Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1395

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

						71
					1			1	0
				0	1			1	0
1	1	1;	c1	0	3	1	1; c2	2	1	1	1.
1	1			0	3	1		2	1	1
2	3
						1				1
						1				1

Подстановка найденных констант в общее решение дает частное решение исходного разностного уравнения

	( 2)k		3 ( 3)k		( 1)k 1		( 2)k		3 ( 3)k		( 1)k
y												.
y												.
k	2	4		4		2		4		4
	2	4		4		2		4		4

Как видим, методом вариации произвольных постоянных получено решение аналогично операторному методу.

Матричный вариант метода вариации произвольных постоянных

(метод Лагранжа). Матричный вариант метода Лагранжа предполагает переход от исходного разностного уравнения, путем введения новых переменных, к эквивалентной системе разностных уравнений первого порядка.

Исходное разностное уравнение второго порядка

5 y

6 y

( 1)k / 2 f

с начальными

условиями

0 ,

введением

новых

переменных

x1,k

yk , x2,k

x1,k 1

1; x3,k

x2,k

y2,k 2

сводится к эквивалентной

системе разностных уравнений первого порядка

x1,k 1

x1,k

0 1

x1,k

x2,k 1

a0 / a2

a1 / a2

x2,k

( 1)k / 2

или

X k

A X k

Fk .

Общее решение системы разностных уравнений первого порядка

ищется в виде

n F

n 1

где

C c

t - вектор

постоянных

суммирования,

определяемый из

начальных

условий;

Ak -

степенная

функция

матрицы коэффициентов

системы; Fn 1 0 ( системы.

Степень матрицы случае различных и не выражением

1)n 1	t
	/ 2 - вектор правой части эквивалентной

Ak , как степенная функция матричного аргумента, в равных нулю собственных значений, определяется

Ak H k H 1,

где	1	0			-	матрица собственных значений;																	H -		модальная матрица
	1
	0
	0		2
			2
собственных векторов.
	Собственные значения определяются из характеристического
уравнения системы
					det		A									1				2	5			6		0
																1

												6				5
												6				5
и оказываются равными								1		2;		2				3	, то есть
								1				2
																2		0
																0		3 .
	Модальная					матрица					собственных										векторов						H	определяется
элементами, например, первых строк матриц присоединенных к																															A		i	. В
данном случае модальная матрица H и обратная ей матрица H 1 равны
	H	11( 1)					11( 2 )					3				2		;		H	6;		H	1			1			1/ 3			.
	H	12 ( 1)					12 ( 2 )					6				6		;			6;		H				1		1/ 2				.


	Соответственно Ak								определится выражением
												3				2			k		0			1			1/ 3
		Ak			H		k H 1					3				2		1			0			1			1/ 3
		Ak			H		k H 1					6				6		1			k		1			1/ 2
												6				6		0			k		1			1/ 2
																		0			2
																					2
												3		k		2			k			k		k
												3	1			2		2				1		2			k .
													1					2				1		2
												6 (				k			k		2	k		3
												6 (			1			2 )			2	1		3			2
	Заметим, что структура матрицы																Ak			n аналогична и отличается лишь
показателями степени при									i .
	Так	как		из		вектора				решений								X k			x		x		t		y			y			t	нас
	Так	как		из		вектора				решений								X k			x		x				y			y	k		t	нас
																					1,k		2,k				k				k		1
интересует		лишь					первая				компонента									yk ,		то,			раскрывая								первую
составляющую, получаем
				k			k		k			k				c1			k		k n			k n					n 1
	yk	3		k		2	k		k			k				c1				(	k n			k n			) ( 1)		n 1			/ 2 ,
	yk	3	1			2	2		1			2				c2				(	1			2			) ( 1)					/ 2 ,
																c2			n 1
или, подставив значения									i , приходим к записи
			y	k		3 ( 2)k				2 ( 3)k c										( 2)k		( 3)k					c
				k													1										2

{( 2)k n ( 3)k n} ( 1)n 1 / 2 . n 1

Разбивая сумму на две составляющие и, вынося множители, не зависящие от индекса суммирования, за знак суммы, получаем

	y		3 ( 2)k						2 ( 3)k									c			( 2)k						( 3)k					c
	k																1															2
		( 2)		k			k			1			n		(		3)		k	k			1		n
		( 2)								1					(		3)						1		.

