ПЗ3: РОЗРАХУНОК КІЛ ПРИ ГАРМОНІЙНИХ ВПЛИВАХ. СИМВОЛІЧНИЙ МЕТОД

5.1 Мета заняття

Закріплення теоретичних знань за темою "Основні положення символічного методу аналізу ЛЕК". Одержання навичок з розрахунку частотних характеристик ЛЕК. Набуття навичок аналізу і розрахунку розгалужених кіл при гармонійному впливі, навичок зображення векторних діаграм і їхнього аналізу.

5.2 Контрольні запитання та завдання

1. Що таке гармонійне коливання і які його параметри? Зіставлення фаз гармонійних коливань.

2. Представлення гармонійних коливань за допомогою векторів.

3. Додавання гармонійних коливань однакових частот.

4. Які співвідношення між амплітудами і початковими фазами гармонійних коливань струму і напруги на затискачах R-, L- і С- елементів?

5. Яка мета введення в теорію кіл символічного методу?

6. Представлення комплексних чисел у різних формах; сполучені комплексні числа; формула Ейлера.

7. Приведіть правил виконання дій над комплексними числами (додавання, вирахування, множення і розподіл).

8. Сформулюйте закони Кірхгофа і закон Ома для комплексних амплітуд напруг і струмів.

9. Комплексні опори і провідності двополюсників.

10. Яка послідовність розрахунку кіл символічним методом?

11. Що таке комплексні передатні функції? Амплітудно-частотні і фазо-частотні характеристики (АЧХ і ФЧХ) кола.

12. Як провадиться розрахунок розгалужених кіл символічним методом?

13. Зображення комплексних чисел на комплексній площині.

14. Додавання, вирахування векторів на комплексній площині.

15. Яке взаємне розташування векторів струму і напруги на затискачах R-, L- і С- елементів?

16. Наведіть формули розрахунку миттєвої, активної, реактивної і повної потужності гармонійних коливань.

17. Як провадиться розрахунок комплексної потужності?

5.3 Приклади розв'язання задач

Задача 1. Маємо коло 1-го порядку рис. 5.1. На вхід кола подається гармонійний сигнал  В, R=2 Ом, С=30 мкФ,  рад/с. Знайти струм у колі і сигнал на виході кола . Зобразити АЧХ і ФЧХ кола.

Розв'язок. Зобразимо схему кола з комплексними опорами елементів (рис. 5.2). Для цього кола і .

Комплексний вхідний опір кола

.

Ом.

Комплексна амплітуда вхідного сигналу В.

Комплексна амплітуда струму в колі

А.

Комплексна амплітуда вихідного сигналу

В.

Переходячи від комплексних амплітуд до миттєвих значень, одержуємо струм у колі і напругу на виході кола: А, В.

Комплексний коефіцієнт передачі кола, що представляє із себе дільник напруги і (рис. 5.2), знаходиться так: . Тоді

,

де - амплітудно-частотна характеристика (АЧХ);

- фазо-частотна характеристика (ФЧХ).

Провівши нескладний аналіз функцій однієї перемінної і , зобразимо графіки АЧХ і ФЧХ.

Рисунок 5.3

Відповідь: А, В.

Задача 2. Розрахувати комплексні амплітуди струмів у вітках і напруг на елементах для схеми рис. 5.4, якщо  В, R= 30 Ом, С= 10 мкФ, L= 0,3 мГн,  рад/с. Зобразити векторну діаграму всіх струмів і напруг.

Розв'язок. Визначимо комплексний опір ємності й індуктивності:

Ом;

Ом.

Комплексний опір усього кола

Ом.

Фаза джерела ЕРС у градусах .

Комплексна амплітуда ЕРС В.

Комплексна амплітуда струму в колі

А.

Для знаходження струму в індуктивності й у ємності скористаємося формулою дільника струму

А.

А.

Комплексні амплітуди напруг на елементах знайдемо за законом Ома

В.

В.

В.

Як видно, , що очевидно, тому що індуктивність і ємність з'єднані паралельно. Зобразимо векторну діаграму (рис. 5.5). Для цього необхідно вибрати масштаб для струмів і напруг та на комплексній площині відкласти вектора відповідної довжини (амплітуди) і під відповідним кутом до дійсної осі (початкові фази).

5.4 Варіанти задач

5.4.1 Маємо коло 1-го порядку рис. 5.5 – 5.7. На вхід кола подається гармонійний сигнал В. Визначити амплітуду і фазу вихідного сигналу фільтра на частоті = 2 ( - частота зрізу фільтра). Зобразити АЧХ і ФЧХ кола.

5.4.2 Для схем рис. 5.8 – 5.11 розрахувати комплексну передатну характеристику кола за напругою і зобразити АЧХ кола з указівкою характерних точок.

Рисунок 5.5 Рисунок 5.6 Рисунок 5.7

Рисунок 5.8 Рисунок 5.9 Рисунок 5.10 Рисунок 5.11

5.4.3 Для схем рис. 5.12 – 5.14 розрахувати струм через індуктивність L і напругу на ємності C, якщо  В, R₁=1 Ом, R₂=1 Ом, R₃=3 Ом, С= 20 мкФ, L= 0,2 мГн,  рад/с.

