YzhR47Vwqa

и множитель n(n −1) вводить не надо.

Положительное значение квадратного корня из несмещенной оценки дисперсии дает несмещенную оценку среднеквадратического отклонения:

Точечные статистические оценки могут сильно отличаться от оцениваемого параметра. В связи с этим в математической статистике рассматривают также интервальные статистические оценки. Интервальной называют ста-

тистическую оценку неизвестного параметра θ, которая определяется двумя числами ɶθ1 и ɶθ2 – концами доверительного интервала (ɶθ1; ɶθ2 ). При опреде-

лении интервальной статистической оценки необходимо задать надежность

(ɶθ1; ɶθ2 ) со случайными концами, меняющимися от выборки к выборке, покроет оцениваемый параметр θ, равна γ. Этот интервал называют довери-

тельным интервалом и обозначают Iγ(θ) = (ɶθ1; ɶθ2 ). Границы интервала ɶθ1 и

ɶθ2 называют доверительными границами (нижней и верхней соответственно). Для нормально распределенной случайной величины X в математической статистике выведены формулы, позволяющие находить на основании

выборки по заданной надежности γ доверительные интервалы Iγ(E) и Iγ(σ)

21

величины, распределенной по закону распределения Стьюдента с n −1 степенями свободы;

2.6. Определение закона распределения случайной величины по экспериментальным данным. Постановка задачи о критерии согласия

Пусть X – случайная величина, возможные значения которой образуют генеральную совокупность. В результате n независимых испытаний получена выборка ( x1, x2 , ..., xn ) объема n, элементы которой рассматриваются как значения независимых случайных величин X1, X 2, ..., X n – результатов измерений случайной величины X .

Требуется определить закон распределения случайной величины X. В математической статистике эту задачу принято решать в два этапа.

I этап. Подбор теоретического распределения, сглаживающего данное эмпирическое распределение. Часто эту задачу решают в два приема:

1) определение вида закона распределения (функция F (x) подбирается

по эмпирической функции распределения Fn*(x) или плотность вероятности f (x) подбирается по гистограмме выборки);

2) нахождение по выборке параметров теоретического закона распределения. При этом обычно используют так называемый метод моментов, со-

22

гласно которому параметры теоретического распределения выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших моментов теоретического распределения совпали с их точечными статистическими оценками, полученными из

II этап. Проверка гипотезы H0 о соответствии закона распределения, подобранного на этапе I, данным выборки. Для этого используют критерии согласия.

Критерием согласия называют правило, позволяющее установить, являются ли расхождения между эмпирическим и предполагаемым теоретиче-

ским распределениями (т. е. между Fn*(x) и F (x) ) случайными (незначимыми) или существенными (значимыми).

Идея любого критерия согласия состоит в следующем: выбирается некоторая случайная величина U = U [ X1, X 2, ..., X n; F (x)], характеризующая сте-

пень расхождения между Fn*(x) и F (x). Случайная величина U выбирается таким образом, чтобы при n → ∞ был бы известен закон ее распределения, который не зависел бы от вида теоретического распределения F (x) . Для данной выборки ( x1, x2 , ..., xn ) случайная величина U принимает определенное значение uв = U [x1, x2, ..., xn; F (x)]. Чем больше значение uв, тем хуже согласуется гипотеза H0 с экспериментальными данными. При использовании критерия согласия задается уровень значимости критерия α = 1 − γ, где γ – доверительная вероятность, или надежность ( α – вероятность того, что отвергается верная гипотеза H0 ). Из условия P(U > uα) = α можно найти uα – так называемое пороговое значение случайной величины U , соответствующее уровню значимости α.

Схема применения критерия согласия сводится к следующему.

1.По ( x1, x2, ..., xn ) вычислим величину uв = U [x1, x2, ..., xn; F (x)].

2.Зададим уровень значимости α.

3.По известному закону распределения случайной величины U по таблице найдем пороговое (критическое) значения uα, удовлетворяющее усло-

вию P(U > uα) = α.

4. Сравним uв и uα : если uв < uα, то гипотезу H0 принимаем, если uв ³ uα, то H0 отвергаем.

Замечания: 1. Для критерия согласия обычно берут α = 0.01, 0.05 или 0.1 (или в процентах: 1, 5, 10 %). Чем больше α , тем «жестче» критерий, так как большее число верных гипотез будет отвергнуто. 2. Критерий согласия предполагает выборку большого объ-

23

ема ( n ³ 100 ). 3. С помощью критерия согласия гипотезу H0 доказать нельзя, можно лишь

подтвердить, что она не противоречит экспериментальным данным или отвергнуть ее как маловероятное событие.

