LS-Sb90913

2.3.Индивидуальные задания

1.Однородный конус с радиусом основания 0.5 м и массой 5 кг враща-

ется вокруг своей оси. На рис. 1.2 приведена линейная скорость концов диа-

метра основания от времени. Постройте графики зависимостей M(t) и L(t) за время t = tн − tк, указанные в условии задания 1.3, п. 2.

2. На рис. 2.1 приведено тело, параметры массы m = 2 кг и размера

x = 0.1 м. Определите положение центра масс и момент инерции этого тела относительно оси z в соответствии со своим номером N (табл. 2.2).

3. В условиях предыдущей задачи тело в момент времени t = 0 c начи-

нает вращаться вокруг фиксированной оси z так, что угол поворота ϕ цен-

трального стержня изменяется во времени по закону ϕ(t ) = At3 + Bt2 + Ct .

Числовые значения коэффициентов A, B, C указаны в табл. 2.2. Определите аналитические зависимости от времени угловых скорости ω и ускорения ε тела, линейных скорости v и ускорения a центра масс тела, вращающего мо-

мента M. Вычислите значения этих величин в момент времени t1 = 2 c.

11

12

4. Определите значение внешней силы, которую нужно приложить к центру масс тела, изображенного на рис. 2.1, перпендикулярно плоскости ри-

сунка, чтобы вызвать движение, заданное уравнением в п. 3 данного задания.

Тело может вращаться только относительно оси z. Трение отсутствует.

13

4. На сплошной однородный диск намотана невесомая нерастяжимая нить, второй конец которой закреплен (рис. 2.2, г). С каким ускорением будет опускаться диск, если его предоставить самому себе?

Ответ: 6.5 м/c2.

5. Круглый металлический обруч массой m = 1 кг и радиусом r = 0.2см вращается относительно своего центра с угловой скоростью ω = 20π радс.

Ось вращения перпендикулярна плоскости обруча. Определить момент инер-

ции относительно оси вращения.

Ответ: 0.04 êã× ì 2

6. Вентилятор вращается с частотой ν = 15 с–1 . После выключения вен-

тилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Работа сил торможения А = 44.4 Дж. Определите момент сил торможения, считая его постоянным.

Ответ: 94·10–3 Н· м.

Занятие 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

3.1.Подготовительные задания

1.Дайте определение частной производной функции. Какой геометри-

ческий смысл имеет частная производная от функции двух переменных? Как вычислить значение частной производной в данной точке? Что такое опера-

тор? Каков смысл оператора "градиент"? Как обозначается этот оператор?

Как вычислить значение градиента функции трех переменных (координат) в

данной точке пространства? Что называется дифферен-циальным уравнени-

ем?

2. Объясните понятия и термины: внутренние и внешние силы, замкну-

тая и открытая система, импульс p и момент импульса L системы, скорость механической системы как целого, полная энергия системы W, упругий и не-

упругий удары, центр инерции системы, работа А, потенциальная Wп и ки-

нетическая Wк энергии, консервативные и диссипативные силы, потенциаль-

15

ные и непотенциальные поля, время релаксации τ. Укажите размерности и единицы измерения перечисленных физических величин.

3. В чем преимущество использования законов сохранения по сравне-

нию с детальным решением уравнения движения? 4. Дайте пояснения к следующим формулам:

3.2.Теоретические задания

1.Пользуясь законами Ньютона, докажите, что импульс и момент им-

пульса замкнутой системы есть величины постоянные. Справедливо ли это утверждение, если рассматривается неупругий удар?

2. Выведите формулу Циолковского

которая выражает скорость ракеты v , приобретенную за счет выбрасывания продуктов сгорания топлива со скоростью u через начальную массу ракеты m0 и массу m , которую она имеет в момент вычисления скорости.

16

3. Докажите, что всегда можно подобрать такую инерциальную систе-

му отсчета, в которой импульс замкнутой системы будет равен нулю. Пока-

жите, что в этой системе центр масс неподвижен.

4. Докажите, что законы Кеплера получены на основании закона со-

хранения момента импульса замкнутой системы.

5. Докажите теорему: кинетическую энергию системы тел можно пред-

ставить в виде суммы двух членов – кинетической энергии материальной точки массой m, равной сумме всех масс mi тел системы и движущейся как центр масс системы, и кинетической энергии всех тел в системе отсчета,

жестко связанной с центром масс (см. (3.7), где vi – скорость тел относи-

тельно центра масс системы).

6. Частица находится в стационарном потенциальном силовом поле.

Как связана сила, действующая на частицу в каждой точке этого поля, с по-

тенциальной энергией частицы?

7. Пусть тело движется в вязкой среде под действием силы тяжести,

причем сила трения пропорциональна скорости движения Fтр = −r v . Пока-

жите, что время релаксации τ равно отношению массы тела к коэффициенту сопротивления среды r, а равновесное значение скорости v∞ = gτ .

