5.6. Циклы тепловых машин Примеры решения задач

Пример 5.6.1. Определить параметры состояния (Р, υ, t, u, i, s) в крайних точках цикла газотурбинной установки простейшей схемы, работающей при следующих исходных данных (рис. 5.6.1.):

начальное давление сжатия Р₁ = 0,1 МПа,

конечное давление сжатия Р₂ = 0,5 МПа,

начальная температура сжатия t₁ = + 15 °С,

начальная температура процесса расширения t₃ = 750 °С.

Рис.5.6.1. Схема простейшей газотурбинной установки

1 – осевой компрессор; 2 – камера сгорания; 3 – турбина; 4 – нагрузка

Рис.5.6.2. Цикл газотурбинной установки в координатах Р-υ и Т-S

Внутреннюю энергию u, энтальпию i определить от­носительно Т₀ = 0 К, а энтропию s определить относи­тельно состояния при Т₀ = 273,2 К, Р₀=0,101 МПа.

Для каждого процесса цикла определить работу, ко­личество подведенного или отведенного тепла, измене­ние внутренней энергии, энтальпию и энтропию.

Определить работу цикла, количество подведенного и отведенного тепла, термический КПД цикла, сравнить его с КПД цикла Карно, имеющего одинаковые с рас­четным циклом максимальную и минимальную темпера­туры.

Построить цикл в координатах Р-υ и Т-S. Рабочее тело — 1 кг воздуха (R=0,287 кДж/кг∙К, С_P=1,006 кДж/кг∙К; С_V=С_P – R=0,719 кДж/кг∙К).

Для воздуха применимо уравнение состояния идеаль­ного газа Pυ = RT.

Решение

1. Определение параметров состояния в крайних точках цикла.

Точка 1.

P₁=0,1 МПа; t₁=+ 15°С; Т₁=t₁ + 273,2=288,2 К;

м³/кг;

кг/м³;

i₁=С_P T₁=1,006∙288,2 = 289,9 кДж/кг;

u_l = C_V T₁=0,719∙288,2 = 207,2 кДж/кг;

кДж/кг∙К.

Следует заметить, что если определение энтропии в точке идет при совпадающем значении давления P₁=Р₀, то уравнение упрощается и принимает вид

Точка 2.

К;

;

t₂=T₂ - 273,2 = 183,5 °С;

м³/кг;

кг/м³;

i₂=C_P∙T₂=1,006∙456,7=459,4 кДж/кг;

и₂=C_V∙T₂=0,719∙456,7=328,4 кДж/кг;

кДж/кг∙К.

Точка 3.

Р₃=Р₂=0,5 МПа; Т₃=t₃ + 273,2 = 1023,2 °К;

м³/кг;

кг/м³;

i₃=C_P∙T₃=1,006∙1023,2=1029,3 кДж/кг;

и₃=C_V∙T₃=0,719∙1023,2=735,7 кДж/кг;

кДж/кг∙К.

Точка 4.

Р₄=Р₁=0,1 МПа;

К;

t₄=T₄ - 273,2 = 376,6 °С;

м³/кг;

кг/м³;

i₄=C_P∙T₄=1,006∙645,8=649,7 кДж/кг;

и₄=C_V∙T₄=0,719∙645,8=470,8 кДж/кг;

кДж/кг∙К.

2. Построение цикла в координатах Р-υ и Т-s.

Процессы, изображаемые в Р-υ и Т-s координатах, необходимо строить не менее чем по трем точкам.

Для нахождения параметров промежуточных точек вначале надо принять произвольно значение одного ка­кого-либо параметра таким образом, чтобы это значе­ние находилось между его численными значениями в крайних точках процесса. Последующий параметр опре­деляется из уравнения, характеризующего данный про­цесс, составленного для одной (любой) из крайних точек процесса и для промежуточной точки.

Процесс 1-2. Точка «а». Принимаем Р_а=0,3 МПа. По уравнению адиабаты идеального газа Pυ^k =C для точек «а» и 1 имеем Р_а∙υ^k_а = Р₁∙υ^k₁ или

м³/кг;

К;

t_a=120,9 ^oC;

i_a=C_P∙T_a=1,006∙394,1=396,5 кДж/кг;

и_a=C_V∙T_a=0,719∙394,1=283,4 кДж/кг;

кДж/кг∙К.

Аналогично определяются параметры на всех других процессах рассматриваемого цикла. По найденным значе­ниям строится цикл в координатах Р-υ и Т-s. Масштаб выбирается произвольно исходя из численных значений параметров.

