itnaVxICsm

УДК 004.942:629.123

Математическое моделирование объектов и систем управления: методич. указания к лабораторным работам / cост.: О. Ю. Лукомская, А. Г. Шпекторов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014. 36 с.

Содержат описания лабораторных работ по математическому моделированию объектов и систем управления в среде MATLAB, MATLABSIMULINK. Приведены методики созданий программных моделей и исследования динамических систем в среде MATLAB и MATLAB-SIMULINK.

Предназначены для магистрантов, обучающихся по направлению «Автоматизация и управление», а также могут быть полезны инженернотехническим работникам этой области знаний.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014

2

Лабораторная работа 1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Цель работы: освоить аналитические и машинные способы линеаризации динамических систем, проанализировать и оценить свойства динамических систем по линеаризованным моделям.

Общие положения

Вэтой работе исследуется математическая модель, линеаризованная в окрестности статического режима.

Вкачестве исходных данных рассматривают систему нелинейных дифференциальных уравнений (СНДУ), записанную в форме Коши:

xɺ(t) = f (x(t), u(t));

y(t ) = g(x(t ), u(t )), (1.1)

где x Rn – вектор состояния; u Rm – вектор управления; y Rk – вектор выходных переменных; f(x, u) и g(x, u) – в общем случае нелинейные функции.

Выбирают статический режим (x(0), u(0)), в окрестности которого производится линеаризация.

Далее определяют матрицы частных производных: матрица состояния

Матрицы А, В, C, D имеют постоянные коэффициенты, зависящие от

статического режима, т. е. от u(0) и x(0). Для СНДУ коэффициенты матриц могут быть определены аналитически, поскольку для каждой частной производной аналитическое выражение записать достаточно просто. Если аналитическое выражение для какого-либо коэффициента записать невозможно или сложно, то этот коэффициент можно определить численно, например:

где значение δ должно быть малым. Система линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) вида:

u = u(t ) − u(0) , y(t) = y(t) − y(0) , называется системой, полученной путем

линеаризации в окрестности статического режима (u(0), x(0)).

Эта система обладает следующим замечательным качеством. Если рас-

3. Для линейных систем методы теории автоматического управления разработаны наиболее полно. Это позволяет строить законы управления для линеаризованных объектов и с учетом преобразования (1.3) переносить их на исходные нелинейные объекты.

В настоящее время возможности среды MATLAB позволяют находить линеаризованные модели без ручного вычисления матриц частных производных. Среда SIMULINK содержит не только средства графического представления и интегрирования динамических систем, но и специальные функции их обработки, в том числе и линеаризации.

Для анализа SIMULINK-объектов используются следующие функции:

[ST, IN, OUT] =TRIM(‘SYS’, X0, U0) – определение статического ре-

жима SIMULINK-модели. Параметры функции: SYS – имя модели, X0, U0 – начальные значения векторов состояния и управления, ST, IN, OUT – установившиеся значения соответственно векторов состояния, входа и выхода.

[A,B,C,D]=LINMOD('SYS',X,U) – получение матриц линеаризованной модели.

Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений, соответствующих статическому режиму движения, можно использовать функцию символьной алгебры SOLVE.

Методика проведения работы

1.Построить модель динамической системы в среде SIMULINK в соответствии с исходными данными (табл. 1.1).

2.Подобрать коэффициенты модели таким образом, чтобы система оказалась устойчивой (путем моделирования).

3.Создать модель, аналогичную найденной, используя в качестве входных и выходных сигналов порты входа-выхода.

4.Определить точку равновесия, используя функцию TRIM.

5.Проверить корректность работы функции TRIM моделированием.

6.Найти линеаризованную модель системы аналитическим и машинным способом. Проверить модели на соответствие.

7.Проверить устойчивость линеаризованной модели по собственным чис-

лам.

8.Определить точку равновесия, соответствующую заданным входным воздействиям.

Содержание отчета

1.Постановка задачи и исходные уравнения.

2.Модель СНДУ в SIMULINK.

3.Значения коэффициентов модели.

4.Скрипт на языке MATLAB, с расчетом и проверкой статического режима, матрицы линеаризованной модели, собственных чисел,

5.Аналитически найденные матрицы линеаризованной модели.

6.Выводы.

Лабораторная работа 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

Цель работы: изучить основные методы исследования линейных моделей, овладеть навыками приведения моделей к разным формам, освоить основные функции языка MATLAB из библиотеки Control System Toolbox.

