Материалы к лабораторным работам / ЛЕКЦИИ / Лекции_КТП_Часть_2

2.1.2.Алгоритм Прима

Валгоритме Прима растущая часть остова представляет собой дерево

(множество рёбер которого есть А). Формирование дерева начинается с произвольной вершины. На каждом шаге добавляется ребро наименьшего веса среди рёбер, соединяющих вершины этого дерева с вершинами не из дерева. Поскольку к частичному дереву каждый раз добавляется висячая вершина, образование циклов невозможно. (Рис 2.3.)

Рис. 2.3. Иллюстрация работы алгоритма Прима.

2.2. Кратчайшие пути

Любая часть кратчайшего пути - есть кратчайший путь. Это значит, что задача о кратчайших путях обладает свойством оптимальности для подзадач

– признак того, динамическое программирование (поиск в ширину) позволит получить оптимальное решение.

2.2.1. Алгоритм Дейкстры

Алгоритм Дейкстры [14] решает задачу о кратчайших путях из одной вершины для взвешенного ориентированного графа G = (V,E) с исходной вершиной s, в котором веса всех рёбер неотрицательны (w(u,v) 0 для всех

(u,v) Е).

Впроцессе работы алгоритма Дейкстры поддерживается множество S

V, состоящее из вершин v, для которых δ(s,v) уже найдено (т.е. d[ ] = δ(s,v)). Алгоритм выбирает вершину и V \ S с наименьшим d[u], добавляет

и к множеству S и производит уточнение оценки длины пути до всех вершин,

непосредственно достижимых из и, после чего цикл повторяется. Вершины,

не лежащие в S, хранятся в очереди Q с приоритетами, определяемыми значениями функции d.

Работа алгоритма Дейкстры показана на рис. 2.4. Исходная вершина -

крайняя левая. В вершинах указаны оценки длин кратчайших путей. Серым цветом выделены рёбра (p,q), для которых π[q] = р. Чёрные вершины лежат в множестве S, остальные находятся в очереди Q - V \ S. (а) На каждой итерации выбирается вершина u, имеющая минимальное значение d

(выделена серым цветом). (б-е) Вершина и с наименьшим значением d[u]

изымается из очереди Q = V \ S и добавляется к множеству S (в первый раз имеем и = s), при этом могут измениться оценки d[v] вершин, смежных с u .

Итак, пусть g(v) – стоимость пути от источника до вершины v;

h(v) – нижняя оценка стоимости пути от вершины v до приемника (в качестве h(v) для данной задачи примем расстояние от вершины v до приемника);

f(v) = g(v) + h(v) - нижняя оценка стоимости пути от источника до приемника, проходящего через вершину v.

1)Среди вершин графа, граничащих с приемником, найти вершину

v, имеющую наименьшую оценку f(v);

2)Если вершина v не граничит с источником определить среди вершин, достижимых из v, вершину v1 с наименьшей оценкой f1(v) (нижняя оценка стоимости пути от источника до приемника, проходящего через вершину v1 и соседнюю с ней вершину v);

3)Если вершина v граничит с источником, она является единственной вершиной графа между источником и приемником;

4)Поиск прекращается, когда найдена вершина vn, граничащая с источником, и цепочка v, v1, v2 … vn от приемника к источнику определяет искомый путь.

Рис. 2.5. Иллюстрация работы алгоритма оптимального поиска A*

2.2.3. Алгоритм Ли

Алгоритм Ли [7] или, как его часто называют, волновой алгоритм, был опубликован в 1961 и предназначался для решения задачи поиска пути в лабиринте. Иногда этот алгоритм называют трассировкой в ширину.

Предполагается, что пути проходят по ячейкам прямоугольной координатной сетки. Для модели печатной платы граф выглядит как решетка, где каждая вершина, символизирующая кусочек печатной платы, имеет соседей с четырех сторон, за исключением краев платы, где соседей меньше.

Пусть требуется найти путь в лабиринте от точки A до точки B (рис. 2.6.а). Запишем единицу в каждую пустую ячейку, являющуюся непосредственным соседом ячейки A (рис.2.6.b). Затем во все пустые ячейки,

которые соседствуют с ячейками, содержащими единицы, вписываются двойки (рис. 2.6.с). Затем за цифрами 2 записываются цифры 3 и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока не произойдет одно из двух событий:

все пути окажутся заблокированными, т.е. на k-м шаге не останется пустых ячеек, соседствующих с ячейками,

содержащими число (k – 1);

будет достигнута ячейка, содержащая B (рис. 2.6.d).

Впоследнем случае запускается «обратная волна» и легко определяется кратчайший путь (или пути) между точками A и B.

волны.

Рис 2.7 Ограничение распространения волны.

а) -- волна без ограничения, б) -- ограничение зоны волны, в) – потеря решения, г) – увеличение зоны волны.

Другой вариант сокращения объемов вычисления – запуск волны во встречных направлениях от источника и приемника. Если два фронта сталкиваются в какой-то точке, то путь найден. Площадь под кругами на рис

2.8. пропорциональна объему просмотренных ячеек. Из рисунка видно, что метод дает существенную экономию про времени работы алгоритма.

Рис. 2.8. Встречная волна.

Еще один из способов ускорить работу волнового алгоритма – заставить волну распространяться неравномерно. Для этого вводится система штрафов за движение в неприоритетном направлении. На рис.2. 9. и рис.2.10.

представлены модели дискретного рабочего поля (ДРП) односторонней печатной платы с равнозначными и двусторонней ПП с неравнозначными стоимостями перемещения.

Рис.2.9. Модель ДРП односторонней печатной платы.

Рис. 2.10. Модель ДПР двусторонней печатной платы с приоритетными направлениями. (Ребро переходного отверстия показано только одно для упрощения

восприятия рисунка)

При неравнозначных стоимостях волна из круглой превращается в