sb000001

имеющему при y0 = 0, t0 = 0 известное решение

описывающее линейно-параболический закон термического окисления (линейный при

При высоких уровнях легирования (С > 1019 см–3) скорость окисления возрастает. Согласно модели [14] это происходит вследствие увеличения полной относительной концентрации вакансий Cvt, связанной с константой скорости линейного окисления

соотношением

К л К лi 1 g C vt 1 ,

где Клi – константа скорости линейного окисления слаболегированного материала, g –

где Cv0, Cv – полные концентрации вакансий в собственном и несобственном полупроводниках соответственно. Полная концентрация вакансий в собственном полупроводнике равна сумме концентраций нейтральных V0 , положительных V+ , отрицательных V– и дважды отрицательно заряженных V= вакансий

C vi C vi0 C vi C vi C vi .

Полная концентрация вакансий в несобственном полупроводнике зависит от концентрации носителей заряда N и P следующим образом:

Концентрации заряженных вакансий в собственном полупроводнике определяются

11

где Ev и Ec – положение потолка валентной зоны и дна зоны проводимости, Еfi – уровень Ферми в собственном полупроводнике, в Si

E fi 0 ,5 E v Ес 0 ,48 kT .

C увеличением уровня легирования кремния возрастает также и коэффициент параболического окисления вследствие увеличения коэффициента диффузии окислителя в легированном окисле [14]:

K n K ni 1 rC 0 , 22 ,

где Кпi – константа параболического окисления слаболегированного материала, С – концентрация примеси на границе раздела Si–SiO2, r – подстроечный параметр,

При термическом окислении неоднородно легированного слоя константы окисления становятся функциями глубины прокисления кремния x = ky (k = 0,45), а через нее и функцией времени окисления. Дифференциальное уравнение (4.11) становится нелинейным вида

и его необходимо решать численными методами. В простейшем из них методе Эйлера [13] итерационная формула имеет вид

y n 1 y n f t n , y n t ,

где t – шаг интегрирования по времени.

Для повышения точности численного расчета рекомендуется использовать методы более высокого порядка, например Рунге–Кутта [13]. Расчет концентраций носителей

12

заряда n и p в формуле (4.12) проводится по концентрации примеси C в легированных слоях с использованием выражений (4.5) – (4.9).

4.5. Перераспределение примесей при термическом окислении

При термическом окислении происходит перераспределение примесей между полупроводником и растущим окислом. При невысоких скоростях окисления, меньших скорости продвижения диффузионного фронта, отношение концентраций примеси в окисле C(SiO2) и в кремнии C(Si) на границе раздела устанавливается постоянным, равным коэффициенту сегрегации

m C SiO 2 . C Si

Если энергия образования оксида примеси больше, чем оксида кремния, то m < 1, примесь не захватывается окислом, а оттесняется в кремний, накапливаясь на границе раздела (примеси P, As, Sb в Si). Если энергия образования оксида примеси меньше, чем оксида кремния, то наоборот: m > 1, примесь захватывается окислом, поверхность кремния обедняется примесью (примеси В, Al в Si). Значения коэффициентов сегрегации для основных легирующих примесей в кремнии приведены в прил.5.

В системе с движущейся границей раздела Si–SiO2 x = y – kw, где w – толщина окисла, k – отношение толщины окисленного кремния к толщине образовавшегося окисла (k = 0,45), при коэффициенте диффузии примеси в кремнии D = const, а в окисле Dок = 0 уравнение диффузии принимает форму [15]

Начальное и граничное условия имеют вид

C x , y C 0 y при y ≥ 0,

При параболическом законе окисления w Bt задача имеет точное решение в интегральной форме [16]:

13

В случае однородного начального распределения легирующей примеси в кремнии C(x,0) = C0 = const и отсутствия начального окисла w(0) = 0 распределение примеси в кремнии после термического окисления описывается аналитическим выражением [15]

где x – координата, отсчитываемая от границы раздела Si–SiO2. Распределение концентрации примеси в окисле по глубине при этом постоянно:

В случае неоднородного исходного распределения примеси по дополнительной функции ошибок (после первой стадии диффузии при C(0,t) = Спов = const и D0 = const)

