sb000238

где C произвольная постоянная. Потенциируя первое равенство, упрощаем ответ:

Теперь осталось заметить, что так как C пробегает все вещественные числа, то eС пробегает все положительные числа, а eС все отрицательные. Таким образом, решение можно записать в виде

y Cx,

где C в этом случае любое вещественное число. 3. Решить задачу Коши y xy , y(1) 2.

Сначала решается дифференциальное уравнение (пример 1): x2 y2 C .

Далее, исходя из начального условия, находим постоянную C : 12 22 C C 5.

Осталось заметить, что так как y не может равняться нулю (он стоял в знаменателе исходного уравнения), то решением является лишь верхняя половина окружности x2 y2 5 (именно в верхней полуплоскости лежит точка (1, 2) ). Ответом задачи Коши является кривая

2.2. Однородные уравнения

Однородными называются уравнения, которые с помощью тождественных преобразований могут быть приведены к виду

y f y .x

Замена переменной

u xy

11

сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Так как y(x) u(x)x, то y (x) u (x)x u(x). Следовательно, получаем уравнение

u x u f (u), или u x f (u) u.

Это и есть уравнение с разделяющимися переменными. Далее применяем уже изученный алгоритм:

(при этом не надо забывать следить за тем, теряются ли решения) и т. д. Заметим, что, вообще говоря, замена переменной в дифференциальном

уравнении редко приводит к успеху. В данном параграфе изучаются те некоторые классические типы уравнений, для которых несложные замены позволяют получить решение.

Уравнения из примеров 1 и 2 из 1.2 можно рассматривать как однородные, но это не упрощает их решения (оно и так было простым). Решим более сложное уравнение:

y y2 2xy x2 . y2 2xy x2

Заметим, что данное уравнение действительно является однородным. На практике это проще всего проверить, если заметить, что правая часть уравнения остается такой же при замене y на y и x на x . Это и означает, что фак-

тически правая часть зависит не от y и x по отдельности, а от частного y x . Каноническая замена приводит данное уравнение к виду

Разложив числитель правой части на множители, получим:

u x (u 1) u2 1 . u2 2u 1

Это уравнение с разделяющимися переменными. Заметим, что при «разделении» переменных теряется решение u 1, поэтому его также нужно будет включить в ответ:

12

Раскладываем дробно-рациональную функцию в сумму простейших дробей:

После интегрирования первого уравнения имеем:

Проделав несложные преобразования и переобозначив константу, запишем это выражение в виде

Наконец, сделаем обратную замену:

Множество решений данного уравнения весьма любопытно. Решения это окружности с центрами на прямой y x, проходящие через начало координат. Начало координат особая точка, через которую проходят все решения. Имеется и еще одно решение прямая y x (это «предел» окружностей при C ).

13

2.3. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации

Вероятно, самым важным типом дифференциальных уравнений являются так называемые «линейные дифференциальные уравнения». Оказывается, что многие свойства решений таких уравнений одинаковы независимо от порядка уравнения. Начнем со случая первого порядка, а далее перенесем наши рассуждения на уравнения старших порядков.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

ние вида

y p(x)y q(x).

В случае, если q 0, уравнение называется линейным однородным (не

стоит путать с однородными уравнениями из 2.2), в противном случае линейным неоднородным. Безусловно, проще решаются линейные однородные уравнения. Однако замечательным фактом является то, что решение неоднородного уравнения несложным образом получается из решения соответствующего ему однородного.

Изучим основной метод решения линейных неоднородных уравнений первого порядка, называемый методом вариации произвольной постоянной.

Итак, пусть нам дано неоднородное уравнение

y p(x)y q(x).

Сначала решается соответствующее ему однородное уравнение: y p(x)y .

Легко видеть, что линейное однородное уравнение всегда является уравнением с разделяющимися переменными. Решив это уравнение по алгоритму из 2.1 и проделав необходимые упрощения, приходим к ответу:

y C eh(x) ,

где h(x) фиксированная первообразная функции p(x) .

Доказано, что решение неоднородного уравнения всегда можно представить в виде

y c(x)eh(x) ,

где функция (на самом деле даже семейство функций) c(x) может быть найдена из условия, что y решает исходное неоднородное уравнение. Функция c(x) встала на место постоянной C , т. е. C начала «варьироваться» (меняться), отсюда и происходит название метода.

14

Найдем c(x):

c(x)eh(x) p(x)c(x)eh(x) q(x) ,

или

c (x)eh(x) c(x)h (x)eh(x) p(x)c(x)eh(x) q(x) .

Поскольку функция h(x) является первообразной для функции p(x) , равенство принимает вид

c (x)eh(x) q(x).

При решении линейных неоднородных уравнений стоит быть особенно внимательным именно в этот момент! Какие-то выражения обязаны сократиться. Если ничего не сократилось, значит, где-то в предыдущих вычислениях допущена ошибка. Обычно это свидетельствует о том, что неправильно определен тип уравнения, оно не является линейным.

Из последнего равенства уже без труда находится функция c(x) :

c(x) q(x)e h(x)dx .