Критерий согласия Пирсона (критерий χ2 ). Служит для проверки ги-

потезы H0 о предполагаемом законе распределения любой случайной величины X (как дискретной, так и непрерывной). Пусть этот закон задан в виде функции распределения F (x). Для применения критерия Пирсона выборка (объемом n ³100 ) должна быть представлена в виде сгруппированного вариационного ряда.

Зная закон распределения случайной величины X, можно найти вероятности попадания ее в интервалы ( xi , xi+1 ) :

pi = P ( xi ≤ x < xi+1) = F ( xi+1) − F ( xi ), i = 1, 2, ..., l.

l

Для того чтобы ∑ pi = 1, крайние интервалы делают полубесконечными:

i=1

( x1, x2 ) → (− ∞, x2 ), ( xl , xl +1) → ( xl , + ∞). Если проверяемая гипотеза H0 верна, то частота mi представляет собой число независимых испытаний, в которых данное событие (попадание случайной величины X в i-й интервал) произошло, если его вероятность в отдельном испытании из n равна pi. Следовательно, можно рассматривать частоту mi как значение случайной величины (меняющееся от выборки к выборке), распределенной по биномиальному закону с математическим ожиданием npi. Если число испытаний n велико, то на основании теоремы Муавра– Лапласа можно считать закон распределения частоты нормальным (на самом деле он является асимптотически нормальным).

( mi – случайные величины), которая для данной выборки примет определенное значение:

24

Очевидно, что чем больше согласуются эмпирическое и теоретическое распределения, тем меньше будут разности mi − npi и меньше будет χв2. Пирсон доказал, что при n → ∞ и в случае асимптотически нормального распределения частот mi закон распределения случайной величины U (см. (2.21)) не зависит от вида функции F (x) и приближается к закону «хи-квадрат» с r степенями свободы (если гипотеза H0 верна). Число степеней свободы этого закона определяется формулой

мых условий (связей), наложенных на частоты mi. Примерами таких связей

(если эти параметры находятся из выборки ( x1, x2 , ..., xn ) ).

Так как при выводе критерия согласия Пирсона предполагалось, что частоты mi распределены асимптотически нормально, то все рассуждения будут справедливы, если значения mi достаточно велики. Поэтому на практике рекомендуется в каждом интервале иметь не менее 5–10 наблюдений. Если частоты отдельных интервалов малы ( mi < 5 ), то следует объединить соседние интервалы.

Схема применения критерия согласия Пирсона сводится к следующему.

1.По выборке по формуле (2.22) вычислим χв2.

2.Зададим уровень значимости α.

3.По таблице распределения хи-квадрат χ2 (r) для числа степеней свободы r, найденного по формуле (2.23), и заданного уровня значимости α

найдем пороговое (критическое) значение χ2 (α, r), удовлетворяющее усло-

вию P (χ2 (r) > χ2 (α, r)) = α.

4. Сравним χв2 и χ2 (α, r). Если χв2 < χ2 (α, r), то гипотеза H0 принима- ется, т. е. можно считать, что предполагаемая функция распределения F (x)

согласуется с экспериментальными данными; если χв2 ³ χ2 (α, r), то гипотеза H0 отвергается как маловероятная.

25

2.7. Расчетное задание по математической статистике

По результатам n независимых равновозможных измерений некоторой физической величины, которые сведены в таблицу, представляющую собой: а) вариационный ряд (для выборки малого объема, нечетные номера вариантов); б) сгруппированный вариационный ряд (для выборки большого объема, четные номера вариантов) необходимо:

1)построить полигон относительных частот (для нечетных номеров вариантов); гистограмму относительных частот (для четных номеров вариантов);

2)построить эмпирическую функцию распределения Fn*(x);

3)вычислить выборочное среднее x , среднеквадратическое отклонение

смещенное σ*x и несмещенную оценку σɶ среднеквадратического отклонения теоретического распределения;

4) оценить с надежностью γ: а) истинное значение измеренной величины – построить доверительный интервал Iγ(E) для математического ожидания, б) точ-

ность измерений – построить доверительный интервал Iγ(σ) для среднеквад-

ратического отклонения; 5) проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нор-

мальном законе распределения этой физической величины с параметрами, найденными из выборки, взяв 5 %-й уровень значимости ( α = 0.05 ).

Порядок выполнения задания. Выборка малого объема. n = 24, γ = 0.9;

26

1.Полигон относительных частот строим по данным 1-го и 3-го столбцов (имеет вид рис. 2.1).