распределение примеси в кремнии после термического окисления описывается аналитическим выражением [15]

4.6. Решения уравнения диффузии при D = const

В ряде операций технологии ИС используется диффузионное или ионное легирование с низкими концентрациями легирующих примесей (C < ni), например, при создании карманов и подлегировании каналов в технологии МОП ИС, создании резисторов и базы в технологии биполярных ИС. В этих случаях коэффициент диффузии

14

легирующей примеси не зависит от концентрации (D = const) и уравнение диффузии имеет вид

В общем случае при произвольном начальном распределении примеси C(x,0) = C0(x) дифференциальное уравнение (4.13) имеет решение в интегральной форме для бесконечного пространства ( x ) в виде

толщину, несколько превышающую ожидаемую глубину диффузии, или p–n–перехода, например 10L , где L 2 Dt – диффузионная длина.

В отдельных частных случаях уравнение диффузии (4.13) имеет точные решения в виде аналитических или известных табулированных функций exp(-y2), erf(y), erfc(y), где

y Lx . Так, например, при диффузии из бесконе6чного (постоянного) источника (C(0,t)

=Cпов =const) на этапе загонки легирующей примеси

При диффузии из ограниченного источника с количеством примеси Q и отражающей

При диффузии в неограниченном теле из полубесконечного пространства с равномерным распределением примеси (C(x,0) = C0 при x ≤ 0)

15

Этот случай имеет место в планарно-эпитаксиальной технологии ИС при выращивании слаболегированных эпитаксиальных пленок на сильнолегированных подложках или скрытых слоях.

При диффузии из полуограниченного равномерно легированного тела (C(x,0) = C0 при x ≥ 0) наружу (испарении) со связывающей (поглощающей) границей (C(0,t) = 0)

C x,t C0erf 2 xDt .

При наличии активационного барьера для испарения примеси граничное условие на поверхности имеет вид

D C 0,t sC 0,t ,

x

где s – коэффициент испарения примеси. Решение уравнения диффузии для полу– ограниченного тела с равномерным исходным легированием имеет в этом случае вид [17]

Возможность потерь и перераспределения примесей вследствие испарения необходимо учитывать при отжигах полупроводниковых подложек и легированных слоев с незащищенной поверхностью в вакууме, нейтральных средах (Ar, N2), а также при предэпитаксиальной обработке подложек в водороде. Параметры температурной зависимости коэффициентов испарения и определяемых совместно с ними коэффициентов диффузии легирующих примесей в кремнии приведены в прил.6.

4.7. Диффузия примеси с низкой концентрацией. Решение методом конечных разностей

Универсальными методами решения уравнения диффузии при произвольном начальном распределении, практически любых граничных условиях и переменном коэффициенте диффузии являются численные методы и, в частности, метод конечных разностей. В этом методе в области решения по координате x (0 – Н) и по времени t (0 – Т)

вводится сетка с шагом по координате x HN и шагом по времени t MT , где N и M

– число шагов по x и t соответственно. Поэтому текущая координата x = i x (i = 0,1,2,...N), а текущее время t = j t (j = 0,1,2,...M). Вместо непрерывной функции C(x,t) в области решения ищется сеточная функция С(I,J), такая, что С(xi,tj) = C(I,J).

16

В уравнении (4.13) производные заменяются конечными разностями

В результате дифференциальное уравнение (4.13) сводится к разностному уравнению

Отметим, что использование явной разностной схемы интегрирования (4.15) обусловлено тем, что она более проста по сравнению с неявной схемой, требует меньше оперативной памяти и временных затрат при расчете каждого временного слоя.

В прил.9 представлен пример Бейсик–программы решения уравнения диффузии (4.15) методом конечных разностей по явной схеме при D = const с начальным распределением C(x,0), заданным функцией FNF(x) и граничными условиями

С 0,t 0 или C0 C1 (отражающая граница),

x

C H ,t 0 или CN = 0 (поглощающая граница).

Условие устойчивости и сходимости учтено при вводе числа шагов по времени (строка 100). Тем не менее, желательно проверить решение на сходимость путем увеличения числа шагов по времени и сравнить приближенное численное решение для какого–либо частного случая с известным точным аналитическим решением. Начальное распределение вводится в строках 180–200, граничные условия используются в строках 270–280. Программа завершается распечаткой рассчитанного распределения в виде таблицы значений координат x I x и концентраций C(I,M). Блок–схема программы приведена в прил.10.

