Sb95754

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В SIMULINK

Электронное учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2017

УДК 519.71(07) ББК З965.4с11я7

И88

И88 Моделирование систем управления в Simulink: электрон. учеб.-метод. пособие к лабораторным работам по дисциплине «Теория автоматического управления» / Сост.: В. Б. Второв, И. А. Приходько, А. А. Бурмистров, О. Э. Якупов, Т. О. Кузьмина. СПб.: Издательство СПбГЭТУ

«ЛЭТИ», 2017. 21 с.

ISBN 978-5-7629-2142-8

Содержит программы и методики выполнения лабораторных работ по анализу математических моделей систем автоматического управления на ЭВМ.

Предназначено для студентов направлений 27.03.04 «Управление в технических системах» и 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника».

УДК 519.71(07) ББК З965.4с11я7

Рецензенты: канд. техн. наук, науч. сотр. Лаборатории управления сложными системами Томчин Д. А. (ИПМаш РАН).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве электронного учебно-методического пособия

2

(АФХ). Если ЧПФ представлена в показательной форме W ( j )A( )e j ( ), то функции A( ) W ( j ) , ( ) arg W ( j ) называются, со-

ответственно, амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотными характе-

ристиками. Они характеризуют поведение устойчивого звена (системы) в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии и могут быть определены экспериментально. Для этого на вход исследуемого звена необходимо подавать гармоническое воздействие постоянной амплитуды и различной частоты. Тогда установившаяся реакция звена на это воздействие будет также гармонической функцией той же частоты, но, вообще говоря, другой амплитуды и с фазовым сдвигом относительно входной гармоники. Отношение амплитуд выходной и входной гармоник на каждой заданной частоте равно значению АЧХ, а относительный фазовый сдвиг этих функций – значению ФЧХ на указанной частоте.

Функция L ( ) 20 lg A( ) называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАХ) и графически изображается как функция частоты , рад/c, откладываемой по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, т. е. фактически как функция безразмерной переменной lg , откладываемой в равномерном масштабе. Значения L( ) измеряются в децибелах (дБ) и откладываются по оси ординат в равномерном масштабе. ФЧХ, изображаемая как функция частоты, откладываемой в логарифмиче-

ском масштабе, называется логарифмической фазовой частотной харак-

теристикой (ЛФХ). Ее значения измеряются в градусах или радианах. ЛАХ и ЛФХ называются логарифмическими частотными характеристиками

(ЛЧХ).

1.2.Программа работы

1.Задать интегрирующее звено с передаточной функцией W (p) 1/Tp ,

взяв значение T из табл. 1.1 (номер варианта задает преподаватель).

2. Выполнить анализ характеристик звена и ответить на приведенные вопросы.

а) Чему равно значение ПХ h(t) при t T ?

б) Что представляют собой графики ЛАХ и ЛФХ ? в) На какой частоте ЛАХ пересекает ось абсцисс ?

г) Как изменятся ПХ и ЛАХ при увеличении значения T вдвое ?

3. Задать апериодическое звено первого порядка с ПФ W (p)

1/ (Tp 1) , взяв то же значение T , что и в п. 1.

4.По результатам анализа ответить на приведенные вопросы.

2

а) Чему равно значение h(3T ) ? б) Каков полюс ПФ ?

в) Каковы значения ЛАХ и ЛФХ на частотах 1/ T , 0.1/ T и 10 / T ?

г) Как изменятся значения ПХ и ЛЧХ при уменьшении значенияT в 2 раза ? Что при этом произойдет с АФХ ?

д) Как изменятся значения ПХ и ЛЧХ при увеличении коэффициента передачи в 2 раза ?

5.Задать неустойчивое апериодическое звено первого порядка с ПФ W (p) 1/ (Tp 1) , назначив значениеT в соответствии с п. 1.

6.На основании анализа ПХ, ЛАХ, ЛФХ, АФХ, полюса ПФ дать характеристику различий в свойствах звеньев, заданных в пп. 3 и 5.

8. Выполнить анализ характеристик звена и ответить на приведенные вопросы.

а) Как влияет на показатель качества ПХ (максимальное значение, длительность переходного процесса, период колебаний) уменьшение коэффициента затухания в 5 раз по сравнению с заданным?

б) Как повлияет на эти же показатели уменьшение постоянной времени T в 2 раза ?

в) Как меняется картина расположения полюсов передаточной функции при изменении и T ?