3. Определение работы, количества подведенного или отведенного тепла, изменение внутренней энергии, эн­тальпии и энтропии для каждого процесса цикла.

Процесс 1-2 (адиабатический, δq = 0)

q_1,2 = Δu + l_1,2 = Δi + w_1,2 = 0

Потенциальная работа

w_1,2 = i₁ – i₂ = C_P(T₁ – T₂) = 1,006(288,2 – 456,7) = - 169,5 кДж/кг –

работа затрачивается.

Термодинамическая работа

l_1,2 = u₁ – u₂ = C_V(T₁ – T₂) =0,719(288,2 - 456,7) = - 121,2 кДж/кг;

Δi = i₂ – i₁ = 169,5 кДж/кг;

Δu = u₂ – u₁ = 121,2 кДж/кг,

Δs_1,2 = 0, так как q_1,2 = 0.

Процесс 2-3 (изобарический, Р = idem)

l_2,3 = P₂(υ₃ – υ₂) = 0,5∙10⁵(0,587 – 0,262) = 0,162∙10⁵ кДж/кг;

w_2,3 = 0;

q_2,3 = i₃ – i₂ = C_P(T₃ – T₂) = 1,006(1023,2 — 456,7) = 569 кДж/кг, -

тепло подводится

Δu_2,3 = C_V(T₃ – T₂) = 0,719(1023,2 - 456,7) = 407,3 кДж/кг;

l_2,3 = q_2,3 + Δu_2,3 = 569,7 - 407,3 = 162 кДж/кг,

кДж/кг∙К,

кДж/кг∙К.

Процесс 3-4 (адиабатический, δq = 0)

q_3,4 = Δu_3,4 + l_3,4 = Δi_3,4 + w_3,4 = 0;

w_3,4 = i₃ – i₄ = C_P(T₃ – T₄) = 1,006(1023,2 – 645,8) = 379,7 кДж/кг;

l_3,4 = u₃ – u₄ = C_V(T₃ – T₄) =271,4 кДж/кг;

Δs_3,4 = 0, так как q_3,4 = 0.

Процесс 4-1 (изобарический, Р = idem)

w_4,1 = 0;

q_4,1 = Δi_4,1 + w_4,1 = C_P(T₁ – T₄) ==1,006(288,2 - 645,8)= - 359,7 кДж/кг –

тепло отводится.

Δu_4,1 = C_V(T₁ – T₄) = 0,719(288,2 - 645,8) = - 257,1 кДж/кг;

l_4,1 = P (υ₁ – υ₄) = 0,5∙10⁵(0,827 - 1,85) = - 0,102∙10⁵ кДж/кг;

из первого начала термодинамики q_4,1 = Δu_4,1 + l_4,1 имеем:

l_4,1 = q_4,1 – Δu_4,1 = - 359,7 - (-257,1) = - 102,6 кДж/кг – работа подводится

кДж/кг∙К,

или

кДж/кг∙К.

Данные вычислений сводятся в табл. 5.6.1. и 5.6.2.

Таблица 5.6.1.

Результаты вычислений по точкам

Точки	Параметры
	Р, МПа	υ, м3/кг	t, °С	Т, К	l, кДж/кг	и, кДж/кг	s, кДж/кг∙К
1	0,1	0,827	15	288,2	289,9	207,2	0,057
2	0,5	0,262	183,5	456,7	459,4	328,4	0,057
3	0,5	0,587	750	1023,2	1029,3	735,7	0,869
4	0,1	1,85	372,6	645,8	649,7	470,8	0,869

Таблица 5.6.2.

Результаты вычислений по процессам

Процессы	l, кДж/кг	w, кДж/кг	Δi, кДж/кг	Δи, кДж/кг	q, кДж/кг	Δs, кДж/кг∙К
1-2	-121,2	-169,5	169,5	121,2	0	0
2-3	162	0	567,7	407,3	569,7	0,812
3-4	274,4	379,7	-379,4	271,4	0	0
4-1	-109,6	0	-359,7	-257,1	-359,7	-0,812

Работа цикла

Термодинамическая работа

l_ц = l_1,2 + l_2,3 + l_3,4 + l_4,1 = - 121,2 + 162 + 271,4 - 102,6 ≈ 210 кДж/кг.

Потенциальная работа

w_ц = w_1,2 + w_2,3 + w_3,4 + w_4,1 = - 169,5 + 379,7 = 210 кДж/кг.