17

диффузионное, или ионное легирование с высокой концентрацией легирующей примеси (C > ni), например при разделительной диффузии, создании скрытых слоев и областей эмиттера, подлегировании коллектора в технологии биполярных ИС, при формировании областей стока и истока, стоп–слоев, подлегировании омических контактов в технологии МОП ИС. Во всех этих случаях коэффициент диффузии легирующей примеси является функцией локальной концентрации примеси D = D(C).

Согласно современным представлениям [6,14], коэффициент диффузии легирующей

где Di0 , Di , Di , Di – парциальные коэффициенты диффузии примеси посредством

соответственно нейтральных, положительных, отрицательных и дважды отрицательно заряженных собственных точечных дефектов (вакансий и/или собственных междоузельных атомов) в собственном или слаболегированном полупроводнике. Значения параметров температурной зависимости парциальных коэффициентов диффузии для основных легирующих примесей в кремнии приведены в прил.7.

Согласно выражению (4.17) коэффициент диффузии легирующей примеси является функцией концентрации примеси через концентрацию носителей заряда, т.е. D = D(C(n,p)). В этом случае необходимо пользоваться уравнением диффузии в форме

где L xt2 , D I – коэффициент диффузии, отвечающий концентрации примеси Ci. Т.е.

в программе перед использованием формулы (4.19) внутри цикла по J для каждого значения C(I,J) должны быть рассчитаны концентрации носителей заряда (см. 4.3) и соответствующие им коэффициенты диффузии (4.17). Для определения условий сходимости в этом случае перед введением числа шагов по времени M должен быть определен коэффициент диффузии, отвечающий максимальной концентрации примеси в исходном распределении. Блок–схема программы решения уравнения диффузии при D = D(C) приведена в прил.11.

18

4.10. Диффузионная разгонка бора и фосфора в кремнии (D = D(t))

Вторая стадия диффузии – разгонка проводится после удаления с поверхности источника примеси (примесно–силикатного стекла) в атмосфере кислорода при более высоких температурах и длительностях, чем загонка. На этой стадии создается легированный слой с требуемыми глубиной и поверхностным сопротивлением, а на поверхности вырастает защитный слой диоксида кремния заданной толщины. Аналогичным образом проводятся активация и отжиг имплантированных слоев после внедрения ионов легирующих примесей. В обоих случаях имеет место диффузия из ограниченного источника с коэффициентом диффузии, зависящим в случае легирующих примесей B и P от максимальной концентрации примеси Cmax. Последняя, в свою очередь, является функцией времени диффузионной разгонки или отжига, т.е.

D D Cmax D t .

Выражения для коэффициентов диффузии B и P имеют вид, аналогичный выражениям (4.20) и (4.21) с заменой nпов и pпов на соответственно nmax и pmax:

Поскольку коэффициенты диффузии не зависят от координаты x, уравнение диффузии имеет вид (4.13) и при его решении методом конечных разностей можно воспользоваться схемой (4.15). Параметр L в (4.15) является в нашем случае функцией времени и поэтому должен пересчитываться на каждом новом шаге по времени с учетом формул (4.25) или (4.26).

Блок–схема программы расчета диффузионной разгонки с D = D(t) приведена в прил.12.

4.11. Совместная диффузия легирующих примесей (D2 = D2(C1))

При совместной диффузии примеси могут влиять друг на друга. Известно, например, что в технологии биполярных ИС при диффузии эмиттерной легирующей примеси 1 происходит ускоренная диффузия базовой легирующей примеси 2 (так называемый дип– или пуш–эффект [6]). Аналогичный эффект имеет место также при создании ДМОП– транзисторов, подлегировании омических контактов и его необходимо учитывать при технологическом моделировании ИС.

Степень ускорения диффузии пропорциональна поверхностной концентрации носителей заряда эмиттерной примеси ( n1пов ) при диффузионном легировании или максимальной концентрации носителей заряда ( n1max ) при ионном легировании. Таким

20