Лекции / tfkp6

В ряд Тейлора функция раскладывается в круге - то есть в односвязной области без особых точек, а в ряд Лорана - в кольце, то есть если в круге есть одна особая точка, то ее можно вырезать и разложить в ряд.

С начала нужно найти особые точки функции, для наглядности сделать чертеж;

Область интегрирования - круг с выколотым центром (центр в точке i, радиус 2).

Область открытая - граница не принадлежит поэтому особые точки в область не попадают; значит в данной области функция аналитическая и ее можно разложить в ряд Лорана.

К оэффициенты разложения вычисляются по формуле:

Требуется разложить в ряд в кольце:

Значит по степеням z-i, а в общем виде по степеням z-a. Вывод: a=i; f - это просто функция, которую надо разложить в ряд, подставляем в формулу для c_n.

Интегрирование происходит по любой окружности С, целиком лежащей в кольце.

Можно заметить, что если n + 4 ≤ 0, то подынтегральная функция аналитическая; особенность только в точке i, и она поднимется в числитель – исчезнет, значит

Так как интеграл от аналитической функции равен 0, теперь надо разобраться что будет, когда n = -3,-2,-1,0,1,...

В этом случае особенность будет в знаменателе и надо использовать следствие из интегральной формулы Коши.

Оставляем особенность в знаменателе, все поднимаем в числитель и применяем формулу, далее надо вывести формулу для производной.

Просто дифференцируем, пока не поймем, чему равна n-я производная и подставляем в коэффициенты:

И теперь коэффициенты в ряд:

Это и есть ряд Лорана в данном кольце, иногда требуется выделить главную и правильную части ряда:

Р аз точка 2 совпадает с центром - ее выкалываем и через ближайшую особую проводим окружность.

Теперь функцию надо разложить на простые дроби:

Первая дробь:

У же по степеням z – 2, с ней ничего делать не надо; необходимо разложить вторую, сначала организуем в ней z – 2:

Теперь используем известное разложение:

То есть в области |w|<1 можно в ряд разложить сравниваем и видим, что w =

Значит, если |(z-2) / 5| < 1 или |z-2| < 5, то можно воспользоваться формулой в нашей окрестности это условие как раз выполнено.

Дробь разложили, осталось в функцию подставить

Выписываем ВСЕ кольца, в которых функцию можно разложить в ряд Лорана (берется максимально возможный радиус).

Т о есть функцию надо разложить в ряд в трех областях, в каждой будет свое разложение; сначала функцию надо разложить на простые дроби.

Теперь будем раскладывать дроби в ряд в каждой области, используя известные разложения:

О бласть сходимости каждого:

Рассмотрим первую дробь, сначала выделяем нужную разность z-2i.

Если

То можно воспользоваться формулой, в области 1) это условие выполнено.

Нужно сгруппировать коэффициенты при одинаковых степенях:

В данном случае разложение содержит только правильную часть, это ожидаемо - в круге функция раскладывается в ряд Тейлора.

Т о есть и в этом кольце можно использовать, полученное разложение:

А вот для первой дроби нельзя (там <1), а у нас больше → запишем так:

Д олжно выполняться условие:

Или

З начит можно воспользоваться готовой формулой:

Теперь складываем дроби:

О твет: