Математический анализ / Выкладки по теории / Теория по рядам
..pdf5.2. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье
|
|
|
|
Ґ |
|
|
|
f (x) = x = 2е(-1)n+1 sinnx, |
|||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
x = 2 |
ж sin x |
- |
sin2x |
+ |
sin3x |
ц |
|
з |
1 |
2 |
3 |
+ ...ч. |
|||
|
и |
|
|
ш |
Винтервале(-p;p) это равенство имеет место в точках непрерывности функции f (x), то есть в данном случае в всех внутренних точках интервала (-p;p). Вне интервала этот ряд изображает периодическое продолжение рассматриваемой функции.
Вточках же разрыва, которыми являются точки ±p, ± 3p, ...,
сумма ряда равна среднему арифметическому ее левостороннего и правостороннего пределов в этих точках.
Найдем эти пределы
lim |
f (x) = lim x = p |
lim |
f (x) = lim |
x = -p |
. |
|
x®p-0 |
x®p-0 |
, |
x®-p+0 |
x®-p+0 |
|
Среднее арифметическое этих пределов
f (p - 0)+ f (-p + 0) = p - p = 0 |
||||
|
|
|
. |
|
2 |
2 |
|||
|
Во всех точках разрыва этой функции получим то же самое. Из полученного разложения при x = p2 можно получить ин-
тересную сумму
p |
= 2 |
ж |
- |
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
ц |
2 |
з1 |
3 |
5 |
7 |
+ ...ч, |
||||
|
и |
|
|
|
ш |
Отсюда следует, что сумма ряда
1- 13 + 15 - 17 + ... = p4.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию
f (x) = x , - p Ј x Ј p.
69
5. Ряды Фурье
Решение
Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 5.3).
|
|
|
y |
|
|
|
-3p |
-2p |
-p |
O |
p |
2p |
3p x |
|
|
|
Рис. 5.3 |
|
|
|
Функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье. На интервале (-p;p) функция f (x) = x чет-
ная. Отсюда следует, что ряд Фурье этой функции будет содержать только постоянную составляющую и косинусы, а при синусах все коэффициенты bn = 0 (n =1,2,3,...). Вычислим коэф-
фициенты an по формулам (5.12)
|
|
|
|
a0 = p2 тp xdx = p. |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 p |
|
2 |
( |
n |
). |
|
n |
= |
p |
т |
x cosnxdx = |
|
|
||
pn2 |
|
|||||||
a |
|
|
|
|
(-1) -1 |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Если n — четное число, то a2 = a4 = a6 = .... = a2k = 0, а если n — нечетное число, то an = - p4n2 .
Итак, разложение функции в ряд будет иметь вид:
f (x) = |
|
x |
|
= |
p |
- |
4 cos x |
- |
4 cos3x |
- |
|
4 cos5x |
- ..., |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
p |
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
2 |
|
|
p |
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
= |
- |
4 |
ж cos x |
+ |
cos3x |
+ |
cos5x |
ц |
|
||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
p |
з |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
+ ...ч. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
ш |
|
70
5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом
Так как функция f (x) = x непрерывна на отрезке [-p;p], то полученный ряд сходится к x при всех значениях x из этого
отрезка, а вне этого отрезка — к периодическому продолжению этой функции.
Из полученного ряда можно получить интересную сумму. Пусть x = 0, тогда
|
p |
|
4 |
ж 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
ц |
||||
0 = |
|
- |
p |
з |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ ... |
ч, |
||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
и1 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
ш |
||||||||||
p |
|
4 |
ж 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
ц |
|
||||||||
|
= |
p |
з |
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ ...ч, |
|
||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
и |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
ш |
|
умножая обе части этого равенства на p4, получим
1+ |
1 |
+ |
1 |
+ ...+ |
|
1 |
+ ... = |
p2 |
. |
2 |
2 |
2 |
8 |
||||||
|
3 |
|
5 |
|
(2n -1) |
|
|
5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом
Пусть функция f (x), определенная на отрезке [-l;l], имеет период 2l ( f (x + 2l) = f (x), где l — произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.
Сделаем подстановку x = |
l |
t . Преобразуем функцию f (x) |
|||
p |
|||||
|
ж l |
ц |
|||
в функцию j(t) = f з |
|
t ч, которая определена на отрезке [-p;p] |
|||
|
|||||
и имеет период |
и p |
ш |
|||
T = 2p |
. |
|
|
||
|
|
|
|
Разложение функции j(t) в ряд Фурье на отрезке [-p;p] имеет вид
|
a0 |
Ґ |
|
j(t) = |
+ е(an cosnt + bn sinnt), |
||
|
|||
2 |
n=1 |
71
5. Ряды Фурье
где
an = p1 тp j(t)cosntdt, n = 0,1,2, ..., |
|
|||||||
|
|
-p |
|
|
|
|
|
|
n |
p |
|
т |
|
|
|
. |
|
b = |
1 |
|
p |
j(t)sinntdt, n =1,2,3,... |
|
|||
|
|
|
-p |
|
|
|
|
|
Возвращаясь к переменной x, получим |
|
|||||||
|
a0 |
|
|
Ґ |
|
|
|
|
f (x) = |
|
+ е(an cos pnx |
+ bn sin pnx), |
(5.15) |
||||
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
n=1 |
|
l |
l |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
pnx |
dx, n = 0,1,2, ..., |
(5.16) |
||
an = l |
т |
f (x)cos |
l |
|||||
|
-l |
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
pnx |
dx, n =1,2,3,.... |
(5.17) |
||
bn = l |
т |
|
f (x)sin |
l |
||||
|
-l |
|
|
|
|
|
|
|
Ряд (5.15) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (5.16), (5.17), называется рядом Фурье для функции f (x) с пери-
одом Т = 2l.
