Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Kxp751v5RS

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
13.02.2021
Размер:
250.22 Кб
Скачать

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

____________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

______________________________________

АДАПТИВНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Методические указания к лабораторным работам

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2014

УДК 519.24:62

Адаптивные измерительные системы: методич. указания к лаб. работам / сост.: Б. Я. Авдеев, А. А. Минина. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014. 24 с.

Дано описание лабораторных работ по одноименной дисциплине, представлены методы дискретного представления сигналов в адаптивных измерительных системах, вопросы формирования и анализа адаптивной временной дискретизации сигналов.

Предназначены для подготовки магистров по направлению 200100.68 «Приборостроение», магистерским программам 200147.68 «Адаптивные измерительные системы» и 200146.68 «Локальные измерительно-вычислительные системы», а также могут быть использованы при реализации программ дополнительного образования.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014

Методические указания включают первые базовые работы общего цикла лабораторных работ по дисциплине «Адаптивные измерительные системы», посвященные вопросам метрологического анализа равномерной временной дискретизации, а также формирования и анализа адаптивного представления сигналов в измерительных системах. Эти вопросы объединены задачами формирования измерительных сигналов, предназначенных для экспериментальных исследований тех или иных видов дискретного представления сигналов в информационно-измерительных системах.

Лабораторные работы реализованы на базе персональных компьютеров. Для выполнения работ необходимо иметь начальные знания по использованию пакета прикладных программ MatLab в задачах проведения необходимых расчетов, имитационного моделирования процессов и систем, а также представления результатов экспериментальных исследований.

Требования к отчету по лабораторным работам. Отчет должен содержать:

1.Титульный лист, оформленный в соответствии с принятой формой.

2.Задания на лабораторную работу.

3.Расчетные формулы и примеры расчетов.

4.Описание алгоритмов и распечатку программ выполненных экспериментов.

4.Результаты имитационного моделирования и расчетов.

5.Выводы по полученным результатам экспериментальных исследований.

Лабораторная работа 1.

ФОРМИРОВАНИЕ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Цель работы – изучение методов формирования имитационных моделей детерминированных и случайных сигналов с заданными метрологическими характеристиками в среде интерактивного программирования MatLab.

Задание

1.Формирование детерминированных сигналов с заданными метрологическими характеристиками:

1.1.Получить у преподавателя задание по формированию имитационных моделей по виду сигналов и их амплитудным, временным и точностным характеристикам представления.

3

1.2.Разработать программу, реализующую в среде программирования MatLab формирование заданных сигналов и оценку их характеристик.

1.3.Экспериментально оценить параметры сформированных моделей. Построить графики полученных моделей. Сделать вывод о соответствии параметров моделей техническому заданию.

2.Формирование некоррелированных случайных последовательностей чисел с заданными функциями распределения:

2.1.Получить у преподавателя задание по формированию имитационных моделей некоррелированных случайных последовательностей чисел с заданными функциями распределения (вид функции распределения и ее числовые параметры, объем выборки).

2.2.Разработать программу, реализующую в среде программирования MatLab формирование заданных последовательностей чисел и оценку их характеристик.

2.3.Экспериментально оценить параметры сформированных моделей. Построить графики полученных моделей. Сделать вывод о соответствии параметров моделей техническому заданию.

3.Формирование стационарных случайных гауссовых сигналов с заданными корреляционными функциями:

3.1.Получить у преподавателя задание по формированию имитационных моделей гауссовых сигналов с требуемыми корреляционной функцией и точностным характеристикам представления сигналов.

3.2.Рассчитать параметры цифрового фильтра для реализации заданной корреляционной функции.

3.3.Разработать программу, реализующую в среде программирования MatLab формирование заданных сигналов и оценку их характеристик.

3.4.Экспериментально оценить параметры сформированных моделей. Построить графики полученных моделей сигналов и корреляционных функций. Сделать вывод о соответствии параметров моделей техническому заданию.

Общие сведения и порядок выполнения работы

Формирование детерминированных измерительных сигналов с заданными характеристиками. Измерительный сигнал – это сигнал, содер-

жащий количественную информацию об измеряемой физической величине.

4

Детерминированный сигнал – это сигнал, закон изменения которого известен, а модель не содержит неизвестных параметров. В данном подразделе необходимо сформировать дискретную модель сигнала, если его вид, частота, длительность и погрешность представления или частота дискретизации заданы.

При моделировании измерительных систем широко используются де-

терминированные сигналы различной формы – синусоидальные, прямо-

угольные, экспоненциальные и т. п. В ППП MatLab формирование таких сиг-

налов не вызывает затруднений. Для измерительных задач важным является погрешность дискретного представления аналоговых сигналов.