В круговых процессах l_ц = w_ц.

Количество полезно использованного тепла в цикле

q_пол = q_2,3 – q_4,1 = 210 кДж/кг.

В круговом термодинамическом процессе количество подведенного тепла численно равно работе:

q = l_ц = w_ц = 210 кДж/кг.

Термический КПД цикла

.

КПД цикла Карно, имеющего одинаковые с расчетным циклом максимальную и минимальную температуры

.

> η_t.

Пример 5.6.2. Провести термодинамический расчет цикла паросиловой установки (цикл Ренкина), работающей при следующих исходных данных.

Начальное давление пара, то есть давление перед турбиной Р₁ = 5 МПа = 50 Бар. Начальная темпера­тура пара, то есть тем­пература пара перед тур­биной t₁ = 500 °С; T₁ = t₁ + 273,2 = 773,2 К. Конечное давление отработанного пара, т.е. дав­ление пара за турбиной, в конденсаторе Р₂ = 0,01 МПа = 0,1 бар.

Требуется опреде­лить:

1) параметры пара в крайних точках цикла и представить цикл в координатах Р-υ и T-s и i-s;

2) внутренний абсолютный КПД цикла;

3) удельный часовой расход пара;

4) удельный часовой расход тепла;

5) количество охлаждающей воды, необходимой для конденсации пара в течение 1 часа, если вода нагревается при этом на 10°C.

Мощность паросиловой установки принимается рав­ной N = 2500 кВт.

Решение

Паросиловая установка по циклу Ренкина работает следующим образом (рис 5.6.3.). Вода насосом V подается в паровой котел I, при этом давление ее повышается с величины Р₂ до Р₁. Так как вода практически не сжи­мается (υ=const), то в координатах Р-υ (рис.5.6.4.) этому процес­су соответствует процесс 3-4 (υ=idem), а в координатах Т-s и i-s этот процесс из-за малости масштаба прак­тически выглядит как совмещенная точка 3-4 (Слиш­ком близко друг от друга здесь расположены изобары P₁ и Р₂).

Рис. 5.6.3. Принципиальная схема па­росиловой установки

В паровом котле вода подогревается вначале от тем­пературы точки 4 до температуры точки 5, где она до­стигает величины температуры кипения. Эта температу­ра будет больше или меньше в зависимости от давления P₁. Так при давлении P₁ = 0,1 МПа температура в точке 5 будет равна ≈ 100°С; а при Р = 0,2 МПа кипе­ние, воды будет начинаться уже при температуре ≈ 120°С и т.д. Таким образом, отрезок изобары 4-5 в коор­динатах Р-υ -соответствует процессу нагревания воды при постоянном давлении до температуры кипения. Тем­пературу кипения, при которой вода превращается в пар, называют температурой насыщения, а пар, образую­щийся при этом, — влажным насыщенным паром.

Рис. 5.6.4. Цикл паросиловой установки в координатах Р-υ и T-s и i-s

При дальнейшем подводе тепла в паровом котле 1 количество жидкой фазы постепенно уменьшается, а ко­личество пара увеличивается. Температура смеси остает­ся постоянной (рис. 5.6.4.), так как все подводимое тепло идет на испарение жидкой фазы. Этот процесс на рис. 5.6.4. изображается отрезком 5-6, который одновременно яв­ляется изобарой и изотермой. То есть процесс парооб­разования 5-6 является изобарно-изотермическим.

В точке 6 последняя капля воды превращается в пар и пар теперь называется сухим насыщенным паром. При дальнейшем подводе тепла в пароперегревателе II (q’’₁) при том же давлении P₁ происходит увеличение тем­пературы пара, пар перегревается. Точка 1 на рис. 5.6.4 соответствует, состоянию перегретого пара и, в зависи­мости от температуры T₁, может лежать дальше или ближе от точки 6.

Далее пар с параметрами P₁, T₁, поступает в паровую турбину, где расширяется адиабатически до давления Р₂. После расширения пара в паровой турбине и полу­чения полезной работы от турбины отработанный пар поступает в холодильник-конденсатор IV, где за счет внешнего охлаждения полностью конденсируется. Вода вновь поступает на вход насоса V и цикл повторяется.

Для цикла Ренкина характерно, прежде всего, то, что в нем не учитываются какие-либо потери в различных стадиях цикла, присутствует одно и то же количество вещества и, главное, происходит полная конденсация водяных паров в холодильнике-конденсаторе на линии 2-3. При этом отводится тепло в количестве q₂.