Материалы к лабораторным работам / ЛЕКЦИИ / Лекции_КТП_Часть_2

Практически все современные автотрассировщики начинают трассировку именно с него.

Рис. 2.12. Лучевая трассировка.

На основе лучевого алгоритма создано множество эвристических (не являющихся математически точными алгоритмов) манипулирующих лучами.

Эти алгоритмы быстры и довольно эффективны на начальных стадиях трассировки. На этапе, когда плата уже заполнена проводниками эффективность таких методов трассировки очень быстро сходит к нулю.

3. ТРАССИРОВКА

Трассировка соединений – этап определения точных путей проводников,

соединяющих контакты компонентов в соответствии с электрической схемой при соблюдении заданных конструктивно-технологических ограничений.

Ограничения – самые разнообразные: толщина проводников и величина зазоров между ними, число слоев трассировки, максимальная (или минимальная) длина проводника, выравнивание длин проводников минимизация числа переходных отверстий и длины проводников и т.д.

Принято [7] выделять четыре основных этапа трассировки:

1.Составление списка соединений.

2.Распределение соединений по слоям (задача расслоения) или зонам

(макротрассировка).

3.Определение порядка трассировки для всех соединений.

4.Трассировка проводников.

Первая задача решается с использованием рассмотренных ранее алгоритмов построения кратчайшего связывающего дерева для каждой из цепей, соединяющих более двух контактов компонентов. В результате все многоконтактные цепи разбиваются на двухконтактные соединения.

В простейшем варианте мы получаем множество отрезков, соединя ющие пары эквипотенциальных контактов. В действительности, прямолинейности отрезков, соединяющих пару контактов на плате, мешают другие контакты и области запрета трассировки, поэтому реальный путь проводника может существенно отличаться от прямолинейного даже при отсутствии др угих проводников.

Пусть имеется отрезок A, который пересекает точно два других отрезка B и C.

Если в нашем распоряжении имеется три слоя и отрезки B и C уже назначены на слои,

то всегда найдется слой, на котором нет ни B ни C.

В литературе описано несколько подходов к распределению соединений

по слоям.

1.Раскраска вершин графа пересечений,

2.Последовательное выделение в графе максимальных плоских суграфов,

3.Нахождение кликового покрытия графа, в котором вершины,

соответствующие непересекающимся отрезкам, соединены ребром.

Итак, Раскраска вершин графа пересечений (попытка минимизации числа слоев).

Поставим в соответствие множеству отрезков множество вершин графа,

соединив ребром пары вершин, соответствующих пересекающимся о трезкам.

Такой граф принято называть графом пересечений (Рис. 3.1).

Рис. 3.1. Пересекающиеся отрезки и граф пересечений

Требуется раскрасить вершины в минимальное количество цветов таким

образом, чтобы не было ни одного ребра, соединяющего вершины одного цвета. Отрезки, соответствующие одноцветным вершинам, назначаются в один слой.

Окрасив, например, вершину 1 в красный цвет, а вершину 5 – в синий получаем, что для окраски вершины 2 необходим еще один цвет, например,

зеленый, при этом для вершин 3 и 4 возможны варианты: соответственно,

зеленый и красный, синий и красный, синий и зеленый.

Задача NP трудна и не решает проблемы, потому что число слоев обычн о ограничено, а хроматическое число (минимальное число цветов) может оказаться больше заданного числа слоев, кроме того, не учитывается возможность перехода со слоя на слой в произвольном месте - это совсем другая задача.

Немного подробнее о задаче раскр аски графов:

Исторически раскрасочная терминология пришла в теорию графов из задачи о раскраске стран на карте: “Сколько цветов требуется для раскраски различных стран на карте так, чтобы каждые 2 смежные страны были окрашены по-разному?” Эта задача сводится к проблеме определения максимального хроматического числа плоских графов. По одним сведениям,

об этой задаче знал еще в 1840 г. немецкий математик Мёбиус. По другим же данным она возникла в 1852 г., когда некий Франсис Гатри спросил своего брата Фредерика, в то время студента-математика в Кембридже, верно ли,

что каждую карту можно окрасить в четыре цвета так, чтобы смежные страны имели разные цвета. Эта задача, получившая название проблемы

(гипотезы) четырех красок, была впервые предложена вниманию общественности в выступлении Кэли на заседании Лондонского математического общества в 1878 г.