На рис. 1.1 показано формирование двух дискретных моделей исходного аналогового синусоидального сигнала x(t) = xm sin ωt (рис. 1.1, а) при его равномерной дискретизации 10-ю (рис. 1.1, б) и 20-ю (рис. 1.1, в) отсчетами сигнала на периоде Т исходной (заданной для моделирования) синусоиды.

x(t)/xm

 

 

1

 

 

1

 

 

 

0.5

 

 

0.5

 

 

0.5

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0.5

 

0.5

 

0.5

 

 

 

– 1

0.5

t /T

– 1

0.5

1

– 1

0.5

1

 

0

0

0

 

 

а

 

 

б

 

 

в

 

Рис. 1.1. Формирование дискретного представления синусоидального сигнала

Очевидно, что во втором случае дискретная модель более точно воспро-

изводит исходный сигнал. Погрешность воспроизведения определяется не только частотой дискретизации, но и для многих задач видом аппроксимации исходного сигнала по его дискретным отсчетам. Аналитические соотноше-

ния, связывающие погрешности аппроксимации сигнала и частоту (интервал)

его дискретного представления, даны в [1], [2], а также в лаб. раб. 2.

Таким образом, при моделировании сигналов исходным требованием к модели может быть как частота дискретизации, так и погрешность ап-

проксимации сигнала при заданном виде представления его на интервалах дискретизации.

5

Формирование случайных измерительных сигналов с заданными характеристиками. Случайный сигнал – это изменяющаяся во времени физическая величина, мгновенное значение которой является случайной величиной.

В табл. 1.1 приведены наиболее распространенные законы распределения (ЗР) случайных величин: равномерный, нормальный, Симпсона, Рэлея, экспоненциальный, арксинуса.

Функции для реализации задания на лабораторную работу в ППП

MatLab приведены в табл. 1.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Название

 

 

 

 

График

 

Формулы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Равномерный

 

 

 

 

 

 

 

X = a + γ(b a) ,

 

ЗР

W(x)

 

 

 

 

 

где a и b – границы рав-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

номерного ЗР; γ – случай-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

ная величина, распределен-

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

ная по равномерному ЗР в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

диапазоне [0,1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическое ожидание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m[ X ] = (a + b) 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[ X ] = (b a)2 12

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

x

 

 

 

 

2

Нормальный

 

 

 

 

 

 

Плотность распределения:

 

 

ЗР

W(x)

 

 

 

 

 

W (x) =

 

1

 

(x m)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp −

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

2

 

 

 

0,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическое ожидание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

m[ X ] = m ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

m = 3

 

 

 

 

D[ X ] = σ2

 

 

 

 

 

 

 

σ = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0

1

2

3

4

5

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончание табл. 1.1

Название

 

 

 

График

 

 

 

Формулы

 

 

3

Распределение

 

 

 

 

 

 

 

Распределение

 

Симпсона

 

Симпсона

W(x)

 

 

 

 

 

 

можно получить, как сумму

 

 

1

 

 

 

 

 

 

двух равномерных ЗР:

 

 

ba

 

 

 

 

 

 

 

X = X1 + X 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическое ожидание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m[ X ] = a + b ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[ X ] =

(b - a)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

a + b

2b

x

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Распределение

W(x)

 

 

 

 

 

 

Плотность распределения:

 

Рэлея

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.4

 

 

 

s = 1

 

 

W (x) =

 

-

2

 

 

 

0.3

 

 

 

 

 

s

2 exp

s

, x ³ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

 

Математическое ожидание:

 

 

 

 

 

 

 

 

m[ X ] = s

p 2 ,

 

 

0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсия:

 

 

 

 

 

 

 

0.0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

x

D[ X ] = s2 (4 - p) 2

 

 

 

 

 

 

5

Экспоненци-

W(x)

 

 

 

 

 

 

Плотность распределения:

 

альный ЗР

0.8

 

l = 1

 

 

 

W (x) = l exp(-lx),

x ³ 0.

 

 

0.6

 

 

 

 

Математическое ожидание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m[x] = 1 l,

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсия:

 

 

 

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[x] = 1 l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

2

3

4

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

ЗР арксинуса

W(x)

 

 

 

 

 

 

Плотность распределения:

 

 

 

 

 

 

 

 

W (x) =

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.4

 

 

a = 2

 

 

 

 

 

p

a 2 + x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическое ожидание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.3

 

 

 

 

 

 

 

 

m[x] = 0 ,

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

 

дисперсия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[x] = a 2

 

 

 

 

 

0.1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

– 1

0

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.2

 

 

 

 

Название

Описание функции для реализации в MatLab

 

1

Равномерный

X = rand(m, n) формирует массив размером m × n, элементами

 

 

ЗР

которого являются случайные величины, распределенные по рав-

 

 

 

номерному закону в интервале (0, 1).

 

 

 

f = unifpdf(x, a, b) служит для расчета значения функции плотности

 

 

 

вероятности равномерного распределения для параметров a, b и

 

 

 

значения Х

 

2

Нормальный

X = randn(m, n) формирует массив размером m × n, элементами

 

 

ЗР

которого являются случайные величины, распределенные по

 

 

 

нормальному закону с математическим ожиданием 0 и средне-

 

 

 

квадратическим отклонением 1.