3.3.Индивидуальное задание

1.В центр масс тела (рис. 2.1) попадает пуля массой m0 = 10 г, летев-

шая со скоростью v = 1000 мс перпендикулярно плоскости оси вращения z

и стержня. С какой угловой скоростью начнет двигаться тело после удара,

если до удара оно было неподвижно? Параметры тела и положение оси z вы-

берите из табл. 2.2 в соответствии со своим номером.

2. В условиях предыдущей задачи вычислите, какая часть кинетиче-

ской энергии пули переходит в тепло.

3. В условиях задачи 1 данного задания вычислите приращение кине-

тической энергии тела за счет удара пули, если в момент удара тело враща-

лось с угловой скоростью ω = 2πN. Рассмотрите два направления вращения.

Объясните полученный результат.

17

4. Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле опреде-

ляется выражением Wп = a f ( x, y, z ) , где a – константа, равная 2 Дж/м3. Ка-

кая сила действует на эту частицу в момент, когда ее координаты равны

5. В условиях задания 1.3, п. 4 мина разрывается на два осколка с соот-

ношением масс 1/(N + 2) в момент времени t1 (табл. 1.3). Меньший осколок,

вектор скорости которого направлен под углом 180° к вектору скорости ми-

ны в момент разрыва, возвращается в точку выстрела. Найдите расстояние от точки выстрела до места падения второго осколка.

6. Определите модуль изменения импульса мины в условиях задания

1.3, п. 4 через время t2 , если известно, что масса мины равна 10 кг.

7. В условиях задания 1.3, п. 4 определите условное место падения цен-

тра масс системы осколков, если мина разрывается на N + 3 осколка в момент времени t2 (табл. 1.3).

18

3.4.Контрольные задания

1.Соударяются две частицы (материальные точки), которые могут дви-

гаться только в горизонтальной плоскости. Начальные данные: m1 = 0.085 кг , m2 = 0.2 кг , v1 = i 0.064 мс, v2 = (i 0.064 - j 0.02 )мс. Определите скорость

центра масс v , общий импульс P , скорость обеих частиц ( v1 и v2 ) относи-

тельно системы отсчёта, в которой центр масс остается неподвижным.

Ответ: (-i 0.023- j 0.014 ) мс; (i 0.796 - j 0.4 )×10−2 кг× мс ; (i 0.092 + j 0.014 ) мс; (i 0.039 - j 0.06 ) мс .

2. Чему равно отношение кинетической энергии вращательного и по-

ступательного движений твердого цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения?

3. Диск и тонкий обруч скатываются без проскальзывания с высоты h = 0.5 м по наклонной плоскости, ориентированной под углом α = 30° к го-

ризонту. Начальные скорости тел v0 равны нулю. Найдите линейные скоро-

сти v диска и обруча у основания плоскости, ускорения а центров масс диска и обруча, времена скатывания tск . Сравните полученные значения для тела,

соскальзывающего с этой наклонной плоскости без трения.

Ответ: 2.56 м/с; 2.21 м/с; 3.27 м/с2; 2.45 м/с2; 0.78 с; 0.9 с; 3.13 м/с; 4.9м/с2; 0,64 с.

4.Решите задания 2.4, п. 1–4, используя закон сохранения энергии.

5.Ангармоничная пружина, упругая сила которой изменяется в зави-

симости F = -h x3 , где η – константа, Н/м3 . Чему равна потенциальная энергия этой пружины при растяжении ее на величину x, если при х = 0 ее потенциальная энергия равна нулю?

Ответ: hx4 4 .

6. Вычислите кинетическую, потенциальную и полную энергию спут-

ника массой 500 кг, движущегося по круговой орбите радиусом 6750 км, если момент импульса спутника L = 2.7·1013 кг·м2/c.

Ответ: 1.6 ·1010 Дж; –3.2· 10 10 Дж; 1.6 ·1010 Дж.

19

7. Карандаш длиной 15 см, поставленный вертикально, падает на стол без проскальзывания. Какую линейную скорость будет иметь верхний конец карандаша в конце падения?

Ответ: 2.1 м/c.

Занятие 4. КОЛЕБАНИЯ

4.1.Подготовительные задания

1.Объясните понятия и термины: гармонические колебания, амплитуда

Х0, фаза α, циклическая частота ω, частота ν, начальная фаза α0 , период Т гармонических колебаний, осциллятор, фазовое пространство, фазовая траек-

тория, пружинный и математический маятники, физический маятник, доб-

ротность Q, коэффициент затухания δ, логарифмический декремент затуха-

ния Θ, резонанс. Укажите размерности и единицы измерения физических ве-

личин. Дайте определения вынужденных и свободных колебаний. 2. Дайте пояснения к следующим формулам:

20