Замечание
Если функция f (x) на отрезке [-l;l] четная, то ее ряд Фурье будет иметь вид
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
+ еan cos pnx |
, |
(5.18) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
n=1 |
l |
|
|
|||
где |
|
2 |
тl |
f (x)dx, an = 2 |
тl |
f (x)cos pnx dx, nО ; |
|
|||||
a0 |
= |
(5.19) |
||||||||||
|
|
|
l |
0 |
|
|
l |
0 |
|
l |
|
|
если функция |
|
|
нечетная, то |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
, |
|
(5.20) |
|
|
|
|
|
f (x) = еbn sin pnx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
l |
|
|
|
72
5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом
где |
2 |
тl |
f (x)sin pnx dx, nО . |
|
bn = |
(5.21) |
|||
|
l |
0 |
l |
|
|
|
|
|
|
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию |
|
|||
|
|
|
м0, - 2 Ј x Ј 0, |
|
|
f (x) = н |
|
||
|
|
|
оx, 0 Ј x Ј 2. |
|
Решение
Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 5.4).
y
-6 |
-4 |
-2 |
O |
2 |
4 |
6 x |
Рис. 5.4
Найдем коэффициенты ряда Фурье. Коэффициенты an вычислим по формуле (5.16)
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
pnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= |
2 |
т |
f (x)cos |
2 |
dx = |
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
ж 0 |
|
|
|
|
pnx |
2 |
|
|
pnx |
ц |
= |
|
2 |
з т 0Чcos |
2 |
dx +т x Чcos |
2 |
dx ч |
|||||||||
|
и -2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
ш |
|
||||
|
|
= |
|
2 |
|
|
(-1)n -1 , n =1,2,3,... |
|
||||||
|
|
p2n2 |
( |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
Вычислим отдельно a0.
a0 =1.
73
5. Ряды Фурье
Коэффициенты bn вычислим по формуле (5.17)
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
pnx |
|
|
|
|
|
|
b |
|
= |
2 |
т |
f |
(x)sin |
2 |
dx = |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
ж 0 |
Чsin |
pnx |
2 |
|
|
pnx |
ц |
= |
|||
2 |
з т 0 |
2 |
|
dx + т x Чsin |
2 |
dx ч |
|||||||
|
и -2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
ш |
|
= - p2n (-1)n.
Подставим найденные значения коэффициентов a0, an, bn в ряд (5.15), учитывая, что l = 2, получим
|
1 |
|
2 |
Ґ |
n |
-1 |
|
|
2 |
Ґ |
sin |
pnx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = |
+ |
е |
(-1) |
cos pnx |
- |
е(-1)n |
2 |
. |
||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
p |
n=1 |
n |
2 |
|
p n=1 |
2 |
|
|
Представление непериодической функции рядом Фурье
Пусть функция f (x) непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может быть равна f (x) для всех x. Но, непериодическая функция f (x) может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке [a;b], на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого можно поместить начало координат в середину отрезка [a;b] и постро-
ить функцию f1(x) периода T = 2l =| b - a | такую, что f1(x) = f (x) при -l Ј x Ј l.
Разлагаем функцию f1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a;b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f (x). Вне этого промежутка сумма ряда и f (x) являются совершенно различными функциями.
Пусть теперь непериодическую функцию f (x) требуется разложить в ряд Фурье на отрезке [0;l]. (Это частный случай: нача-
74
5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом
ло координат перенесено в точку x = a отрезка [a;b]; область определения функции f (x) будет иметь вид [0;l], где l =| b - a |.)
Такую функцию можно произвольным образом доопределить на отрезке [-l;0], а затем осуществить ее периодическое
продолжение с периодомT = 2l. Разложив в ряд Фурье на отрезке [-l;l] полученную таким образом периодическую функцию
f1(x), получим искомый ряд функции f (x) при x О[0;l].
Разложение в ряд косинусов функции, заданной на отрезке [0; l]
Если на отрезке определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится четная функция с периодом2l . В самом деле, возьмем график заданной функции на этом сегменте, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 2l . Тогда получится график четной функции с периодом 2l , совпадающей с заданной функцией на сегменте [0;l].
Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряды Фурье следует, что f (x) имеет разло-
жение в ряд косинусов по формуле (5.18).
