матан практика на 21.04
.pdfЗанятие по математике для группы 1ХТ-19Д: 21 апреля
0.1Замена переменной в определённом интеграле
Теорема 0.1 Если u; v непрерывно-дифференцируемы на отрезке [a; b]; то справедливо равенство
b |
|
|
b |
a |
b |
|
|
a |
|
|
|
||||
∫ |
u(x) v′(x) dx = u(x) v(x) |
|
a |
∫ |
v(x) u′(x) dx : |
(0.1) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Сравнив эту формулу с аналогичной формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле, видим, что отличия состоят в том, что 1) интегралы в формуле вместо неопределённых – определённые, и 2) нужно вычислять подстановку от произведения функций. Можно написать и версию формулы через дифференциалы
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ v(x) d(u(x)) : |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u(x) d(v(x)) = u(x) v(x) |
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
e |
|
|
e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
12 |
|
|
e |
x2 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
∫ x ln x dx = ∫ ln x d ( |
2 ) = |
2 |
|
∫ |
|
2 |
d(ln x) = 2 ln e 2 ln 1 ∫ |
2 |
x dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||
ln x |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= e2 |
1 |
x dx = e2 |
|
1 x2 |
= e2 |
|
1 e2 12 |
= e2 1 : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 ∫ |
|
|
|
2 2 |
2 |
|
1 |
|
|
2 2 ( 2 2 ) |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Замечание 0.1 Когда функция, заносимая под дифференциал имеет аргумент, сложнее,чем x (например, ax + b), имеет смысл перед применением формулы интегрирования по частям, сделать подходящую замену переменных.
∫2
2)x cos(2x) dx:
0
Умножим и разделим интеграл на 2 и внесём множитель 2 под знак дифференциала
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
; |
t = |
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|||||||||
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t = 2x; x = 2 |
|
|
|
|
|
1 t |
1 |
|
||||||||||
x cos(2x) dx = |
2 |
x cos(2x) d(2x) = |
x = 0; |
t = 0 |
|
|
= |
2 |
|
2 |
cos t dt = |
4 |
t d(sin t) = |
|||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 t sin t |
|
0 |
4 |
sin t dt = |
4 ( cos t) |
|
0 |
= 4 ( 1 1) = 2 : |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1
Задания для аудиторной работы.
Вычислить интегралы, используя метод интегрирования по частям.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫01 x e−x dx: |
2. |
∫0 |
2 |
x cos x dx: |
3. |
∫0 x cos 4x dx: |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e−1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|||
5. |
∫1 |
x lg x dx : |
6. |
∫0 |
|
ln(1+x) dx : |
|
7. |
∫1 |
ln2 x dx: |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
9. |
∫0 |
|
|
|
10. |
∫0 |
|
|
|
11. |
∫0 |
ex cos x dx: |
||||||
|
p |
|
dx: |
|
|
x arctg x dx: |
|
|
||||||||||
|
1 + x |
|
|
|
|
|||||||||||||
Домашнее задание.
Найти интегралы.
∫2
4.x2 cos x dx:
0
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
sin2 x |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x3 dx |
|
||
|
12. |
∫p |
|
|
: |
||||
|
|
|
cos2 x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
0 |
|
e |
|
|
|
3 |
|
1. |
∫ (x + 1) e−2x dx: |
2. |
∫ |
ln x |
: |
3. |
∫ |
x2 cos(2x + 3) dx: |
|
||||||||
x2 |
||||||||
−1 |
|
1 |
|
∫ |
|
0 |
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
4. |
(x2 + 2x + 1) sin x dx: |
|
|
5. |
|
arcsin(1 x) dx: |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2