		2				n 1				2							2			n 1			3
		2				n 1				2							2			n 1			3
	Раскрывая суммы по формуле геометрической прогрессии,
последовательно получаем
	y		3 ( 2)k						2 ( 3)k									c		( 2)k						( 3)k						c
	k																1															2
					1			1				1			k								1		1					1		k
				k																		k
		( 2)			2							2							(	3)			3							3
					2							2											3							3
																																		;

		2								1				1						2					1						1
		2												1						2											1
												2																		3
												2																		3
	y		3 ( 2)k						2 ( 3)k									c		( 2)k							( 3)k					c
	k																1															2
			( 2)k		(				1)k (						3)k					( 1)k
																								;
		2						2							4					4				;
		2						2							4					4
y	3 ( 2)k	2 ( 3)k						c					( 2)k						( 3)k					c				( 2)k					( 3)k			( 1)k	.
y	3 ( 2)k	2 ( 3)k						c					( 2)k						( 3)k					c													.
k								1															2							2		4			4
																														2		4			4
Наконец, используя начальные условия																				y0			0 ,			y1 1,						при k			0 и k 1,
находим постоянные суммирования
				y				0			1 c					0 c				1			1				1		;
				y				0			1 c					0 c													;
					0							1							2	2			4		4
																				2			4		4
					y1			1				0 c1				1 c2				1			3		1

																							4		4
																							4		4
или
												c1			0; c2					1.
	Подстановка найденных констант в общее решение дает частное
решение исходного разностного уравнения
								(			2)k				3			( 3)k					( 1)k
					y																							.
					y																							.
					k						2						4						4
											2						4						4

Таким образом, матричный вариант метода Лагранжа дал тоже решение исходного разностного уравнения, что и скалярным вариантом метода.

Матричный вариант метода Коши (решение в форме Коши).

Матричный вариант метода Коши, как и метода Лагранжа, предполагает переход от исходного разностного уравнения, путем введения новых переменных, к эквивалентной системе разностных уравнений первого порядка.

Исходное разностное уравнение второго порядка

y	5 y	6 y	( 1)k / 2 f	k	,
k 2	k 1	k		k

с начальными

условиями

0 ,

введением

новых

переменных

x1,k

yk , x2,k

x1,k 1

yk 1;

x3,k x2,k

y2,k

сводится к эквивалентной

системе разностных уравнений первого порядка

x1,k 1

x1,k

0 1

x1,k

x2,k 1

a0 / a2

a1 / a2

x2,k

( 1)k / 2

или

X k

A X k

Fk .

Частное решение системы разностных уравнений первого порядка в

форме Коши ищется в виде

Ak n

n 1

где

y1 t

0 1 t -

вектор начальных условий;

Ak -

X0 x1,0

x2,0

степенная функция матрицы коэффициентов системы; F

( 1)n 1

/ 2

n 1

- вектор правой части эквивалентной системы.

Как было уже отмечено, степенная функция матричного аргумента, в случае различных и не равных нулю собственных значений, определяется выражением

							Ak		H		k	H 1,
где		1	0	-	матрица собственных значений;									H -		модальная матрица
		1
		0
		0	2
			2
собственных векторов.
	Собственные значения определяются из характеристического
уравнения системы
				det A						1		2	5		6	0
										1

								6	5
								6	5
и оказываются равными						1	2;		2	3, то есть
										2		0
										0		3 .
	Модальная				матрица			собственных векторов								H	определяется
элементами, например, первых строк матриц присоединенных к A																			i . В
данном случае модальная матрица H и обратная ей матрица H 1 равны
	H		11(	1)	11( 2 )				3	2	;	H	6;	H	1	1	1/ 3	.
	H		12 ( 1)		12 ( 2 )				6	6	;		6;	H		1	1/ 2	.