г) Что происходит с высотой резонансного пика ЛАХ при уменьшении и с резонансной частотой р при уменьшении ?

9. Увеличить значение до произвольного значения, большего или равного единице, превратив тем самым звено в апериодическое звено второго порядка. Описать изменения, произошедшие с ПХ и с расположением полюсов на комплексной плоскости.

10. Определить путем имитации реального эксперимента значения АЧХ (ЛЧХ) и ФЧХ (ЛФХ) апериодического звена (значение T взять из табл.1.1)

3

при трех значениях частоты : 1/T, 0.1/T, 10 /T . Рекомендуется воспользоваться следующей последовательностью действий:

на вход исследуемого звена подать гармонический сигнал единичной амплитуды и заданной частоты;

определить амплитуду выходного сигнала Ym и его временной сдвиг

t относительно входного; указанные измерения следует производить по прошествии интервала времени не менее 3T , когда наблюдаемый на вы-

ходе звена процесс можно считать установившимся; удобно совместить в одном окне входной и выходной процессы с помощью мультиплексора;

определить значения АЧХ и ФЧХ как A( ) Ym и ( ) t , а также вычислить L ( );

полученные для каждого значения частоты данные занести в таблицу. 11. Описанным в предыдущем пункте способом определить значения

АЧХ (ЛЧХ) и ФЧХ (ЛФХ) колебательного звена с параметрами, взятыми из табл. 1.1, при указанных значениях частоты.

1.3.Содержание отчета

1.Ответы на вопросы, содержащиеся в программе работы.

2.Результаты экспериментального определения АЧХ и ФЧХ (и, соответственно, ЛЧХ и ЛФХ) апериодического и/или колебательного звеньев. Изобразить теоретические графики асимптотических ЛАХ рассматриваемых звеньев и нанести на них точки, определенные экспериментально, а также в 4, в). Прокомментировать результаты.

Контрольные вопросы

1.Дайте определения передаточной функции, частотной передаточной функции, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ, ЛФХ звена (системы).

2.Каков "физический смысл" АЧХ и ФЧХ (с точки зрения реакции на гармоническое воздействие)?

3.Зависит ли точность экспериментального определения АЧХ и ФЧХ от интервала наблюдения?

4.Выведите аналитические выражения для переходных характеристик интегрирующего и апериодического звеньев.

5.Каков "физический смысл" постоянной времени интегрирующего зве-

на?

6.Укажите максимальное число способов определения постоянной времени апериодического звена по графику его переходной характеристики.

4

7.Как связаны полюсы ПФ колебательного звена с поведением огибающей его переходной характеристики и частотой колебаний?

8.Выведите аналитическую зависимость между значением ЛАХ колебательного звена на частоте 1/ T и коэффициентом затухания .

Лабораторная работа № 2

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ НА КАЧЕСТВО АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Цель работы – изучение влияния изменения параметров системы на показатели качества и на характер протекающих в системе процессов.

2.1. Основные сведения

Важнейшими показателями качества (ПК) переходной характеристики (ПХ) h(t) , или прямыми показателями качества системы являются:

время регулирования t р – время, по истечении которого ПХ не выходит из области допустимых (обычно пятипроцентных) отклонений от

0.05 h( ) ;

время нарастания tн – время первого достижения УЗ;

перерегулирование – превышение максимума ПХ над УЗ в про-

центах от УЗ: hmax h( ) 100 . h( )

Среди косвенных ПК систем автоматического управления широко упо-

требляются частотные и корневые.

Некоторые частотные ПК:

частота среза с – частота, при которой ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось абсцисс: L( с) 0 ; служит мерой быстродействия системы;

запас устойчивости по фазе – превышение ЛФХ разомкнутой системы на частоте среза над уровнем –180 (в устойчивой системе):180 + + ( с); с уменьшением переходные процессы становятся более колебательными;

полоса пропускания п – частота, при которой значение АЧХ замкнутой системы в 2 раз меньше ее значения на нулевой частоте:

5

M A зmax A з(0) ; характеризует склонность системы к колебаниям. Основные корневые ПК:

степень устойчивости – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня (или пары комплексно-сопряженных корней) характеристического полинома (ХП) замкнутой системы; является мерой быстродействия; если ПФ не имеет нулей, то при увеличении действительной и мнимой частей каждого полюса в k раз длительность переходного процесса сократится также в k раз;

колебательность – отношение модулей мнимой и вещественной частей ближайшей к мнимой оси пары комплексных корней ХП; чем больше , тем меньше затухание колебаний за период.