Разложение в ряд синусов функции, заданной на отрезке [0; l]
Если на отрезке определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится нечетная функция с перио-
75
5. Ряды Фурье
дом2l . В самом деле, возьмем график заданной функции на этом сегменте, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно начала координат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 2l и добавим точки с координатами nl (где n — любое целое число). Тогда получится график нечетной функции с периодом 2l , совпадающей с заданной функцией на сегменте [0;l].
Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных периодических функций в ряды Фурье следует, что f (x) имеет раз-
ложение в ряд синусов по формуле (5.20).
Ряд косинусов и ряд синусов для функции f (x), заданной на отрезке [0;l] имеет одну и ту же сумму. Если x0 — точка разрыва I рода функции f (x), то сумма как одного, так и другого ряда равно одному и тому же числу:
S(x0 ) = |
f (x0 |
- 0)+ f (x0 |
+ 0) |
. |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
Замечание
Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функции f (x) на отрезке [0;l], переносится практически без изменения
на случай, когда функция задана на отрезке [0;p]. Такую функ-
цию можно разложить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулы (5.11), (5.13)).
Пример. Разложить в ряд Фурье по синусам следующую функцию
м4h |
, 0 |
Ј x |
Ј |
l |
, |
|
|
|
||||||
п l |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
||||||||||
п |
4h ж |
|
l |
ц |
|
|
l |
|
3 |
|
||||
п |
|
|
|
|
|
|||||||||
f (x) = н- |
|
з x - |
|
|
|
ч, |
|
|
Ј x Ј |
|
l, |
|||
|
2 |
4 |
4 |
|||||||||||
п |
l и |
|
ш |
|
|
|
||||||||
п4h |
(x |
- l), |
3 |
l |
Ј x Ј l. |
|
|
|||||||
п |
|
4 |
|
|
||||||||||
о l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом
Решение
Построим график функции f (x) (рис. 5.5).
y
|
h |
|
|
|
|
|
||
O |
|
l |
|
l |
3l |
l |
x |
|
4 |
2 |
4 |
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.5
Функция данного вида встречается в теории свободных колебаний конечной струны.
Продолжим функцию f (x) на отрезок [-l;0] нечетным образом. Коэффициентыa0,an будут равны нулю. Коэффициентыbn определим по формуле (5.21):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
pnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
= |
l |
т |
f (x)sin |
l |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 жl /4 |
4h |
|
pnx |
|
3l /4 |
|
|
4h ж |
|
|
l ц |
|
pnx |
|
l |
4h |
|
pnx |
ц |
|
||||
= |
|
з т |
|
|
|
dx + |
т |
- |
|
|
з |
x - |
|
ч |
|
|
dx + |
т |
|
(x - l)sin |
|
ч |
= |
||
l |
з |
l |
sin |
l |
|
l и |
2 |
ш |
sin |
l |
|
l |
l |
dx ч |
|||||||||||
|
и 0 |
|
|
l /4 |
|
|
|
|
|
|
3l /4 |
|
ш |
|
= - p322nh2 cos p2n sin p4n.
Подставим найденные коэффициенты в формулу (5.20), получим
|
|
|
|
Ґ |
|
32h |
cos pn sin pn sin pnx |
|
||||||||||
|
|
f (x) = е- |
= |
|||||||||||||||
|
|
2 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
p n |
|
|
2 |
|
4 |
|
l |
|
|
|||
|
|
ж |
2px |
|
sin |
6px |
|
|
sin |
10px |
sin |
14px |
||||||
= - |
32h з sin |
l |
|
- |
|
l |
+ |
|
l |
|
- |
|
l |
|||||
p2 |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
62 |
|
102 |
|
142 |
||||||||||||
|
и 22 |
|
|
|
|
|
ц
+ ...чч.
ш
77
5. Ряды Фурье
Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам следующую функцию
f (x) = p -2 x , 0 < x < p.
Решение
Продолжим функцию f (x) на отрезок [-p;0] четным образом (рис. 5.6).
y
p / 2
-3p |
-2p |
-p |
O |
p |
2p |
3p x |
Рис. 5.6
Так как функцию требуется разложить в ряд по косинусам, то коэффициенты bn равны нулю. Коэффициенты a0,an опреде-
лим по формулам (5.12):
|
|
|
|
a0 = p2 тp p -2 x dx = p2, |
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a |
= |
2 p |
p - x cosnxdx = |
1 |
(1- cos pn) |
||
p |
т |
pn2 |
|||||
n |
|
2 |
. |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
Подставим найденные коэффициенты в формулу (5.11), получим
f (x) = |
p - x |
= |
p |
+ |
2 |
ж cos x |
+ |
cos3x |
+ |
cos5x |
ц |
||||||
2 |
|
4 |
p |
з |
2 |
|
2 |
|
2 |
+ ...ч, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
и |
1 |
|
|
3 |
|
|
5 |
ш |
|||
ж |
|
p |
+ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц |
|
|||
з |
|
2 |
|
2 |
= p |
|
|
|
0 + 0 |
|
|
ч |
|
||||
где 0 < x < p зS(0) = |
|
, S(±p) = |
= 0 |
ч. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
з |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
ч |
|
||
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
78