Разность фаз напряжения и тока

Условимся под разностью фаз  напряжения и тока всегда понимать разность начальных фаз напряжения _u и тока _i { (а не наоборот):

=_u‑_i. (6.28)

Поэтому на векторной диаграмме угол  отсчитывается в направлении от вектора I к вектору U (рис. 6.10). Именно при таком определении разности фаз угол  равен аргументу комплексного сопротивления. Угол  положителен при отстающем токе (_u>_i) и отрицателен при опережающем токе (_u<_i).

Разность фаз между напряжением и током зависит от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений. При x_L>x_C имеем x=x_L—x_C>0 и ток отстает по фазе от напряжения, =arctg(x/r)>0. При x_L=x_C имеем x=0, =0, z=r, ток совпадает по фазе с напряжением, rLC-цепь в целом проявляет себя как активное сопротивление. Это случай так называемого резонанса в последовательном контуре. Наконец, при x_L<x_C имеем x<0, <0, ток опережает по фазе напряжение.

Векторные диаграммы для трех возможных соотношений x_L и x_C даны на рис. 6.11. При построении этих диаграмм начальная фаза тока _i принята равной нулю. Поэтому  и _u равны друг другу.

Рассматривая при заданной частоте цепь по рис. 6.8 в целом как пассивный двухполюсник, можно ее представить одной из трех эквивалентных схем: при x_L>x_C как последовательное соединение сопротивления и индуктивности (r и x'_L=x_L—x_C), при x_L=x_C как сопротивление r и при x_L<x_C как последовательное соединение сопротивления и емкости (r и x'_C=x_C—x_L). При заданных L и С соотношение между x_L, и x_C зависит от частоты, а потому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Выше было принято, что задан ток, а определялись напряжения на элементах и на входных выводах цепи. Однако часто бывает задано напряжение на выводах, а ищется ток. Решение такой задачи не представляет труда. Записав по заданным величинам комплексное напряжение U и комплексное сопротивление Z, определим комплексный ток

I=U/Z

и тем самым действующий ток и начальную фазу тока.

Часто равной нулю принимается начальная фаза заданного напряжения: _u=0. В этом случае, как следует из (6.28), начальная фаза тока _i равна и противоположна по знаку разности фаз , т. е. _i=—.

Установленные выше соотношения между амплитудами и действующими токами и напряжениями, а также выражение для сдвига фаз  позволяют вычислить ток и не прибегая к записи закона Ома в комплексной форме. Подробно этот путь решения показан в примере.

Пример. К цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, приложено напряжение u=100sin5000t В. Емкость конденсатора С=5 мкФ, сопротивление катушки r=15 Ом, индуктивность L=12 мГн. Найти мгновенные значения тока в цепи и напряжений на конденсаторе и на катушке.

Решение. Схема замещения цепи показана на рис. 6.8.

x_L=L=50001210^‑3=60 Ом;

x_C=1/(С)=1/(5000510^‑6)=40 Ом;

x=x_L‑x_C=60‑40=20 Ом;

;

I_m=U_m/z=100/25=4 А;

tg=20/15; =53°08';

i=4sin(5000t‑53°08') А;

U_Cm=x_CI_m=404=160 В.

Напряжение на емкости отстает от тока по фазе на 90°, следовательно,

u_C=160sin(5000t‑143°08') В.

Комплексное сопротивление катушки

Z_КАТ=r+jx_L=15+j60=61,875°58' Ом.

Комплексная амплитуда напряжения на выводах катушки

U_КАТm=Z_КАТI_m=61,875°58'4‑53°08'=247,222°50' В.

Мгновенное напряжение на катушке

u_КАТ=247,2sin(5000t+22°50') В.

Пример. В цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, ток I=2 А, его частота f=50 Гц. Напряжение на выводах цепи U=100 В, катушки U_КАТ=150 В и конденсатора U_С=200 В. Определить сопротивление и индуктивность катушки и емкость конденсатора.

Решение. =2f=250=314 рад/с; x_C=U_С/I=100 Ом и С=1/(x_C)=31,8 мкФ.

Полное сопротивление цепи z=U/I=50 Ом.

Полное сопротивление катушки z_КАТ=U_КАТ/I=75 Ом;

z²=r²+(x_L‑x_C)²=r²+(x_L)²‑2x_Lx_C+(x_C)²;

z_КАТ²=r²+(x_L)²; z²‑z_КАТ²=‑2x_Lx_C+(x_C)²; x_L=(z_КАТ²+(x_C)²‑z²)/2x_C=65,6 Ом;

L=x_L/=0,209 Гн.