Некоторые способы суждения об устойчивости системы:

для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни ХП располагались в левой полуплоскости; если один корень находится в начале координат или одна пара корней – на мнимой оси (остальные – в левой полуплоскости), то система находится на границе устойчивости – соответственно, апериодического или колебательного типа);

в асимптотически устойчивой системе все коэффициенты ХП положительны; если хотя бы один из коэффициентов ХП отрицателен, система неустойчива;

согласно критерию Гурвица, для асимптотической устойчивости системы третьего порядка с положительными коэффициентами ХП необходимо и достаточно, чтобы произведение двух средних коэффициентов было больше произведения двух крайних коэффициентов (для колебательной границы устойчивости имеет место равенство этих произведений);

согласно критерию Найквиста, если ПФ разомкнутой системы имеет полюсы только в левой полуплоскости (кроме, возможно, одного нулевого), то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от нуля до бесконечности АФХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (–1, j0), или, что то же самое, чтобы разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФХ через луч

6

( , 1] равнялась нулю; в терминах ЛЧХ это соответствует тому, что в диапазоне частот, где ЛАХ разомкнутой системы лежит выше оси, разность между числом положительных (снизу вверх) и отрицательных (сверху вниз) переходов ЛФХ через горизонтальную прямую с ординатой

180 равняется нулю.

2.2. Программа работы

Работа рассчитана на два занятия: программа первого включает зада-

ния 2.2.1 и 2.2.2, второго – 2.2.3.

2.2.1. Исследование влияния контурного коэффициента усиления системы на ее динамические свойства

1. Задать структурную схему системы третьего порядка, составленную

2. Для значений k , равных 0.1T1, 1 T1 и 10T1, определить и занести в таблицу значения t р, t н, , п, Lзmax 20 lg Aзmax , корней ХП, и . Описать изменение характера переходного процесса с увеличением k .

3. Увеличить k до значения 12T1 . Ответить на вопросы: каким стал пе-

реходный процесс? какие изменения произошли с корнями ХП?

4. Разомкнуть обратную связь. Для значений k , указанных в пп. 2 и 3, определить и занести в таблицу с и (только для первых трех значений k ), а также исследовать с позиций критерия Найквиста изменения, происходящие в АФХ и ЛЧХ с ростом k .

2.2.2. Исследование влияния относительной инерционности звеньев системы на ее устойчивость

5. В предыдущей схеме, но с замкнутой обратной связью и со значением k , назначенном в п. 3, уменьшить T1 в 4 раза. Описать изменения, произо-

шедшие в характере переходного процесса и в расположении корней ХП. 6. Задать структурную схему системы, состоящей из трех последова-

тельно соединенных апериодических звеньев с постоянными времени T1,T2

7

и T3 , охваченных единичной отрицательной обратной связью. Одно из звеньев имеет коэффициент передачи k , остальные – единичный.

7. Назначить T1 T2 T3 T , где T – произвольная константа. Подобрать такое значение k кр контурного коэффициента k , при котором систе-

ма выйдет на колебательную границу устойчивости, т. е. ПХ примет вид незатухающих колебаний. Определить частоту f , Гц, этих колебаний.

8. Назначить T1 T2 T3 0.5 T . Снова определить k кр и f , сравнить

их с предыдущими значениями.

9. Оставив k k кр, задать новое соотношение постоянных времени: T1 0.2 T, T2 T, T3 5T . Охарактеризовать изменения, произошедшие в свойствах системы. Увеличением k определить новое значение k кр.

10.По результатам исследований в пп. 5–9 ответить на вопрос: какие факторы – абсолютные значения постоянных времени или их соотношения – влияют на устойчивость, характер переходных процессов в системе и на ее критический коэффициент усиления ?

2.2.3.Изучение стандартных полиномов

идиаграммы Вышнеградского

11.Задать структурную схему системы третьего порядка в управляемой канонической форме (рисунок).

+ +

12. Задать систему с единичным коэффициентом передачи и ХП Баттерворта, для чего назначить a1 2 0 , a2 2 02 , a3 03 , b a3. Значение 0 взять из приведенных ниже:

13.Определить корни ХП и установить закономерность их геометрического расположения на комплексной плоскости. Определить t р, и п.

14.Повторить анализ, увеличив 0 в 2 раза.

8