LS-Sb90292

го поля при протекании постоянного тока можно на основе решения первого уравнения Максвелла, которое в данном случае будет иметь вид rot H = J.

Выберем систему координат так, чтобы геометрическая ось проводника совпадала с осью 0z. Плотность тока проводимости в этом случае будет иметь только одну составляющую Jz. В результате, записав ротор функции и приравняв коэффициенты при одинаковых ортах, получим, что все проекции, кроме проекции на ось 0z, равны нулю, а для проекций на ось 0z можно записать:

При расчете напряженности магнитного поля можно воспользоваться цилиндрической симметрией задачи (все направления в сечении, перпендикулярном оси 0z, равнозначны), которая для данного уравнения означает равенство нулю производной по φ. Таким образом, в левой части уравнения остается только одна производная по r. Следовательно, напряженность магнитного поля в данной задаче будет иметь только одну составляющую Hφ ,

направленную по касательной к окружностям с центром в начале координат. Ее можно найти, решив дифференциальное уравнение:

1 ∂ (rHφ ) = J z . r ∂r

Удобно искать решение данного уравнения отдельно для каждой из рас-

21

геометрическая ось которого совпадает с осью центральной жилы). Благодаря непрерывности касательной составляющей напряженности

магнитного поля решение, полученное для предыдущего интервала, будет служить граничным условием для следующего. В результате, после несложных преобразований и интегрирования, получим:

∂∂r (rHφ) = rJ z Hφ(r) = rJ z 2 + C2 r ,

На первом интервале напряженность магнитного поля прямо пропорциональна радиусу. Плотность тока в центральной жиле J z можно найти, исхо-

дя из заданного значения тока I1: J z = 4I1(πdпр2 ).

Если в условии задачи диаметр центральной жилы не задан, его можно найти, исходя из допустимого уровня разогрева проводника протекающим по нему током и предельно допустимой для данного диэлектрика напряженности поля, так как диэлектрик может выполнять свою функцию, только если напряженность поля не превышает определенной величины. В противном случае между токоведущими частями кабеля может возникнуть разряд, который закоротит их.

Допустимый уровень разогрева медного проводника достигается, если плотность тока в нем не превышает 5 А/мм2. Это значение накладывает ограничение на минимальный диаметр проводника: dпр = 4I1(π Jдоп ).

Максимальная напряженность электрического поля всегда будет достигаться на поверхности центральной жилы. Допустимая напряженность поля Eпроб также накладывает ограничение на минимальный диаметр проводника:

этих двух значений.

22

Напряженность магнитного поля на поверхности центральной жилы (т. е. в точках, одновременно принадлежащих и первому, и второму интерва-

лам): Hφ (dпр2) = J zdпр4 = I1(πdпр ).

При преобразовании и интегрировании уравнения для второго интерва-

ла, в котором нет тока, получим: ∂∂r (rHφ ) = 0 Hφ(r) = C1r . Здесь C1 – по-

стоянная интегрирования, которую можно найти из граничного условия:

Hφ (dпр2) = 2С1dпр C1 = Hφ (dпр2)dпр2.

На втором интервале напряженность магнитного поля обратно пропорциональна радиусу.

Вид решения для третьего интервала аналогичен полученному для первого:

∂∂r (rHφ ) = rJ z1 Hφ(r) = (12)rJ z1 + C2 r .

Значение постоянной интегрирования C2 можно определить из условия на границе dвн:

Hφ (dвн2) = J zdвн4 = J z1dвн4 + С2 (dвн2) С2 = dвн2 ( J z − J z1)8,

где J z1 – плотность тока в оплетке, которая так же не должна превышать допустимую плотность тока Jдоп. Данное условие позволяет определить внеш-

ний радиус оплетки.

Кстати, если токи в центральной жиле и оплетке равны друг другу и противоположны по направлению, напряженность магнитного поля за границей проводника должна быть равна нулю.

Удельную плотность энергии магнитного поля на произвольном расстоянии R от цилиндрического провода можно найти по формуле

ωH (r ) = H (r) B(r) , 2

где B(r) = µH (r) – индукция магнитного поля. Энергию, которая запасается в магнитном поле, коаксиального кабеля единичной длины, можно определить

Значение вектора Пойнтинга, который описывает поток энергии электромагнитного поля, можно определить как векторное произведение напряженно-

23

стей электрического и магнитного полей в данной точке П = E × H. В данном случае вектор Пойнтинга имеет две взаимно перпендикулярные составляющие: Пz = Er Hφ и Пr = Ez Hφ. Первая из них описывает передачу электро-

магнитной энергии по кабелю. Вторая – восполнение энергии, потерянной за счет нагрева проводящего провода протекающим по нему током. Значение

модуля вектора Пойнтинга можно найти по формуле: П = П2z + П2r . Суммарную мощность, передаваемую по кабелю, можно либо опреде-

лить, проинтегрировав составляющую вектора Пойтинга Пz по r от dпр2 до dвн12 , либо найти по формуле P = UI1.

2.4.Исследование взаимодействия незаряженной частицы

ивнешнего электростатического поля

Очевидно, что внешнее электрическое поле будет искажаться за счет свободных (если частица проводящая) или связанных (если она диэлектрическая) зарядов, скапливающихся на ее поверхности, т. е. основным элементом, который искажает равномерное электрическое поле, является шар. Поэтому задачу удобно решать в сферических координатах (r, φ, θ).

Точку отсчета удобно поместить в начало координат и совместить с центром шара. В этом случае распределение потенциала однородного электрического поля можно найти: U0 = −E0z = −E0r cosθ.