 

 

 

f = normpdf(X, MU, SIGMA) служит для расчета значений функции

 

 

 

плотности вероятности нормального распределения для значений

 

 

 

случайной величины Х, математического ожидания MU и средне-

 

 

 

квадратического отклонения SIGMA. Размерность векторов или

 

 

 

матриц X, MU, SIGMA должна быть одинаковой

 

3

Распределение

Может быть получен как сумма двух равномерных ЗР

 

 

Симпсона

 

 

4

Распределение

R = raylrnd(B, m) позволяет получить вектор псевдослучайных чи-

 

 

Рэлея

сел на m элементов, распределенных по закону Рэлея для параметра

 

 

 

B, где m – вектор размерностью 1 × 2, определяющий размерность

 

 

 

матрицы R

 

5

Экспоненцаль-

X = exprnd – генератор случайных чисел, имеющих экспоненци-

 

 

ный ЗР

альное распределение;

 

 

 

f = exppdf(x, mu) – служит для расчета значения функции плотности

 

 

 

вероятности экспоненциального распределения

 

6

ЗР арксинуса

X=sin(2*pi*R) – может быть получен на основе равномерного ЗР.

 

 

 

В приведенной записи R – случайные числа, распределенные

 

 

 

равномерно

 

7

Для всех ЗР

[f, xi] = ksdensity(X) – функция предназначена для расчета значе-

 

 

 

ний функции распределения плотности вероятностей f для значе-

 

 

 

ний случайной величины xi;

 

 

 

cdfplot(X) – функция предназначена для построения графика

 

 

 

функции распределения СВ Х

 

Моделирование стационарного случайного процесса методом сколь-

зящего суммирования. Для стационарных случайных процессов существуют весьма экономичные моделирующие алгоритмы. В основу этих алгорит-

мов положено линейное преобразование последовательности x[n] независи-

мых нормальных случайных чисел (дискретный белый шум) в последова-

тельность ξ[n] , коррелированную по заданному закону. Используется метод скользящего суммирования [3]

8

p

 

x[n] = Ck x[n - k ] ,

(1.1)

p

 

где p – половина окна скользящего суммирования; n – текущая координата;

k – текущая координата скользящего окна; Ck – весовые коэффициенты, ко-

торые находятся по формуле в зависимости от корреляционной функции. Полученная последовательность является статистически связанной, т. е. каждое число в последовательности может находиться в определенном диапазоне относительно предыдущего. Другими словами, корреляционная функция определяет условную дисперсию реализации следующих чисел по отношению к текущим (статистическую связь) в общей последовательности значений моделируемого процесса.

При выполнении лабораторной работы будем считать, что для заданной последовательности независимых случайных величин x[n] с нулевым мате-

матическим ожиданием и нулевой дисперсией (ортонормированная последовательность случайных величин или нормированный дискретный белый шум) корреляционная функция последовательности имеет вид

R[n] = M{x[k] x[k + n]} = d = 1, n = 0,

n

{ 0, n ¹ 0.

 

Сформируем из последовательности x[n] согласно алгоритму (1.1) но-

вую последовательность ξ[n] :

 

ξ[n] = C1x[n − 1] + ... + CN x[n N ] , ξ[n + 1] = C1x[n] + ... + CN x[n + 1 − N ].

Случайная величина ξ[n] получается суммированием (с весами C1, C N )

N независимых случайных чисел, представляющих собой отрезок последо-

вательности x[n] . При этом для вычисления очередного значения ξ[n + 1]

исходная последовательность x[n] сдвигается на один элемент вправо, так что значение x[n N ] выбрасывается. Коррелированность между случайны-

ми величинами ξ[n] и ξ[n + 1] обеспечивается за счет того, что в их образо-

вании участвует k общих случайных величин последовательности x[n]. При k = n значения ξ[n] и ξ[n + k ] становятся некоррелированными. Характер корреляционных связей процесса определяется лишь выбором значений коэффициентов Ck и не зависит от закона распределения исходных случайных

9

чисел x[n]. Если исходные случайные числа распределены нормально, то в силу линейности преобразования последовательность ξ[n] будет нормаль-

ным случайным процессом.

Таким образом, методом скользящего суммирования можно формировать дискретные реализации стационарных нормальных случайных процессов с ограниченной во времени корреляционной функцией, определяемой выбором.

Для создания коррелированной последовательности ξ[n] с корреляци-

онной функцией R(τ) = σ2 sin w0τ используется моделирующий алгоритм (1.1).

w τ

 

 

 

0

 

 

 

При этом весовые коэффициенты вычисляются по формуле [3]

 

Ck =

σ

sin γ0k ,

(1.2)

 

πγ0

k

 

где γ0 ≤ π, γ0 = w0 t .

Данный алгоритм является приближенным, однако при увеличении па-

раметра p методическая погрешность может быть сделана пренебрежимо малой.

 

ξ(n)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

1 000

 

2 000

 

 

0

 

 

R(n)

 

 

 

 

 

0.8

 

 

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

0.0

 

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

 

0

50

100

150

n

 

 

 

 

б

 

 

3 000

4 000

n

а

 

 

N(ξi)

 

 

15 000

 

 

10 000

 

 

5 000

 

 

0

 

ξi

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3

 

в

 

Рис. 1.2. Фрагмент реализации корреляционной последовательности и выборочные оценки корреляционной функции и гистограммы распределений

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]