	Соответственно Ak					определится выражением

															75
										3					2							k			0					1						1/ 3
	Ak		H		k	H 1				3					2						1				0					1						1/ 3
	Ak		H		k	H 1				6					6						1				k		1						1/ 2
										6					6						0				k		1						1/ 2
																					0				2
																									2
										3				k	2						k					k						k
										3			1		2						2					1				2						k .
													1								2					1				2
										6			(			k		k							2	k				3
										6			(		1			2 )							2	1				3			2
Заметим, что структура матрицы																		Ak				n аналогична и отличается лишь
показателями степени при								i .
Так	как		из	вектора					решений									X k						x				x						t				y						y				t	нас
Так	как		из	вектора					решений									X k						x				x										y	k					y	k			t	нас
																								1,k				2,k											k						k		1
интересует		лишь			первая				компонента														yk ,			то,							раскрывая														первую
составляющую, получаем
			k		k		k				k					y0						k			k n						k n											n 1
yk	3		k	2	k		k				k					y0							(		k n						k n					) ( 1)						n 1				/ 2 ,
yk	3		1	2	2		1			2						y1							(		1					2						) ( 1)										/ 2 ,
																y1					n 1
или, подставив начальные значения и значения																									i , приходим к записи
												k
	yk		( 2)k		( 3)k				1					{( 2)k n									( 3)k n} ( 1)n 1 / 2 .
											n 1
Разбивая сумму на две составляющие и, вынося множители, не
зависящие от индекса суммирования, за знак суммы, получаем
				2)k			3)k			(			2)		k			k			1		n		(		3)		k					k			1			n
	y		(			(				(			2)								1				(		3)										1					.


	k												2								2						2										3
													2				n 1				2						2						n 1				3
Раскрывая суммы по формуле геометрической прогрессии,
последовательно получаем
														1	1						1		k											1			1						1 k
		2)k			3)k		(		2)	k				2	1						2					(	3)			k				3			1						3
										k				2							2									k				3									3
yk	(			(																																												;

									2						1				1								2										1				1
									2										1								2														1
																		2																					3
																		2																					3
		y		( 2)k			( 3)k						( 2)k							( 1)k						( 3)k									( 1)k					;
		y		( 2)k			( 3)k																																	;
		k													2						2						4										4
															2						2						4										4
						y			( 2)k						3 (			3)k					(		1)k			.
						y																						.
						k			2									4							4
									2									4							4

Последняя запись представляет собой частное решение исходного разностного уравнения полученного методом Коши.

Таким образом, решение в форме Коши совпало с решениями предыдущими методами.

5.9 Пример определения основных характеристик дискретных систем второго порядка

Для иллюстрации рассмотренных методов решения разностных уравнений второго и более высоких порядков определим основные характеристики дискретных систем второго порядка, заданных системной функцией либо разностным уравнением. В качестве основных временных характеристик дискретных систем рассмотрим частотные, переходные и импульсные характеристики. Напомним, что переходная и импульсная характеристики определяются, как реакция систем, соответственно, на последовательность единичных - импульсов 1k и на одиночный единичный

- импульс 10 . В качестве реакции рассмотрим напряжение на выходе

дискретных систем второго порядка.

Пример. Пусть задана системная функция дискретной системы второго порядка

S (z) Sz	V (z)	Vz	1		,
	E(z)	Ez		(z 1) (z d )

где Ez - изображение входного воздействия; Vz - изображение выходной

реакции и требуется определить частотную, переходную и импульсную характеристики системы.

Частотная характеристика дискретной системы определяется по

системной функции путем замены z				e j	T
S( )	V ( )	1			1			,

	E( )		(e j T 1) (e j T			e 2 j T (1 d ) e j T
				d )			d

где T - период дискретизации по времени.

Амплитудно-частотная характеристика системы соответствует модулю комплексной частотной характеристики

S( ) Abs(S( )) .

Фазочастотная характеристика системы соответствует аргументу комплексной частотной характеристики

( ) Arg(S( )) 180/ .

