Лекции / tfkp1

Конформные отображения

П римеры

Найти линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в точках 0, i, – 1 плоскости (z) на подобный ему треугольник с вершинами в точках 1 + i, 0, 2 плоскости (w).

Сначала найдем образ границы области |z + i| <=3, то есть окружности радиуса R = 3 с центром в точке z₀ = – i.

Если особая попала на границу, то образ границы будет проходить через бесконечность - будет прямой; если особая не попала на границу, то образ будет окружностью, у нас не попала - значит наша окружность тоже перейдет в окружность.

Чтобы построить окружность надо знать центр и радиус, центром будет точка симметричная с особой относительно исходной окружности. Симметричные точки лежат на луче выходящем из центра произведение расстояний до центра равно радиусу окружности в квадрате (ОA * OB = R^2 = 3^2).

Это будет центр искомой окружности уже на плоскости (w), теперь чтобы найти радиус отображаем любую точку окружности.

Например -4i (любую удобную), радиус будет расстояние от нее до центра 5/2

Точка -2 лежит вне круга.