sb000238

и переписать в этих терминах начальные условия

Для определения постоянных требуется вычислить производную: y 3e3x C1cos2x C2 sin 2x e3x 2C1sin 2x 2C2 cos2x .

Стоит обратить внимание, что здесь проще сразу вычислить y (0) и не

тратить усилий на тождественные преобразования.

Из начальных условий получаем систему для определения постоянных:

Решением поставленной задачи Коши является функция

ye3x cos2x sin 2x .

3.2.Решение неоднородных уравнений

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными ко-

эффициентами это уравнения вида

нибудь) решение неоднородного уравнения. Аналогично случаю первого по-

21

рядка существует метод (метод вариации произвольных постоянных), позволяющий решать эти уравнения для любой интегрируемой функции f (x) , но

решение, точнее вычисление, возникающих интегралов, как правило, возможно только численно, поэтому в приложениях наиболее востребованы функции, для которых интегрирование можно провести аналитически. Класс

таких функций составляют линейные комбинации выражений вида xn , eax , cos bx, sinbx и любые произведения этих четырех функций. Линейность

уравнения позволяет решать задачу нахождения общего решения «по отдельности» для каждого слагаемого, а затем сложить их. Следовательно, достаточно рассмотреть в качестве f (x)

xn, eax, cosbx, sinbx, xneax, xn cosbx, eax cosbx, xneax cosbx .

Отметим, что последнее выражение «перекрывает» все остальные за счет подходящего выбора параметров. Приведенный список позволяет лучше почувствовать, какие функции могут стоять в правой части уравнения.

Для решения неоднородных уравнений с правой частью указанного ранее вида обычно применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов. Заметим, что все функции, допущенные в качестве правой части уравнения, мало меняются при дифференцировании. Это позволяет описать для фиксированной правой части базис функций, по которому можно разложить частное решение, пока что с неопределенными коэффициентами. Далее надо вычислить результат применения оператора L к составленному выражению. Приравнивая полученное выражение к функции f (x) , найдем равен-

ство двух линейных комбинаций элементов базиса. Такое равенство возможно, только если равны все коэффициенты при элементах базиса. Таким образом, возникает система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов, причем эта система всегда имеет единственное решение.

При составлении выражения частного решения необходимо контролировать следующее обстоятельство – некоторые элементы базиса могу обращаться в ноль оператором, стоящим в правой части. Присутствие таких слагаемых в выражении с неопределенными коэффициентами бесполезно, но если их удалить, то неопределенных коэффициентов станет меньше, чем уравнений, и система не будет иметь решения. Имеется простой способ исправить эту «недостачу». Достаточно домножить соответствующие элементы базиса на x .

22

Далее перечислены все возможные варианты составления выражения для частного решения. При этом предполагается, что

f (x) xneax cosbx .

Как отмечалось, все остальные случаи сводятся к этому. Увидеть, как это происходит, можно из следующих примеров:

1. Характеристический многочлен имеет различные вещественные корни

где P(x), Q(x) многочлены степени n с неопределенными коэффициентами.

3.Характеристический многочлен имеет совпадающие вещественные корни 1 2 , и f (x) xne 1x . Тогда частное решение надо искать в виде (3.5).

4.Случай «совпадения»: f (x) xne 1x , тогда частное решение надо ис-

кать в виде

y*(x) Axn 2e 1x .

5. Характеристический многочлен имеет комплексные корни 1 i ,2 i . Общий случай: f (x) e x cosx, f (x) e x sin x . Тогда частное решение надо искать в виде (3.5).

Разберем описанное на примерах.

Пример 1. Решить задачу Коши y 5y 6y e x, y(0) 1, y (0) 2 .

Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров к однородным уравнениям. По формуле (3.2)

y0 C1e2x C2e3x.

23

Функция e x не является решением однородного уравнения, следовательно, частное решение надо искать по формуле (3.5). Заметим, что в рассматриваемом случае n 0, a 1, b 0, и запишем выражение для частного решения с неопределенными коэффициентами:

y*(x) Ae x.

Чтобы подставить эту функцию в уравнение, надо вычислить производные: y (x) Ae x, y (x) Ae x

и подставить их в уравнение:

Ae x 5Ae x 6Ae x e x 12Ae x e x A 112.

Теперь можно записать общий вид решения неоднородного уравнения:

y y0 y* C1e2x C2e3x e x .

12

Остается решить задачу Коши, т. е. подобрать постоянные так, чтобы выполнялись начальные условия. Для этого потребуется производная:

y 2C1e2x 3C2e3x e x . 12

Запишем значения функции производной в точке ноль:

Пример 2. Найти общее решение уравнения y 5y 6y e2x . Решение однородного уравнения такое же, что в примере 1, и опять на-

ходится по формуле (3.2). Однако на этот раз правая часть оказывается решением однородного уравнения, поэтому частное решение надо искать по фор-

муле (3.6):

y* Axe2x.

24

Вычисляем производные:

y* Ae2x (1 2x), y* 2Ae2x (1 2x) 2Ae2x

и получаем уравнение для определения коэффициента:

2Ae2x (1 2x) 2Ae2x 5Ae2x (1 2x) 6Axe2x e2x A 1.

Общим решением неоднородного уравнения является y y0 y* C1e2x C2e3x xe2x.

Пример 3. Найти общее решение уравнения y 6y 9y e2x. Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров

однородных уравнений. По формуле (3.3)

y0 C1e3x C2xe3x.