Изображение выходной реакции запишется

Vz	Ez		.
	(z 1) (z
		d )

Знаменатель системной (передаточной) функции приравненный нулю определяет характеристическое уравнение

(z 1) (z d ) z2 (1 d ) z d 0 ,

корни которого, соответственно равны d1 1; d2 d .

Переходная характеристика дискретной системы. Приступаем к определению переходной характеристики дискретной системы различными методами.

Как известно, переходная характеристика представляет собой реакцию дискретной системы, находящейся в исходном состоянии покоя, на входную последовательность 1k (единичных - импульсов при k 0 и периодом T ).

Под исходным состоянием покоя следует понимать полное установление реакции на предыдущие воздействия и отсутствие сторонних источников.

Операторный метод. Операторный метод определения выходной реакции дискретной системы основан на теории Z - преобразования дискретных функций, как оригиналов, в непрерывные функции комплексного аргумента z , называемых изображениями, и наоборот.

Оригиналу входного воздействия 1k , согласно теории Z -

преобразования, соответствует изображение в плоскости комплексной переменной z вида

Изображение выходной реакции дискретной системы будет иметь вид

1)2

d )

Из таблиц обратного Z -

преобразования находим оригинал выходной

реакции, то есть переходную характеристику дискретной системы

v A A t B e

A A t B d k

1)2

d )

или

d k

(1 d )2

(1 d )

(1 d )2

где B

;

ln(d )

;

; e t d k ; T -

(1 d )2

d )

период входной последовательности.

Отметим, что при k 0 имеем v0

0 .

Построение разностного уравнения дискретной системы.

Построение разностного уравнения дискретной системы осуществляется по системной функции путем замены изображений воздействия и реакции

оригиналами, а комплексной переменной zn дробно-рационального выражения - оператором сдвига En

Vz	1	1		vk		1	.
Ez	(z 1) (z d )	z2 (1 d ) z d	1k		E2	(1 d ) E d	.
Ez	(z 1) (z d )	z2 (1 d ) z d	1k		E2	(1 d ) E d

Преобразуя выражение, получаем неоднородное разностное уравнение второго порядка

vk 2	(1 d ) vk 1	d vk 1k	fk
или
vk 2	(1 d ) vk 1	d vk	1k .

Определение начальных условий. Для однозначного определения решения разностного уравнения необходимы дополнительные независимые условия, в качестве которых удобно воспользоваться начальными условиями. Так как исходное разностное уравнение второго порядка, то необходимо определить v0 и v1.

Начальные условия могут быть определены по изображению выходной переменной, в соответствии с теоремой теории Z - преобразования о начальном значении функции

lim v

lim V

lim

0 .

k 0

z 1 (z 1) (z d )

В соответствии с теоремой упреждения,

значение функции vk 1

определится выражением

vk 1

z Vz

z v0

1)2 (z

d )

Применяя повторно теорему о начальном значении функции, получаем

lim v

lim (z V

z v )

lim

0 .

k 0 k 1

z 1 (z 1) (z d )

С другой стороны для определения начальных условий можно

воспользоваться

исходным

разностным

уравнением,

полагая

соответствующим значение индекса k и, учитывая, что входное воздействие и реакция системы в отрицательные моменты времени отсутствуют. Так при

k	2 и k	1 последовательно получаем
		v0	(1 d ) v 1	d v 2	1 2	(1 d ) 0 d 0 0 0 ;
		v1	(1 d ) v0	d v 1	1 1	(1 d ) 0 d 0 0 0 .
	Таким образом, получаем, что начальные значения нулевые, то есть
v0	0 и v1	0 .

Решение разностных уравнений. Приступаем к определению переходной характеристики дискретной системы путем решения разностного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Согласно методу Лагранжа, общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка

	vk 2 (1 d ) vk 1 d vk 1k		fk
следует искать в виде
vk	c1,k v1,k c2,k v2,k	c1,k 1k	c2,k d k ,
где 1, d - корни	характеристического	уравнения; y1,k 1k , y2,k d k -

фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; c1,k , c2,k - варьируемые постоянные – неизвестные пока функции.