2.Для построения графика эмпирической функции распределения Fn*(x) найдем накопленные частоты Ni и накопленные относительные частоты Ni n

(см. табл. 2.1). Затем по формулам (2.1) построим график Fn*(x) (см. рис. 2.2). 3. Для нахождения выборочного среднего x заполним 6-й, 7-й и 8-й столбцы табл. 2.3 и вместо исходного вариационного ряда обработаем более простой вариационный ряд ( zi и mi ). Пользуясь свойствами выбороч-

x = 570 + y ≈ 571.7. Итак, x ≈ 571.7.

4. Для нахождения выборочного среднеквадратического отклонения σ*X , используя свойства выборочных моментов, проведем расчет выборочной дис-

≈13.1. Итак, σɶ ≈ 13.1.

6.По заданной доверительной вероятности γ = 0.9 и числу степеней

свободы n −1 = 23 по таблице распределения Стьюдента находим: tγ, n−1 = = 1.714. Для случая малой выборки ( n −1 ≤ 30 ) по формуле (2.16) получим доверительный интервал Iγ(E) для математического ожидания, дающий интерваль-

ную оценку истинного значения измеренной величины: Iγ(E) = (567.1, 567.3).

7. Оценку точности измерений дает доверительный интервал Iγ(σ) для среднеквадратического отклонения (случая малой выборки n −1 ≤ 30 ), определяется по формуле (2.17). Параметры χ12 и χ22 найдем по таблице распределения хи-квадрат для числа степеней свободы r = n −1 = 23 и вероятностей p1 и p2 , вычисленных для заданной γ = 0.9 по формуле (2.18): r = 23,

27

Решение. Для выполнения пп. 1)–4) заполним таблицу по форме табл. 2.5.

сительной частоты pi* hi . По данным табл. 2.4 и 4-го столбца табл. 2.5 строим гистограмму выборки (имеет вид рис. 2.3).

2. Для построения графика эмпирической функции распределения Fn*(x) заполним 5-й и 6-й столбцы табл. 2.5, найдя накопленные частоты Ni и накопленные относительные частоты Ni n (см. табл. 2.1). Затем по форму-

лам (2.2) строим график Fn*(x) (имеет вид рис. 2.4).

3. Для нахождения выборочных моментов заменим исходный сгруппированный вариационный ряд вариационным рядом, в котором частота i-го интервала mi соответствует середине i-го интервала; значения xi ср = ( xi + xi+1 )2

занесем в 1-й столбец табл. 2.5.

Для упрощения расчетов заполним 7-й, 8-й и 9-й столбцы табл. 2.5, в результате чего вместо вариационного ряда ( xi ср и mi ) обрабатываем более

простой вариационный ряд ( zi и mi ). Пользуясь свойствами для выборочного

28

неквадратическое отклонение: σ*X = D*X ≈ 13.4. Итак, σ*X ≈ 13.4.

5. Для нахождения несмещенной оценки σɶ среднеквадратического отклонения теоретического распределения сначала найдем несмещенную оценку

дисперсии ɶ которая в данном случае равна выборочной дисперсии с учетом

D,

6. Оценку истинного значения измеренной величины дает доверительный интервал Iγ(E) для математического ожидания, который для случая большой

выборки ( n −1 > 30 ) определяется формулой (2.19). По заданной доверительной вероятности γ = 0.98 по таблице нормального распределения (распределения Стьюдента) найдем tγ = 2.33. В результате подстановки найденных па-

раметров в формулу (2.19) получим следующий доверительный интервал Iγ(E) , дающий интервальную оценку истинного значения измеренной величи-

ны: Iγ(E) = (158.0, 162.6).

7. Оценку точности измерений дает доверительный интервал Iγ(σ) для

среднеквадратического отклонения, который определяется по формуле (2.20) для случая большой выборки ( n −1 > 30 ). Для γ = 0.98 tγ = 2.33 (см. п. 6).

В результате подстановки найденных параметров в формулу (2.20) получим доверительный интервал Iγ(σ) = (11.6, 15.0).

Проверка с помощью критерия согласия Пирсона гипотезы о нормальном законе распределения физической величины. Результаты 200 из-

мерений некоторой физической величины представлены сгруппированным

29

вариационным рядом (табл. 2.6). Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения этой физической ве-

1. Найдем середины интервалов xi ср = ( xi + xi+1 )2 и сгруппированный вариационный ряд (см. табл. 2.6) заменим вариационным рядом (табл. 2.7).

2. Проверим с помощью критерия Пирсона гипотезу H0 о том, что X распределена по закону N (221;12.6). Для этого представим исходную выборку в виде табл. 2.7. Так как m1 = 3 < 5 и m8 = 2 < 5, объединим первый интервал со вторым и седьмой с восьмым интервалами из табл. 2.6, а крайние интервалы (верхний и нижний) расширим до бесконечности.

30