Функция e2x не является решением однородного уравнения, следовательно, частное решение надо искать по формуле (3.5):

y* Ae2x.

Вычисляем производные y 2Ae2x , y 4Ae2x и находим коэффициент:

* *

4Ae2x 12Ae2x 9Ae2x e2x A 1.

Общее решение неоднородного уравнения:

y y0 y* C1e3x C2xe3x e2x.

Пример 4. Найти общее решение уравнения y 6y 9y e3x.

Левая часть уравнения такая же, как в примере 3, и решение однородного уравнения опять находится по формуле (3.3). Однако правая часть является решением однородного уравнения, и потому частное решение надо искать по формуле (3.6):

y Ax2e2x.

Вычислим производные y :

и подставим их в неоднородное уравнение:

Ae3x 2 12x 9x2 6Ae3x 2x 3x2 9Ax2e3x e3x.

25

После упрощений получаем:

2Ae3x e3x A 12.

Общее решение неоднородного уравнения:

y y0 y* C1e3x C2xe3x 12 x2e3x.

Пример 5. Найти общее решение уравнения y 6y 13y 2x2 1.

Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров однородных уравнений. По формуле (3.4)

y0 e3x C1cos2x C2 sin 2x .

Функция 2x2 1 не является решением однородного уравнения, следовательно, частное решение надо искать по формуле (3.5). Здесь n 2, a 0, b 0 . Ищем частное решение:

y Ax2 Bx C.

Чтобы найти коэффициенты, вычислим производные y : y 2Ax B, y 2A

и подставим их в уравнение:

2A 6(2Ax B) 13 Ax2 Bx C 2x2 1.

Коэффициенты при всех степенях x должны совпадать. Это дает систему

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является

Его корни

1,2 2i.

26

Решение однородного уравнения:

y0 C1cos2x C2 sin2x.

Правая часть уравнения является решением однородного уравнения, и потому частное решение надо искать по формуле (3.7):

y x Acos2x Bsin2x .

Вычислим производные y :

y Acos2x Bsin2x x 2Asin2x 2Bcos2x

(A 2Bx)cos2x (B 2Ax)sin2x,

y 2Bcos2x 2Asin2x 2(A 2Bx)sin2x 2(B 2Ax)cos2x.

Подставим эти выражения в уравнение:

2Bcos2x 2Asin2x 2(A 2Bx)sin2x 2(B 2Ax)cos2x

4x Acos2x Bsin2x sin2x.

Проведем тождественные преобразования:

4B cos2x 4Asin2x sin2x A 14, B 0.

Общее решение неоднородного уравнения:

yy0 y* C1cos2x C2 sin2x 14 x cos2x.

3.3Материалы для самостоятельной работы

Цель любого обучения добиться того, чтобы ученик мог самостоятельно применять полученные знания для решения практических задач. Чаще всего проверка этого обстоятельства крайне затруднительна. С другой стороны, этот навык, полученный в определенном достаточно узком направлении, трансформируется в жизненный опыт, позволяющий уверенно приобретать такие навыки в совершенно других направлениях. Поэтому особый интерес представляют те направления, где проверка усвоения материала дается сравнительно легко. Тема «Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» – идеальный полигон для того, чтобы почувствовать, как знания переходят в умения. Изложенные правила решения таких задач очень просты, но применение их на практике нередко вызывает затруднение и требует специальных усилий по осмыслению алгоритмов решения.

Для того чтобы проводить эту работу самостоятельно, был разработан комплекс программ-тренажеров. Каждая программа ориентирована на одну из разобранных ситуаций и предусматривает возможность выбрать задачу,

27

решить ее самостоятельно и затем просмотреть подробное описание ее решения. Среда программирования – пакет Exsеl – выбрана по соображениям максимальной доступности использования на любом компьютере.

Тренажер представляет собой файл в формате .xls, состоящий из трех листов. Первый лист «Условия», на нем выводится условие задачи. Чтобы обновить условие задания, надо ввести в помеченную ячейку число из указанного диапазона. На том же листе находится окно для ввода ответа и окно для оценки правильности решения. После того как задача решена, надо ввести в окно для ответа значение полученного решения в точке ноль. Если это число совпало со значением правильного решения в точке ноль, то в окне для ответа появится «Да», в противном случае – «Нет». Параллельно на втором листе «Решения» формируется подробное решение предложенной задачи, по которому можно проанализировать правильность собственного решения.

Далее приведены копии листов «Условия» и «Решение» для одного из тренажеров в том виде, как они выводятся на экран.

Условие

Решите задачу Коши

y Ay By 0, y(x0) y0, y (x1) y1

Для формирования коэффициентов и начальных условий введите в соседнюю ячейку число от 1 до 308 24

Проверка: вычислите значение решения в точке x 1.

Решение

Однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (случай вещественных корней):

y Ay By 0

Характеристическое уравнение:

2 A B 0

28

Общее решение однородного уравнения: y C1e 1x C2e 2x

Выбор произвольных постоянных (решение задачи Коши):

y(x0) y0 C1e 1x0 C2e 2x0 y0

Для использования второго условия необходимо сначала вычислить производную:

y (x0) y1 , y (x) 1C1e 1x 2C2e 2x 1C1e 1x0 2C2e 2x0 y1

C1, C2

Описанные тренажеры можно найти на сайте www. leti.vm-2.spb.ru .

29

Список литературы

1.Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу.

СПб.: BHV, 2011.

2.Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГРФМЛ, 1970.

3.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.

СПб.: Лань, 2007.

4.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2005.

30