Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
02.(1). Приложение к вопросу 02: вывод формулы Резерфорда.
Для удобства продублируем несколько слайдов
из предыдущей презентации
Схема опытов Резерфорда (Rutherford E.)
1- свинцовый контейнер, 2- источник альфа-частиц,
3- пучок альфа-частиц, 4- тонкая металлическая фольга, 5- сцинтиллятор, 6- микроскоп, 7- глаз наблюдателя. 
Рассеяние частиц атомными ядрами.
О- центр рассеяния (ядро атома). Детектор с площа- дью рабочей поверхности dS регистрирует части-
цы, рассеянные под углом θ - (угол рассеяния), и летящие внутри телесного угла dΩ. 
Количество частиц dN, летящих внутри телесного уг-
ла dΩ, и зарегистрированных детектором за еди-
ницу времени, равно:
dN = dσ·n1·v1·n2·V , |
(2.1) |
где n1 - плотность частиц в налетающем пучке, v1 - их скорость, n2 - число ядер в единице объема мише- ни, V - рабочий объем мишени, равный произведе-
нию площади поперечного сечения пучка на тол-
щину мишени, если частицы пролетают сквозь ми- шень (в этом случае мишень называется "тонкая").
Если частицы останавливаются внутри мишени, то
площадь поперечного сечения пучка надо умно- жить на глубину проникновения частиц, в этом слу-
чае мишень называется "толстая". Коэффициент dσ называется "эффективным сечением".
Из формулы (2.1) находим эффективное сечение:
d |
|
|
dN |
(2.2) |
|||||
|
|
||||||||
n v n V |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
Разделив обе части формулы (2.2) на dΩ, находим |
|||||||||
характеристику, которая называется "дифферен- |
|||||||||
циальное эффективное сечение": |
|
||||||||
|
d |
|
dN d |
|
(2.3) |
||||
|
d |
n1v1n2V |
|||||||
|
|
|
|
||||||
Проинтегрировав (2.2) или (2.3) по всему телесному
углу Ω, получаем величину, которая называется
"полное сечение":
d d |
d |
|
N |
(2.4) |
||
n v n V |
||||||
d |
|
|||||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
Упругое рассеяние альфа-частиц на ядрах атомов (рассеяние Резерфорда) 
Для этого процесса (упругого рассеяния альфа-час-
тиц на ядрах атомов) Э.Резерфорд получил фор-
мулу, носящую его имя (формула Резерфорда):
d |
1 |
|
q1q2 |
|
2 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
|
4 |
4 0mv |
2 |
sin4 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Обозначения: m, v - масса и скорость налетающей частицы, q1 и q2 - электрические заряды налетаю- щей частицы и ядра соответственно. Для альфа- 
частицы q1 = 2e, для ядра q2 = Ze, e - элементарный электрический заряд, по абсолютной величине равный заряду электрона; Z - число протонов в яд- ре атома мишени, ε0 - электрическая постоянная.
Вывод формулы Резерфорда
Потенциальная энергия частицы |
|
|
U |
|
|
q1q2 |
|
||||||||||||||
в поле ядра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 r |
|
|
||||||||
Кинетическая энергия частицы: |
|
T |
|
m |
|
|
dr |
2 |
2 |
d |
2 |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|||
Закон сохранения энергии имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
T U |
m |
dr 2 |
r |
2 d 2 |
|
|
|
q q |
|
E |
|
|
(2.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где E = const – полная энергия частицы. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Закон сохранения момента импульса:
mr2 d mvb (2.7) dt
где b – прицельный параметр, v - скорость частицы
вдали от центра рассеяния.
Вывод формулы Резерфорда
Из (2.7) находим: |
|
|
|
d |
|
|
|
mvb |
|
vb |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
mr2 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
подставляем в (2.6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
dr |
|
2 |
|
2 |
d |
|
2 |
|
|
q q |
|
|
|
|
m |
|
dr |
|
2 |
|
2 |
v2b2 |
q q |
|||||
E |
|
|
|
r |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
1 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
4 0r |
|
|
|
dt |
|
|
|
r |
|
4 0r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда: |
|
|
|
dr |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
q q |
|
|
v2b2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Чтобы получить уравнение траектории, исключаем
время: |
dr |
|
dr d |
vb dr |
|
||
|
dt |
|
|
dt |
r2 |
|
(2.9) |
|
d |
d |
|||||
Вывод формулы Резерфорда
Подставляем (2.9) в (2.8):
v2b2 |
dr |
2 |
2 |
|
E |
q q |
|
|
v2b2 |
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
r |
|||||||||
|
|
d |
|
m |
|
4 0r |
|
|
|||||
Делаем замену переменной:
r 1 |
|
dr dz |
|
dr |
|
|
|
|
dz |
||||||||||
d |
|
z2d |
|||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|||||||
и подставляем в (2.10): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dz 2 |
|
2E |
|
|
|
|
q1q2 |
|
|
|
|
z |
z |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
b |
2 |
|
|
|
2 |
b |
2 |
|
|
|||||||
|
|
d |
|
mv |
|
|
|
2 0mv |
|
|
|
|
|
|
|||||
(2.10)
(2.11)