Общие положения

Для работы с динамическими объектами, математическим описанием которых являются системы обыкновенных линейных дифференциальных (или разностных) уравнений с постоянными коэффициентами, в системе

MATLAB предназначен пакет Control System Toolbox (CST). Такие объекты и системы управления в целом именуются в документации по пакету LTIсистемами (linear time-invariant system). В отечественной литературе используется эквивалентное наименование «линейные стационарные системы».

Пусть некоторый линейный стационарный динамический объект имеет вектор состояний x Rn , вектор управлений u E m (вектор входа объекта) и вектор измерений y E k (вектор выхода). В пакете CST используются два

7

взаимосвязанных способа представления дифференциальных уравнений линейной инвариантной во времени математической модели такого объекта:

1) уравнения пространства состояний: xɺ = Ax + B u, y = Cx + Du,

где Nij и Kij – степени полиномов nij (s) и dij (s).

В соответствии с приведенными соотношениями для формирования математической модели, описывающей динамику LTI-объекта, можно задать один из трех наборов параметров:

1)четыре числовые матрицы A, B, C, D для системы уравнений в пространстве состояний;

2)две полиномиальные матрицы N (s) = { nij (s)} и D(s) = {dij (s)};

8

3) числовую матрицу K = {kij с действительными компонентами и две

плексными компонентами – нулями и полюсами дробей hij(s).

Приведенные выше три способа задания исходных данных линейных математических моделей определяют три формы представления LTI-систем в пакете прикладных программ CST. Эти формы реализуются с использованием переменных объектного типа – класса системных матриц. Каждая такая переменная является объектом в смысле объектной технологии программирования и представляет конкретную LTI-систему, с которой выполняются те или иные действия в процессе анализа или синтеза. Далее приводятся основные функции для создания и редактирования моделей линейных систем.

1. Создание LTI-моделей.

sys = ss(A,B,C,D) – в пространстве состояний,

sys = ss(A,B,C,D,E) – создание дескрипторной модели, SYS = TF(NUM,DEN) – в форме передаточной функции,

SYS = ZPK(Z,P,K) – через нули, полюса и весовые множители (разложение передаточной функции).

Применение указанных функций без параметров приводит к созданию пустых моделей ss-, tf- и zpk-типов. При одном входном параметре

SYS = SS(D)

SYS = TF(D)

SYS = ZPK(D)

LTI-модель представляет собой пропорциональное звено.

Эти же функции используются для перевода LTI-моделей из одной формы в другую:

SYS_SS = SS(SYS_TF)

SYS_TF = TF(SYS_ZPK)

SYS_ZPK = ZPK(SYS_TF)

Примечание: tf- и zpk-модели определяются однозначно, ss-модель является одной из бесконечного числа реализаций. Для получения минимальной реализации следует применять команду:

SYS_SS = SS(SYS_TF, ‘min’)

Минимальная реализация соответствует минимальной сумме модулей элементов матриц состояния, управления, выхода (наблюдения) и обхода.

9

2. Доступ к свойствам моделей.

LTI-модели в среде MATLAB являются объектами, обладающими набором свойств. Вывод полного списка свойств модели осуществляется при помощи функции GET:

GET(имя объекта)

Для получения списка свойств типовой модели можно применять функцию LTIPROPS(‘тип модели’).

Есть два способа доступа к свойствам объекта. Первый использует ту же функцию GET:

GET(имя объекта,’имя свойства’)

Изменять значение того или иного свойства позволяет функция SET. SET(имя объекта,’имя свойства1’, новое значение1,’имя свойства2’, но-

вое значение2…)

Второй способ предполагает доступ к свойству объекта, как к полю структуры или типа, заданного пользователем:

имя объекта.имя свойства = новое значение.

Примечание. При изменении размерностей входов-выходов LTI-модели следует применять функцию SET, которая позволяет менять одновременно несколько значений разных свойств.

Есть также набор функций быстрого доступа к образующим свойствам моделей:

[A,B,C,D] = SSDATA(SYS)

[NUM,DEN] = TFDATA(SYS)

[Z,P,K] = ZPKDATA(SYS)

3. Частотные и временные характеристики моделей:

а) функция BODE – АЧХ и ФЧХ системы (диаграммы Боде). Есть несколько форматов использования функции:

BODE(SYS) строит АЧХ и ФЧХ системы SYS в логарифмическом масштабе. Частотный диапазон и число точек выбирается автоматически.

BODE(SYS,{WMIN,WMAX}) строит характеристики для заданного частотного диапазона (в радианах в секунду).

BODE(SYS,W) – построение характеристик для вектора частоты W, определенного пользователем (в равномерном или логарифмическом масштабе).

BODE(SYS1,SYS2,...,W) строит характеристики для множества моделей на одном графике. Вектор W определяется пользователем.

10