Выражение элементарных функций через операции и, или, не.
1. Операция запрета. x1 x2 = x1·x2. (1.3)
Для доказательства этого и последующих соотношений будем в левую и правую части выражения отдельные наборы значений аргументов и проверять справедливость равенства.
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
x2 |
x1·x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2. Сумма по модулю 2. x1 x2 = x1·x2 V x1·x2 = (x1Vx2)·( x1 V x2). (1.4)
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
|
|
V |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
|
|
· |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3. Функция Вебба (операция ИЛИ - НЕ). x1 x2 = (1.5)
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
x1 v x2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
4. Логическая равнозначность. x1~x2 = = x1·x2 V x1·x2 = (x1Vx2)·(x1Vx2) (1.6)
Справедливость первого равенства может быть установлена непосредственно по таблицам истинности функций логической равнозначнасти и суммы по модулю 2, а последующих равенств - инвертированием левой и правой частей выражения (1.4) и преобразованием правой части по формулам де Моргана.
5. Импликация. x1 x2 = x1 V x2. (1.7)
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
x1 |
x1 V x2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
6. Функция Шеффера (операция И - НЕ). x1|x2 =
x1 |
x2 |
x1|x2 |
|
x1 |
x2 |
x1·x2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |