1395

Вследствие

непрерывности

функции

f (t) , функция

fk,

является

непрерывной по аргументу и удовлетворяет условию

fk 1,1

fk,0 .

Если функция

f (t)

терпит разрыв первого рода в точках tk

k

T , то

данное

равенство

не выполняется, так как

lim fk 1,

lim fk,

.

В

этом

1

0

случае,

под

значением

функции

fk

принято принимать

предел

справа

fk

lim fk,

,

то

есть

значения

переменной

рассматриваются на

0

полуинтервале

0

1.

Функция

fk,

является, вообще говоря,

функцией

двух аргументов k

и

,

однако при

0 второй аргумент, то есть

обычно

опускается.

E

fk

fk 1.

Повторное применение оператора сдвига дает

E2 fk

E (E fk )

fk 2 .

В общем случае для любого целого n имеем

En

fk

fk n .

Аналогичным образом может быть определен оператор задержки

E 1, как оператор, сдвигающий отсчет функции на единицу назад

E 1 fk

fk

1.

fk

(E

1) fk ;

E

1.

В общем случае для любого целого k имеем

k

(E 1)k .

Разностный оператор или разность второго порядка определяется

выражением

2

fk

fk 1

fk ( fk 2

fk 1) ( fk 1 fk ) fk 2 2 fk 1 fk .

3 fk

2 fk

1

2

fk

( fk 3

2 fk 2

fk 1) ( fk 2 2 fk 1 fk )

fk 3

3 fk 2

3 fk 1 fk .

n fk

n

n

( 1)i

i

fk n i ,

i

1

где

n

Cni

n!

n (n

1)

(n

2) (n

i)

- число сочетаний из n по

i

i! (n i)!

1 2 3 i

i или биномиальный коэффициент.

Учитывая связь разностного оператора и оператора сдвига, последнее

выражение можно переписать в виде

n fk

(E 1)n

fk

n

( 1)i

n

En i

fk .

i

i

1

fk 1 fk

fk .

2

fk

fk 2 fk 1

fk fk 2 fk 2

fk ,

fk 2

fk

2

fk

2 fk .

Раскрывая выражение разности третьего порядка

3 fk

2 fk 1

2 fk

fk 3 2 fk 2

fk 1

2 fk

fk 3

2 fk

4

fk

2

2 fk

fk

fk

2 fk

fk 3

fk

3

fk

3

2 fk ,

получаем

fk 3

fk

3

fk

3

2

fk

3 fk .

Обобщая данные выражения, получаем общую формулу разложения

дискретной функции в ряд по разностным операторам

fk n

n

n

i

fk .

i

i 0

В частности при k

0, можем записать

fn

n

n

i

f0 .

i

i

0

k

k

k

k

ci

fi,n

ci fi,n 1

ci fi,n

ci

fi,n ,

i 1

i 1

i

1

i 1

c

fk

c

fk ;

n [ fk

gk ]

n fk

n gk ;

m

n

fk

m n

fk .

Таким образом, разностный оператор от суммы функций равен сумме

разностных операторов от каждой функции.

Заметим, что эти соотношения справедливы при замене разностного

оператора

на оператор сдвига E . Операторы

и E коммутативны между

собой,

но

не с

функциями,

так,

например

( fk gk ) fk

gk или

2

fk

(

fk ) (

fk ) .

14

( fk gk ) fk 1 gk 1

fk gk

fk 1

gk 1

fk 1 gk

fk 1 gk fk gk

fk

1

gk

fk gk .

Если вместо произведения

fk

1 gk

прибавим и вычтем fk gk 1, то получим

( fk gk )

fk gk

fk

gk .

2 ( fk gk )

fk

2 gk

2

fk 1

gk

2 fk gk 2

2

fk gk

2

fk

gk 1

fk 2

2 gk .

В общем случае для разности n - го порядка получим формулу

n

n

n

i

n i

n

n

n i

i gk .

( fk gk )

i

fk

gk i

i

fk i

i 1

i 1

fk

fk 1

fk fk 1 gk

fk gk

fk gk

fk gk 1

gk

gk 1

gk

gk 1 gk

fk

gk

fk

gk

.

gk 1 gk

Разность второго порядка от отношения функций определяется

аналогично

2 fk

fk 1

fk

fk 2

fk 1

fk 1

fk

gk

gk 1

gk

gk 2

gk 1

gk 1

gk

fk 1 gk 1

fk 1

gk 1

fk

gk

fk

gk

.

gk 2 gk 1

gk 1 gk

Отметим, что разностный оператор

имеет некоторые общие свойства

с оператором

дифференцирования

D

d / dt

непрерывных

функций. Так

df (t)

lim

f (t

T )

f (t)

.

dt

T

T

0

Используя T в качестве периода дискретизации запишем оператор сдвига и

разностный оператор

E f (t)

f (t T ) ,

f (t)

f (t T )

f (t) .