Появление шара с другой диэлектрической проницаемостью приводит к изменению распределения поля. Однако это распределение как внутри сферы, так и снаружи нее подчиняется уравнению Лапласа, которое в сферической системе координат можно записать следующим образом:

Поставленная задача симметрична относительно направления напряженности электрического поля, т. е. ∂U ∂φ = 0 , и уравнение Лапласа необходимо решать в виде

Общий вид решения подобного уравнения имеет вид

24

где Аn, Bn, Cn – постоянные интегрирования для n-й среды. Индексом e будем обозначать внешнюю среду, индексом i – среду внутри шара.

Для решения задачи необходимо найти постоянные интегрирования. При совмещении начала координат и центра шара Ui = 0 при r = 0. Это возможно, только когда постоянные интегрирования Bi = 0, Ci = 0. Таким образом, внутри шара напряжение Ui = Air cosθ. Постоянная C определяется точкой отсчета и, следовательно, одинакова для внешней и внутренней сред:

Ci = Ce = 0.

При r → ∞ поле шара не оказывает влияния на начальное, равномерное распределение напряженности электрического поля, т. е. U (∞) = −E0z = = −E0r cosθ. С другой стороны, Ue = Aer cosθ. Эти две формулы совпадают с точностью до обозначений: Ae = −E0. Таким образом, для определения поля

Для определения постоянных интегрирования Аi и Be воспользуемся граничными условиями на поверхности шара. При r = r0: Ui = Ue или Air0 =

= −E0r0 + Be r02 .

Другим условием на границе двух диэлектриков является условие равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:

Совместное решение двух алгебраических уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:

Таким образом, для нахождения распределения потенциалов внутри и снаружи шара, получаем систему уравнений:

25

Поле внутри и вне частицы состоит из двух составляющих: первая – описывает внешнее постоянное электрическое поле, вторая – поле, потенциал

которого уменьшается пропорционально 1r2 . Подобная зависимость характерна для поля диполя, т. е. поле поляризованного шара таково, как будто бы в центре него находится диполь с электрическим моментом

P = kE = 4πεe (d1 2)3 εi −+εe E, 2εe εi

где k – коэффициент диполя.

Замечания

1. Распределение поля в случае металлического шара можно получить, устремив диэлектрическую проницаемость среды шара в бесконечность:

εi → ∞ . В этом случае дипольный момент можно найти по формуле P = kE =

=4πεer03E, а потенциал и напряженность поля внутри шара равны нулю. Ли-

нии внешнего электрического поля будут перпендикулярны поверхности шара, а максимальное значение этого поля Emax = 3E0 (1 на рис. 2.7), т. е. любое проводящее включение в диэлектрической среде становится концентратором электрического поля, и именно на этом включении происходит в первую очередь пробой диэлектрика.

Рис. 2.7

2. В случае εe > εi (например, воздушный пузырек в воде) максимальная напряженность поля внутри и на поверхности пузырька (2 на рис. 2.7):

Emax = 1,5E0.

2.5. Исследование электростатического поля отрезка коаксиального кабеля при наличии включения в его диэлектрике

Для расчета силы, действующей на частицу со стороны электростатического поля отрезка коаксиального кабеля (рис. 2.8), необходимо определить распределение напряженности электрического поля. Для этого можно использовать формулы, приведенные при решении задачи 1.2.

26

Силу, которая действует на частицу со стороны электрического поля, можно найти как градиент распределения энергии шара: F = − gradWe .

Энергия частицы, вернее, энергия диполя, которым заменили эту частицу, We = PE2, и тогда силу можно найти из формулы

F = − grad PE = − grad kE2 .

2 2

Замечания

1. Коэффициент k может быть как положительным, так и отрицательным. В случае, если εe > εi : k > 0 и сила направлена в сторону уменьшения напряжения поля. В случае, если εe < εi : k < 0 и сила направлена в сторону увеличения напряжения поля.

2 и 3 – см. замечания к 2.4.

Для нахождения распределения потенциалов, создаваемых внутри и снаружи частицы в случае, когда поле на ее виртуальных границах изменяется незначительно (т. е. ее размеры существенно меньше расстояний, рассматриваемых в задаче), можно воспользоваться формулами:

где индексом e обозначена внешняя среда, индексом i – среда внутри шара; E – напряженность внешнего электрического поля.

27

Задача решалась в сферических координатах (r, φ, θ) с началом, совпадающим с центром частицы (система координат выбрана сферической, поскольку основным элементом, искажающим электрическое поле, является шарообразная частица). Точка отсчета потенциала находится в начале координат.

Определить изменение напряженности электрического поля можно, продифференцировав распределение потенциала.

2.6. Исследование сил, действующих на сферическую незаряженную частицу со стороны электростатического поля

отрезка цилиндрического проводника

Для расчета силы, действующей на частицу со стороны электростатического поля отрезка провода (рис. 2.9), необходимо определить распределение напряженности электрического поля. Для этого можно использовать формулы, приведенные при решении задачи из 1.3.

Для определения распределения поля внутри и вне частицы, можно использовать формулы, приведенные при решении задачи из 1.5.

28

1.3.Задача об электростатическом поле отрезка двухпроводной линии или провода, расположенного над плоской

1.4.Задача о магнитном поле постоянного тока, протекающего

вотрезке коаксиального кабеля, и о распределении энергии

1.7.Задача о силах, действующих на сферическую незаряженную частицу со стороны электростатического поля

2.2.Исследование электростатического поля, создаваемого отрезком двухпроводной линии или проводом, расположенным над плоской

2.3.Исследование магнитного поля постоянного тока, протекающего в отрезке коаксиального кабеля, и распределения энергии

29