A7TZrRHEJI

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

П. А. КОШЕЛЕВ С. В. ПАРАМОНОВ

КОМПЬЮТЕРНО-ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ (ЭТК)

Часть 2

Нелинейные и нестационарные динамические системы

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2016

1

УДК 621.3.011.71: 621.3.011.73(07) ББК З29-5с11я7

К76

Кошелев П. А., Парамонов С. В.

К76 Компьютерно-информационные технологии анализа и синтеза электротехнических комплексов (ЭТК): в 2 ч. Ч. 2. Нелинейные и нестационарные динамические системы: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ

«ЛЭТИ», 2016. 28 с.

ISBN 978-5-7629-2033-9 (ч. 2)

ISBN 978-5-7629-2029-2

В учебном пособии описаны методы анализа, синтеза и оптимизации параметров элементов электротехнических устройств и комплексов.

Методы и алгоритмы основаны на фундаментальных законах электротехники и реализованы в современных пакетах программ символьных и численных вычислений.

УДК 621.3.011.71: 621.3.011.73(07) ББК З29-5с11я7

Рецензенты: кафедра электротехники и прецизионных электромеханических систем ФГАОУ ВПО «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики» (Университет ИТМО); канд. техн. наук В. С. Федорова (ПГУПС Императора Александра I).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

2

Введение

Вреальной динамической системе, в том числе, в электротехническом устройстве, присутствуют нелинейные и нестационарные элементы. Они вносят зависимость параметров схемы от токов и (или) напряжений, от момента времени, заданного алгоритмом действия устройства или вследствие естественного хода процесса и приводят к непостоянству коэффициентов дифференциальных уравнений (ДУ).

Частный случай нелинейности (его можно назвать предельным) – нестационарность, вызванная наличием коммутаторов. Это типично для преобразователей электроэнергии, которые присутствуют практически в каждом электротехническом комплексе.

Вследствие коммутаций изменяться могут не только коэффициенты, но количество и содержание уравнений, которые описывают нелинейную динамическую систему (НДС).

При исследовании и моделировании НДС иногда используют искусственный прием, сущность которого заключается в заранее заложенной избыточности математического описания задачи.

Взависимости от применяемого аппарата исследования, система ДУ или топология математической модели (ММ) предусматривают все ожидаемые состояния НДС.

Возрастание порядка матриц коэффициентов ДУ неизбежно, однако, при использовании современных аппаратных средств и численно-аналитических программ, таких, как MAPLE, MATHEMATICA, MATLAB в большинстве практических задачвремярасчета и требуемый ресурспамяти вполнеприемлемы.

3

1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧ АНАЛИЗА НДС

Один из распространенных методов анализа нелинейных систем основан на принципе припасовывания.

Сущность этого принципа в том, что система считается линейной на достаточно малом временнόм интервале анализа.

Если в процессе функционирования устройства количественно или качественно изменяется его структура а, соответственно, при моделировании реальной ситуации изменяется какой-либо коэффициент или группа коэффициентов ДУ, вектор времени анализа обнуляется и дальнейший расчет ведется с начальными условиями, сохранившимися в предыстории задачи, но с новой совокупностью коэффициентов.

Начальные условия формируются в соответствии с законами коммутации только для реактивных элементов (индуктивностей, емкостей).

Результат расчета на очередном шаге присоединяется к предшествующим шагам.

Физически начальные условия отражают процесс запасания электромагнитной энергии в реактивных элементах за счет токов индуктивностей и напряжений емкостей.

После изменения какого-либо параметра цепи предшествующие значения токов индуктивностей и напряжений на емкостях распространяются на следующий интервал расчета, т. е. в момент перехода на следующий шаг считаются постоянными.

Следует различать 3 случая.

●Моменты коммутации заранее известны. Примеры: – автономные инверторы с ШИМ управлением, скачкообразное изменение сопротивления нагрузки при выполнении определенных условий и т. п. Это наиболее «простой» случай.

●Моменты коммутации заранее неизвестны и определяются мгновенными значениями или знаком сигнала текущего процесса, в частности, полярностью напряжения на участке анод-катод неуправляемого вентиля.

●Система содержит «гладкие» нелинейности. В любой момент коэффициенты ДУ «ожидают» переопределения. Это наиболее сложный случай с точки зрения оценки ошибки округления и адекватности моделирования процесса рассеяния запасенной энергии.

Приемлемым средством контроля может стать расчет в альтернативных

вычислительных средах, моделирование в примененном пакете программ с вариацией данных.

4

Применительно к методу узловых потенциалов (МУП) начальные условия отображаются дополнительными источниками тока, а для метода контурных токов (МКТ) – источниками ЭДС или (в операторной форме) их изображениями по формуле прямого преобразования Лапласа.

2. УЧЕТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ (МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ)

Если в цепи некоторые двухполюсники являются реактивными, параллельно им включаются источники тока.

Ток емкости

Изображение тока емкости, распространенного на следующий шаг:

Ток индуктивности и операторное изображение тока дополнительного источника:

3. УЧЕТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ (МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ)

Для учета начальных условий в уравнения линейной системы добавляется слагаемое, представляющее собой сумму изображений начальных условий.

Матрица сопротивлений [Z] при этом не изменяется, а в столбцы вектора задающих воздействий [J] включаются изображения токов емкостей и индуктивностей, причем номер строки вектора [J] и номер узла, к которому подключен реактивный элемент, совпадают.

Начальные условия изображаются источниками ЭДС или (в операторной форме) их изображениями.

Расчетная схема цепи питания плазмотрона, в которой учтены начальные условия, приведена на рис. 3.1.

Для выбранных направлений контурных токов (в этом случае «по часовой стрелке») напряжения источников ЭДС, отражающих начальные условия, записываются следующим образом.

5

Это справедливо и для МУП (для матрицы [Y] и вектора [I01]).

На рис. 3.3, а – схема замещения для МКТ, на рис. 3.3, б – для МУП. Отметим, что в расчетной схеме для МКТ последовательно с источни-

ками ЭДС и конденсаторами должны быть включены сопротивления, а для МУП параллельно подключены проводимости. Если в исходной схеме этих элементов нет, то они вводятся искусственно (g4 на рис. 3.3, б).

Матрица операторных сопротивлений Z и вектор воздействий E1 для нелинейной стационарной схемы (МКТ), по рис. 3.3, а – на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Матрица операторных проводимостей Y схемы (МУП) по рис. 3.3, б – на рис. 3.5.

Рис. 3.5

7

Вектор воздействий I01 для нелинейной (нестационарной) схемы (МУП) на рис. 3.6.

Рис. 3.6

Результаты моделирования процесса при переключении сопротивления нагрузки R3 по рис. 3.3, а – на рис. 3.7. В начале R3 = 10 Ом, затем при t = 0,35 ms оно становится 100 Ом, в момент 0,6 ms возвращается к прежнему значению 10 Ом.