Из последнего выражения в частности следует, что

df (t)

lim

f (t)

,

dt

T

0

T

15

или в общем случае

d m f (t)

lim

m f (t)

.

dtm

T m

T 0

(k)(m)

m (k)(m 1)

m k (k 1) (k 2)

(k m 2) .

Действительно

(k)(m)

(k 1) k (k 1) (k 2)

(k m 2)

k (k 1) (k 2) (k m 1)

[k (k 1)

(k 2)

(k

m

2)]

[(k 1) (k

m 1)] m (k)(m 1) .

Разность второго порядка запишется в виде

2 (k)(m)

m (k)(m 1)

m (k)(m 1) m (m 1) k(m 2) .

Соответственно разность порядка n

(m

1) запишется в виде

n (k)(m)

m (m

1)

[m

(n

1)] k (m n)

m(n) k (m n) .

Пример 1. Пусть задана постоянная дискретная функция fk

a , где a -

константа, и требуется определить разность первого порядка.

Согласно

fk fk 1 fk a a 0 .

Таким образом, первая разность постоянной функции равна нулю.

Пример 2.

Пусть

задана линейная дискретная функция вида

fk a k b , где a

и b -

постоянные коэффициенты. Определим первую

разность этой функции

fk

[a (k 1) b] [a k b] a .

2

fk

a 0 ,

17

1

n 1

n

fk

fk C

fk 1 C .

k

0

k 1

1

k n 1

k

n

fk

fk C

fk 1 C ,

1

k

(m)

1

k(m 1)

c

m

1

или

1 [k

n

k 1

(k 1) (k 2) (k

m 1)]

n (n

1) (n 2) (n m 1)

1

k (k 1) (k 2) (k m 1) c ,

m 1

1 k(m)

1

1

k(m 1)

k(m) k (k 1) (k 2) (k m 1) ,

m

1

взятию конечной разности.

Пусть дискретная функция fk определена

при

положительных значениях

k 0,1, 2, . Найдем дискретную функцию

Fn ,

n 1

n

Fn

fk

fk 1 ,

k 0

k

1

при n

1, 2, 3, .

Действительно

n

n 1

Fn

Fn 1

Fn

fk

fk

fk n .

k

0

k 0

Функцию Fn , по аналогии с интегральным

исчислением,

называют

первообразной функции

fk .

Если дискретная функция

fk ,

определена при всех целочисленных

аргументах k

0, 1,

2, ,

то для определения первообразной функции

n

необходимо, кроме того, потребовать сходимость ряда

fk при каждом

k

конечном n . В этом случае первообразная определится выражением

n 1

Fn

fk .

k

Если функция

Fn

является первообразной

для

функции

fk , то и

функция Fn

c , где c - постоянная суммирования, также является

первообразной для дискретной функции fk .

Действительно

(Fn

c)

Fn

c fn ,

так как

c

0 .

Таким образом, общий вид первообразной функции для

рассматриваемой дискретной функции

fk , определяется суммой

n 1

Fn

fk

c .

k

Значение постоянной c можно выразить через значение

первообразной, при некотором фиксированном значении аргумента n N

N 1

c

FN

fk .

k

Подставляя последнее выражение в предыдущую формулу, получим

n 1

N 1

n 1

Fn

fk

FN

fk

fk FN .

k

k

k N

Из последнего соотношения, в свою очередь следует

n 1

Fn

FN

fk ,

k N

для любого n

N .

Полученное

выражение,

является

дискретным

аналогом

знаменателем прогрессии. При q

1,

прогрессия является возрастающей, а

1 - убывающей.

при

q

Записывая геометрическую прогрессию в виде регулярной

последовательности

элементов

P{an}

a1, a2, , an , видим,

что n -ый

элемент

равен a

a

qn 1 a

qn m ,

где m

n .

Сумма n

элементов

n

1

m

геометрической прогрессии определяется выражением

n

a1

(q

n

1)

am (q

n

1)

Sn

ak

.

q

1

qm 1 (q

1)

k 1

Для убывающей геометрической прогрессии удобнее пользоваться

формулой

n

a1

(1

q

n

)

am (1

q

n

)

Sn

ak

.

1

q

qm 1 (1

q)

k 1

1

1

1

1

1

2 .

2

22

2n

1 1/ 2

1 2 3

(n 1) n

n (n 1)

;

2

p ( p 1) ( p 2)

( p n)

(n 1) (2 p n)

;

2

1

3 5

(2

n

1)

n2 ;

2

4

6

2

n

n (n

1) ;

12

22

32

n2

n (n 1) (2 n 1)

;

6

13

23

33

n3

n2 (n 1)2

;

4

14

24

34

n4

n (n 1) (2 n 1) (3 n2 3 n 1)

;

30

12

32

52

(2 n 1)2

n (4 n2

1)

;

3

13

33

53

(2 n 1)3

n2 (2 n2

1) .