) (и сумма ряда) имеет период 2p, то ее
можно рассматривать в любом промежутке длины 2p. В качестве основного промежутка возьмем отрезок[-p;p] (можно взять
отрезок[0;2p]). Предположим, что ряд (5.7) на этом отрезке можно почленно интегрировать. Найдем коэффициентыan иbn, проинтегрировав обе части равенства (5.7) в пределах от -p до p:
62
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP65x1.jpg)
5.1. Тригонометрические ряды. Теорема Дирихле
p |
p |
a |
Ґ |
ж |
p |
p |
ц |
|
|
т |
f (x)dx = т |
0 |
dx + езan т cosnxdx + bn т sinnxdx ч |
= |
|||||
2 |
|||||||||
-p |
-p |
n=1 |
и |
-p |
-p |
ш |
|
=тp a0 dx = pa0.
-p 2
Итак,
a0 = p1 тp |
f (x)dx. |
(5.8) |
-p |
|
|
Умножим обе части равенства (5.7) на cosmx и проинтегрируем полученный ряд в пределах от -p до p:
тp f (x)cosmxdx =
-p
|
a |
p |
Ґ |
ж |
|
= |
0 |
т cosmxdx + езan |
|||
2 |
|||||
|
-p |
n=1 |
и |
Пусть m = n, тогда
тp
тp |
cosmx Чcosnxdx + bn тp |
cosmx Чsinnxdx чц. |
-p |
-p |
ш |
f (x)cosnxdx = anp.
-p
Получаем, что
an = p1 тp |
f (x)cosnxdx, n =1,2,3,.... |
(5.9) |
-p |
|
|
Аналогично, умножив, равенство (5.7) на sinmx и проинтегрировав полученный ряд в пределах от -p до p, найдем:
bn = p1 тp |
f (x)sinnxdx, n =1,2,3,.... |
(5.10) |
-p |
|
|
Тригонометрический ряд (5.1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (5.8)–(5.10), называется рядом Фурье функции f (x).
63
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP66x1.jpg)
5. Ряды Фурье
Числа a0, an, bn (n =1,2,...), определяемые по формулам (5.8)– (5.10), называются коэффициентами Фурье функции f (x).
Для функции f (x) интегрируемой на отрезке [-p;p] записывают:
f (x) a0 Ґ (a cosnx b sinnx)
2 + е n + n
n=1
иговорят: функции f (x) соответствует (поставлен в соответ-
ствие) ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S(x).
Рассмотрим условия, при которых ряд Фурье функции f (x) сходится и имеет своей суммой функцию f (x).
Функции, которые имеют период Т = 2p называют 2p-пери одическими функциями.
Теорема Дирихле
Пусть 2p-периодическая функция f (x) на отрезке[-p;p] удовлетворяет условиям:
1.f (x) кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;
2.f (x) кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем от-
резке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.
Тогда соответствующий функции f (x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:
1.В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией: S(x) = f (x);
2.В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна:
S(x0 ) = |
f (x0 |
- 0)+ f (x0 |
+ 0) |
, |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
64
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP67x1.jpg)
5.1. Тригонометрические ряды. Теорема Дирихле
то есть равна среднему арифметическому пределов функции
f(x) справа и слева;
3.В точках x = -p и x = p (на концах отрезка) сумма ряда равна
S(-p) = S(p) = |
f (-p + 0)+ f (p - 0) |
. |
|
2 |
|||
|
|
Условия 1 и 2 Теоремы Дирихле называются условиями Ди
рихле.
Итак, если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле, то на отрезке [-p;p] имеет место разложение (5.7):
|
a0 |
Ґ |
|
f (x) = |
+ е(an cosnx + bn sinnx), |
||
|
|||
2 |
n=1 |
где коэффициенты вычисляются по формулам (5.8)- (5.10). Равенство (5.7) может нарушаться только в точках разрыва функции f (x) и на концах отрезка [-p;p].
В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции.