Таким образом, решение неоднородного уравнения может быть найдено по формуле

y eh(x) q(x)e h(x) dx,

или, если выделить из семейства первообразных одну конкретную,

x

y C eh(x) eh(x) q(x1)e h(x1) dx1 . a

На самом деле полученная формула не очень удобна на практике. При решении линейных уравнений настоятельно рекомендуется не пользоваться ей, а просто следовать по описанному алгоритму. Однако формула выписана все же не просто так. Из нее можно увидеть, что множество всех решений ли-

нейного неоднородного уравнения (общее решение неоднородного уравнения)

представляется в виде суммы множества всех решений соответствующего линейного однородного уравнения (общее решение однородного уравнения) и

любого решения самого неоднородного уравнения (частное решение неоднородного уравнения). Этот замечательный факт будет использоваться и в линейных уравнениях старшего порядка.

15

Заметим, что в методической литературе часто встречаются «другие методы» решения линейных уравнений. По сути они являются просто другой записью метода вариации произвольной постоянной и опираются на тот факт, что сначала можно решить линейное однородное уравнение. Самый популярный из таких методов обычно начинается словами: «Будем искать решение в виде y u v …».

Разберем линейное уравнение первого порядка на примере

y 2 y 32 . x x

Сначала решается линейное однородное уравнение

y 2x y.

Пропустим подробное описание решения (оно аналогично описаниям, указанным в примерах 2.1) и сразу напишем, что уравнение эквивалентно

После упрощений приходим к общему решению однородного уравнения: y Cx2.

Далее ищем общее решение неоднородного уравнения в виде y c(x)x2.

Находим c(x) , подставив это выражение в исходное уравнение:

Осталось переписать ответ в канонической форме (на практике часто опускают это действие):

y 1x Cx2.

16

2.4. Уравнения Бернулли

Уравнениями Бернулли называются уравнения вида y p(x)y q(x)ym,

где m 0 и m 1 (сходство уравнений Бернулли с линейными уравнениями и так очевидно, а в этих случаях получаются просто линейные уравнения). Уравнения Бернулли типичные примеры расширения множества уравнений, решаемых явно. Небольшая модификация линейного уравнения легко «исправляется» заменой переменных (тот самый редкий случай, когда замена все же приводит к успеху).

Итак, если разделить данное уравнение на ym (при этом обязательно нужно проверить, не теряем ли мы решения), то получим:

Теперь уже очевидно, что заменой

z y1 m

это уравнение сводится к линейному уравнению

которое решается, например, методом вариации, разобранным в 2.3. Продемонстрируем сказанное на примере:

y 2xy 4x3y3.

Разделим уравнение на y 3. Заметим, что при делении могло потеряться решение y 0. Подставив его в исходное уравнение, получим 0 0, т. е. верное соотношение. Таким образом, y 0 действительно является решением исходного уравнения. Следовательно,

Сделаем в первом уравнении замену z y12

17

и выпишем получившееся линейное неоднородное уравнение отдельно:

Сначала решается линейное однородное уравнение z 4xz .

После разделения переменных и небольших стандартных упрощений приходим к общему решению однородного уравнения:

z C e2x2 .

Далее ищем общее решение неоднородного уравнения в виде z c(x)e2x2 .

Подставляя это выражение в само уравнение, находим c(x) :c(x)e2x2 4xc(x)e2x2 8x3 ,

или

c (x)e2x2 4xc(x)e2x2 4xc(x)e2x2 8x3.

Заметим, что выражение 4xc(x)e2x2 сокращается (так и должно быть!), и получаем соотношение

3.ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

3.1. Решение однородных уравнений

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными ко-

эффициентами это уравнения вида

Введем обозначение для правой части уравнения:

Ly y ay by .

Такую функцию от функций принято называть оператором. Теперь само уравнение можно записать так:

Ly 0.

Заметим, что оператор L очень просто действует на показательную функцию f (x) e x :

Le x e x 2 a b .

Таким образом, некоторые решения уравнения Ly 0 можно получить, пола-

гая равным корню уравнения 2 a b 0. Ввиду важной роли этого квадратного уравнения оно получило название характеристического уравнения. Простые соображения, связанные с линейностью множества решений и теоремой единственности для задачи Коши, гарантируют, что возникающие таким образом два решения почти всегда образуют базис в пространстве решений.

В зависимости от вида корней следует различать три случая:

1. Характеристическое уравнение имеет различные вещественные корни1, 2 . Тогда общее решение уравнения имеет вид

y C1e 1x C2 e 2x ,

здесь С1, С2 произвольные постоянные.

2. Характеристическое уравнение имеет кратный корень 1 2 . Формально второе решение брать неоткуда, но легко проверить, что функция

f (x) xe 1x

также является решением. Как и в первом случае, общее решение уравнения имеет вид

y C1e 1x C2x e 1x .

19

3. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней 1 i , 2 i . Решение можно записать так же, как и в первом случае, но оно окажется комплексным. Чтобы избавиться от комплексной структуры, достаточно воспользоваться формулами Эйлера:

позволяющими записать общее решение в виде

y e x C1cosx iC2 sinx .

Разберем сказанное на примерах.

Пример 1. Решить задачу Коши: y 5y 6y 0 , y(0) 1, y (0) 2. Cоставим характеристическое уравнение:

2 5 6 0.

Очевидно, что его корнями являются 1 2 и 2 3. Поскольку корни вещественны и различны, общее решение однородного уравнения имеет вид

Таким образом, решением поставленной задачи Коши является функция y e2x.

Пример 2. Решить задачу Коши: y 6y 9y 0 , y(0) 2, y (0) 1.

Характеристическим уравнением является