5.4.4 Якісно зобразити векторну діаграму всіх струмів і напруг для схем рис. 5.12 – 5.14, якщо R₂=R₃, (рис. 5.12), (рис. 5.13) і (рис. 5.14).

5.4.5 Розрахувати струми у вітках і напруги на елементах для схем рис. 5.12 – 5.17, якщо  В,  А, R₁=1 Ом, R₂=1 Ом, R₃=3 Ом, С= 10 мкФ, L= 0,3 мГн,  рад/с. Зобразити векторну діаграму всіх струмів і напруг.

5.4.6 Розрахувати комплексні амплітуди струмів у вітках і напруг на елементах для схем рис. 5.8 – 5.11, якщо до входу кола прикладена ЕРС  В, R₁ = 30 Ом, R₂ = 20 Ом, С = 15 мкФ, L = 0,4 мГн,  рад/с. Зобразити векторну діаграму всіх струмів і напруг.

Рисунок 5.12 Рисунок 5.13 Рисунок 5.14

Рисунок 5.15 Рисунок 5.16 Рисунок 5.17

РЕЗОНАНСНІ ЯВИЩА В ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ. РЕЗОНАНСНІ ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

6.1 Мета заняття

Набуття навичок аналізу і розрахунку коливальних контурів, навичок по використанню властивостей цих контурів у задачах фільтрації.

6.2 Контрольні запитання та завдання

1. Які умови резонансу напруг і струмів?

2. Зобразіть векторні діаграми струмів і напруг для випадків ємнісного, індуктивного й активного опорів контуру (послідовного, рівнобіжного).

3. Наведіть частотні характеристики рівнобіжного контуру (залежності вхідних опорів, струмів і напруг від частоти).

4. Наведіть частотні характеристики послідовного контуру.

5. Які відмінності ідеального контуру від реального?

6. Добротність контуру (послідовного, рівнобіжного).

7. Наведіть характеристики ідеальних фільтрів.

8. Що таке смуга пропущення контуру і який її зв'язок з добротністю?

9. Абсолютна і відносна розгалуженість.

10. Принципи побудови логарифмічних частотних характеристик.

6.3 Приклади розв'язання задач

Задача 1. Коло складається з котушки індуктивності (R, L), з'єднаної послідовно з конденсатором без втрат. Амплітуда прикладеного до всього кола напруги U_m = 35 B. Частота вхідного гармонійного сигналу дорівнює резонансній частоті. Зобразити векторну діаграму, визначити добротність контуру і напругу на котушці, якщо амплітуда напруги на конденсаторі дорівнює 120 В.

Розв'язок. Зобразимо схему кола (рис. 6.1). Відомо, що при резонансі вхідний опір кола чисто активний і дорівнює R, тому струм у колі збігається за фазою з вхідною напругою; вхідна напруга дорівнює напрузі на резисторі. Також при резонансі амплітуди напруг на реактивних елементах рівні між собою й у Q (добротність) раз більше, ніж прикладена до кола напруга, тобто ; по фазі напруги на реактивних елементах зрушені на 180⁰. Описані співвідношення між струмом і напругами зображені на векторній діаграмі рис. 6.2. Напруга на котушці дорівнює сумі векторів напруг на резисторі і на індуктивності: U_mRL=U_m+U_m. Оскільки напруги U_m і U_m зрушені на 90⁰ (рис. 6.2), то довжину вектора U_mRL (тобто амплітуду напруги на котушці) можна знайти, вирішивши прямокутний трикутник (довжина катетів U_m і U_m відома): .

За умовою, амплітуда напруги на конденсаторі U_mС = 120 B. Тоді Q = 120/35  3,428.

Як зазначалося вище, U_mR = U_m = 35 В і U_m = U_mС = 120 B, тоді В.

Відповідь: Q  3,428, U_mRL = 125 В.

6.4 Варіанти задач

6.4.1 Послідовний коливальний контур улаштований на резонанс при кутовій частоті 5000 рад/с і споживає потужність 0,1 Вт при струмі 0,1 А. Напруга на конденсаторі 200 В. Знайти параметри кола R, L, C і прикладену до нього напругу.

6.4.2 Знайти параметри котушки (R, L), ємність С конденсатора й опір реостата R₁, що включено в коло рис. 6.3, якщо при резонансі прилади показали: U = 200 B, U₁ = 204 B, U₂ = 180 B, I = 4 A. Частота перемінного струму f = 50 Гц. Побудувати векторну діаграму струмів і напруг.

6.4.3 Послідовний коливальний контур RLC підключений до джерела синусоїдальної ЕРС з Е_m = 1,6 В і внутрішнім опором R_i = 16 Ом. При якому опорі R у контурі виділиться максимальна потужність при резонансі і чому вона дорівнюватиме? Знайти напруги на ємності, індуктивності і на опорі R при резонансі, якщо резонансна частота 100 кГц, а індуктивність L = 4,5 мГн. Побудувати векторну діаграму струмів і напруг.

6.4.4 Розрахувати елементи рівнобіжного коливального контуру (рис. 6.4) зі смугою пропускання 25 кГц, резонансною частотою 1 МГц і хвильовим опором контуру 75 Ом.

Рисунок 6.3 Рисунок 6.4