Замечания
1. Если функция f (x) с периодом 2p на отрезке [0;2p] удов-
летворяет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (5.7), где коэффициенты определяются по формулам
a0 = 1 2тp f (x)dx, p 0
an = 1 2тp f (x)cosnxdx, n =1,2,3,..., p 0
bn = 1 2тp f (x)sinnxdx, n =1,2,3,....
p 0
65
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP68x1.jpg)
5. Ряды Фурье
2. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье, то есть теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.
Пример. Разложить в ряд Фурье на отрезке [-p;p] функцию
м-x, - p Ј x Ј 0, f (x) = пн x2 , 0 < x Ј p.
п p
о
Решение
Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 5.1).
y
-3p |
-2p |
-p |
O |
p |
2p |
3p x |
Рис. 5.1
Функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье.
a0 |
= p1 тp |
f (x)dx = p1 т0 |
-xdx + p1 тp |
x2 |
dx = 56 p; |
|
||||||||
p |
|
|||||||||||||
|
|
-p |
|
|
|
-p |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a = |
1 |
p |
f (x)cosnxdx = |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
p |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ж |
0 |
|
|
|
p x2 |
|
ц |
|
|
3(-1)n -1 |
|||
= p |
з |
т -x cosnxdx + т |
|
|
cosnxdx |
ч |
= |
|
|
; |
||||
|
p |
|
pn2 |
|||||||||||
|
и -p |
|
|
|
0 |
|
|
|
ш |
|
|
|
|
66
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP69x1.jpg)
5.2. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье
bn = 1 тp f (x)sinnxdx =
p -p
=p1 жз т0
и-p
|
p |
2 |
ц |
|
2 |
|
n |
-1щ |
||
|
|
|
x |
|
й(-1) |
|||||
-x sinnxdx +т |
sinnxdx ч |
= |
|
л |
|
ы |
, |
|||
p |
|
|
2 3 |
|
||||||
|
0 |
ш |
|
|
|
p n |
|
|
||
м0, если n четное, |
|
|
|
|
|
|
||||
п |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn = н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п- |
|
, если n нечетное. |
|
|
||||||
2 3 |
|
|
||||||||
о |
p n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, разложение функции в ряд будет иметь вид:
|
5 |
Ґ |
ж |
3(-1)n -1 |
|
|
4 |
ц |
|||
f (x) = |
|
|
p + ез |
|
|
|
cosnx - |
|
|
sin(2n -1)x ч. |
|
12 |
pn |
2 |
|
2 |
3 |
||||||
|
n=1 |
и |
|
|
|
p |
(2n -1) |
ш |
5.2. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье
Если разлагаемая в ряд Фурье на отрезке[-p;p] функция f (x)
является четной (или нечетной), то вычисление коэффициентов Фурье упрощается.
Пусть функция f (x) четная. Ряд Фурье будет иметь вид
|
|
|
|
a0 |
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
f (x) = |
+ еan cosnx, |
(5.11) |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 = |
2 |
тp |
f (x)dx, an = |
2 |
тp |
f (x)cosnxdx, nО . |
(5.12) |
||
|
p |
0 |
|
|
|
p |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функция f (x) нечетная. Ряд Фурье будет иметь вид |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
f (x) = еbn sinnx, |
(5.13) |
n=1
67
![](/html/66203/141/html_BjLJvawKdp.7Sed/htmlconvd-eQtmzP70x1.jpg)
5. Ряды Фурье
где
bn = |
2 |
тp |
f (x)sinnxdx, nО . |
(5.14) |
|
p |
0 |
|
|
Ряды (5.11) и (5.13) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию
f (x) = x, - p < x < p.
Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 5.2).
y
-3p |
-2p |
-p |
O |
p |
2p |
3p x |
Рис. 5.2
Функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье. На интервале (-p;p) функция f (x) = x
нечетная. Отсюда следует, что ряд Фурье этой функции будет содержать только синусы, а при косинусах все коэффициенты
n |
. Вычислим коэффициенты |
n по формуле (5.14) |
||
a = 0 (n = 0,1,2,...) |
|
|
b |
|
|
2 p |
n+1 2 |
|
|
|
bn = p т x sinnxdx =(-1) |
n. |
|
|
|
0 |
|
|
|
Итак, разложение функции в ряд будет иметь вид:
68