содержащая такую конфигурацию, может быть 4-раскрашена, исходя из 4-

раскрасок меньших триангуляций. Вместе взятые эти два шага состав ляют индуктивное доказательство того, что все плоские триангуляции, а

следовательно, и все плоские графы можно раскрасить в четыре цвета.

Доказательство Аппеля и Хакена не было обойдено критикой, и не только из-за использования ими компьютера. Авторы ответили 741-страничной алгоритмической версией доказательства, которая учитывает различные критические замечания и исправляет множество ошибок (например, ими добавлено еще 450 конфигураций к «неизбежному» сп иску): В результате,

компьютер, проработав 1500 часов, показал, что из 1932 конфигураций 1931

редуцируема. Последнюю конфигурацию исследовали вручную, применив более тонкие методы редукции, не заложенные в програ мму. Проверка показала, что и эта конфигурация редуцируема. Так проблема четырех красок была решена.

Алгоритмы раскраски графа.

Раскрашивать можно как ребра графа, так и вершины. Коснемся сначала задачи о раскраске вершин. при этом считаем, что граф не ориентирован и не является мультиграфом.

Задача. Раскрасить вершины графа так, чтобы любые две сме жные вершины были раскрашены в разные цвета, при этом число использованных цветов должно быть наименьшим. Это число называется хроматическим

(цветным) числом графа, будем его обозначать = (G) (если G –

данный граф).

Функцией Гранди называется функция на вершинах графа, отображающая вершины в множество {1,2,…, a}, причем если вершина xi окрашена в цвет с номером k, то функция Гранди h(xi) = k.

Ясно, что для данного графа хроматическое число является единственным, но функций Гранди может быть очень много. Естественно, что найти хотя бы одну функцию Гранди – это значит, найти одну из возможных “наилучших” раскрасок (таких раскрасок может быть много).

Заметим, что если данный граф является полным, т.е. любые две вершины являются смежными, то хроматическое число такого графа равно п, где п –

число вершин.

Для дальнейшего описания нам понадобится следующее определение. Набор вершин графа называется максимальной независимой системой

(МНС), если любые две вершины из этого набора не являются смежными и нельзя включить в этот набор другую вершину, чтобы это условие сохранилось. Заметим, что нахождение МНС в графе достаточно просто: берем произвольную вершину, затем находим любую вершину, не смежную с ней, затем находим вершину, не смежную с отобранными вершинами и т .д. Естественно, что МНС в данном графе может быть много и они могут содержать разное число вершин.

Перейдем к описанию алгоритма нахождения наилучшей раскраски вершин графа. Пусть имеем граф G, найдем в нем какую-либо МНС, которую обозначим S1, и все вершины, входящие в эту МНС, окрасим в цвет № 1. Далее, удалим из данного графа все вершины, входящие в эту МНС (вместе с ребрами), и для нового графа снова найдем МНС, которую обозначим S2. Эти новые вершины окрасим в цвет № 2, затем удалим эти вершины из гра фа вместе с соответствующими ребрами и снова находим МНС, которую окрасим в цвет № 3, и т. д. Можно доказать, что при любом способе осуществления этой процедуры придем к наилучшей раскраске и найдем некоторую функцию Гранди и хроматическое число данного гр афа.

Пример. У графа (рис. 3.2.) имеется 3 максимально независимых системы вершин: {5}, {1,3} и {2,4}. Ясно, что при любой процедуре нахождения хроматического числа в этом графе, получим число 3.

Теорема. Если максимальная степень вершин в графе равна , то хроматическое число этого графа не превосходит + 1. При этом хроматическое число графа равно + 1 только в двух случаях: во-первых,

если граф является полным и, во-вторых, если = 2 и при этом данный граф содержит контур нечетной длины (такой граф изображен на рис. 3.3,

максимальная степень его вершин – 2, а хроматическое число – 3). Во всех остальных случаях хроматическое число графа не превосходит максимальной степени вершин.

Примечание. Оценка хроматического числа, даваемого этой теоремой,

является достаточно грубой. Особенно наглядно это выглядит на примере

дерева (разд. 14), для которого степень вершин может быть как угодно велика, а хроматическое число равно 2.

Рассматриваемые вопросы связаны с известной проблемой четырех красок. Для того чтобы ее сформулировать, нам понадобятся еще несколько определений.

Граф называется плоским, если он нарисован на плоскости, причем любые 2 ребра могут пересекаться только в вершине.

Графы называются изоморфными, если существует такая нумерация вершин в этих графах, что они имеют одну и ту же матрицу смежности

(фактически изоморфные графы – это одинаковые графы, которые отличаются только другим изображением).