Варьируемые постоянные находятся из определяющей системы уравнений Лагранжа

и c2,k

	79
c1,k 1k 1	c2,k d k 1	0;
c1,k 1k 2	c2,k d k 2 1k	fk .

Напомним, что определяющая система уравнений Лагранжа образуется при подстановке предполагаемого общего решения в исходное разностное уравнение и наложении ограничения на сдвиг функций c1,k . Первое

уравнение системы есть как раз данное ограничение, а второе уравнение есть результат подстановки предполагаемого решения в исходное разностное уравнение с учетом наложенного ограничения. Определитель определяющей системы уравнений есть определитель Касорати, построенный на основе фундаментальной системы решений и их сдвигов.

Выразим разности варьируемых постоянных c1,k и c2,k из определяющей системы уравнений, используя правило Крамера

d k

1k 1

d k 1

(d 1) ;

d k

d k 1

c1,k

d k 2

1k d k 1

;

1k 1

d k 1 (d 1) 1k 1

(d 1)

c2,k

1k 2

1k 1k 1

1k 1

d k 1 (d 1) d k 1

(d 1)

Для определения варьируемых постоянных c1,k

обратный разностный оператор в виде суммы последовательности, используя для раскрытия арифметической либо геометрической прогрессий

1	k	1n 1	1 k 1n 1
c1,k	c1,k
c1,k	c1,k		d 1 n 1 1n
	n 11n (d 1)		d 1 n 1 1n

и c2,k применим функциональной сумм формулы

d 1 c1 ;

1n 1

k 1n 1

(d k 1)

c2,k

n 1 d n (d 1)

d 1 n 1 d n

d k (d 1)2

где c1, c2 - новые постоянные суммирования.

Подставляя найденные значения

c1,k

и c2,k в предполагаемое общее

решение разностного уравнение, получаем его в виде

k 1k

d k

c1 1k

d k .

1)2

					80
Для определения постоянных суммирования c1											и c2 воспользуемся
найденными ранее начальными условиями v0									0 и v1		0 . Так, приравнивая
общее решение при k 0 и k	1 начальным условиям, находим
v0	0		0		c1	0		c2 ;
v1 0	1				c1	1			c2	d

		d	1				d
		d	1				d	1
или
		c1		c2		0 ;
		c1	d		c2	0 .
Из полученной системы сразу следует, что c1										c2	0 .

Подставляя найденные значения постоянных суммирования в общее решение, получаем частное решение исходного неоднородного разностного уравнения

k 1k

d k 1

d k

d 1

(d 1)2

d 1

(d 1)2

или

d k

d )2

d (1

d )2

Полученное решение описывает переходную характеристику исследуемой дискретной системы и, как видим, совпадает с выражением, найденным операторным методом.

Решение в форме Коши (метод Коши). Рассматриваемый нами вариант метода Коши предполагает предварительное преобразование исходного неоднородного разностного уравнения

	vk 2		(1 d ) vk 1 d vk				1k		fk
в эквивалентную систему двух разностных уравнений первого порядка.
Так,	вводя новые		переменные			x1,k		vk ;		x2,k x1,k 1 vk 1;
x3,k v2,k 1	vk 2 , получаем эквивалентную систему разностных уравнений
первого порядка
	x1,k 1		0		1	x1,k			0
	x2,k 1		d 1 d			x2,k			1k
или
			X k 1		A X k	Fk .
Согласно методу Коши, частное решение неоднородной системы
разностных уравнений первого порядка следует искать в виде
			Ak X		k
	X	k	Ak X	0	Ak	n	F	1	,
		k		0			n	1
					n 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021889.8 Кб71382.pdf
#
13.02.2021466.66 Кб41386.pdf
#
05.02.2023395.71 Кб31388.pdf
#
13.02.20211.77 Mб241390.pdf
#
13.02.20211.92 Mб141391.pdf
#
13.02.20214.32 Mб161395.pdf
#
05.02.2023351.31 Кб51403.pdf
#
05.02.2023181.27 Кб01406.pdf
#
05.02.2023353.18 Кб21412.pdf
#
13.02.2021370.85 Кб01420.pdf
#
13.02.20212.49 Mб11421.pdf