1. Свойства характеристической функции

1. Характеристическая функция g(t) вещественна тогда и только тогда, когда f(x) – четная функция. Причем g(t) также четна. Это следует из свойств преобразования Фурье.

2. Если случайные величины Х и Y связаны соотношением

Y = aX,

где а – постоянный множитель, то

g_y(t) = g_x(at).

Доказательство.

3. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций.

Доказательство. Пусть Х₁, Х₂, ... , Х_n - независимые случайные величины с характеристическими функциями g_x1(t), g_x2(t), ... , g_xn(t).

Найдем характеристическую функцию

Имеем:

Так как случайные величины независимы, то независимы и случайные величины , поэтому

Используя аппарат характеристических функций можно показать, что случайные величины Z = X + Y (Z – носит название композиции), где X, Y независимые случайные величины, имеющие биноминальное распределение, распределение Пуассона или нормальное распределение также подчиняются соответственно биноминальному распределению, закону Пуассона, нормальному закону.

3. Центральная предельная теорема

Теорема. Если случайные величины Х₁, Х₂, ... , Х_n взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения f(x) и

то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

Она может быть сформулирована в более общем случае. Закон распределения вероятностей суммы независимых случайных величин одинакового порядка при неограниченном увеличении слагаемых вне зависимости законов распределения слагаемых стремится к нормальному закону с плотностью вероятностей

где

Доказательство использует аппарат характеристических функций, представляя и разлагая функцию g_x(t) в ряд Макларена. Далее, делая нормировку случайной величины Y_n, т.е. замену показывается, что

Пример. Найти приближенное выражение для плотности суммы 24 независимых случайных величины, каждая из которых подчинена равномерному закону на интервале (0, 1).. Найти вероятность того, что сумма будет заключена в пределах от 6 до 8.

Решение. Пусть где Х_i – равномерно распределенные случайные величины. Случайная величина Y удовлетворяет центральной предельной теореме, поэтому ее плотность распределения

Так как Х_i – равномерно распределены на интервале (0, 1), то

Следовательно,

Подставим полученные значения в формулу плотности вероятности случайной величины Y:

Тогда

Практическое занятие №1

Задача1(выбрать правильный вариант ответа). Если случайные величины попарно независимы и имеют один и тот же закон распределения , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к закону:

а) Пуассона;

б) экспоненциальному;

в) Гаусса;

г) биномиальному.

Задача 2. (выбрать правильный вариант ответа). Неравенство Чебышева имеет такой вид:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задача 3. (выбрать правильный вариант ответа). Для каких из нижеперечисленных законов композиция с.в. имеет тот же закон распределения:

а) биномиальный;

б) экспоненциальный;

в) Пуассона;

г) нормальный.

Задача4 (выбрать правильный вариант ответа). Центральная предельная теореме имеет следующую формулировку:

а) если с.в. , … зависимы и имеют один и тот же закон распределения f(x), то при неограниченном увеличение n, закон распределения суммы неограничено приближается к нормальному;

б) если СВ , … попарно независимы и имеют разные закон распределения f(x), то при неограниченном увеличение n, закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному;

в) если СВ , … попарно независимы и имеют один и тот же закон распределения f(x), то при неограниченном увеличение n, закон распределения суммы неограниченно приближается к распределению Гаусса.

г) если СВ , … зависимы и имеют разные законы распределения , то при неограниченном уменьшение n, закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному;

Задача5 В партии из микросхем, изделий имеют дефект. Для проверки качества сделана выборка из микросхем . Определить характеристическую функцию числа дефектних микросхем, которые содержатся в выборке.

Решение.. Случайная величина - число дефектних микросхем, которые содержатся в выборке ,может принимать значения о т до .Обозначим

.

Так как

,

Характеристическая функция по определению будет равна:

.

Задача6. Найти характеристическую функцию с.в., распределенной по закону Пуассона

.

Решение. Характеристическая функция равна:

.

Известно. что

,

Но в данном случае , тогда

.

Лекция № 13

Тема. Основы математической статистики.

Литература:

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем . Під ред.Поповського В.В. - Харків, СМИТ, 2011.

2. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высш.шк.,1999.-479 с..

План лекции:

1.Введение

2. Числовые характеристики выборки

2.1 Выборочное среднее

2.2 Выборочная дисперсия

3. Статистический ряд. Статистическая функция распределения.

4. Статистическая совокупность. Гистограмма

1. Введение

Математической статистикой называется наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.

В математической статистике можно выделить два направления: описательную статистику и индуктивную статистику (статистический вывод). Описательная статистика занимается накоплением, систематизацией и представлением опытных данных в удобной форме. Индуктивная статистика на основе этих данных позволяет сделать определенные выводы относительно объектов, о которых собраны данные, или оценки их параметров.

Типичными направлениями математической статистики являются:

1. теория выборок;

2. теория оценок;

3. проверка статистических гипотез;

4. регрессионный анализ;

5. дисперсионный анализ.

В основе математической статистики лежит ряд исходных понятий, без которых невозможно изучение современных методов обработки опытных данных. В ряд первых из них можно поставить понятие генеральной совокупности и выборки.

При массовом промышленном производстве часто нужно без проверки каждого выпускаемого изделия установить, соответствует ли качество продукции стандартам. Так как количество выпускаемой продукции очень велико или проверка продукции связана с приведением ее в негодность, то проверяется небольшое количество изделий. На основе этой проверки нужно дать заключение обо всей серии изделий. Конечно, нельзя утверждать, что все транзисторы из партии в 1 млн. штук годны или негодны, проверив один из них. С другой стороны, поскольку процесс отбора образцов для испытаний и сами испытания могут оказаться длительными по времени и привести к большим затратам, то объем проверки изделий должен быть таким, чтобы он смог дать достоверное представление обо всей партии изделий, будучи минимальных размеров. С этой целью введем ряд понятий.

Определение. Вся совокупность изучаемых объектов или экспериментальных данных называется генеральной совокупностью. Будем обозначать через N число объектов или количество данных, составляющих генеральную совокупность. Величину N называют объемом генеральной совокупности. Если N>>1, то есть N очень велико, то обычно считают N = .

Случайной выборкой или просто выборкой называют часть генеральной совокупности, наугад отобранную из нее. Слово "наугад" означает, что вероятности выбора любого объекта из генеральной совокупности одинаковы. Это важное предположение, однако, часто трудно это проверить на практике.

Объемом выборки называют число объектов или количество данных, составляющих выборку, и обозначают n. В дальнейшем будем считать, что элементам выборки можно приписать соответственно числовые значения х₁, х₂, ... х_n. Например, в процессе контроля качества производимых биполярных транзисторов это могут быть измерения их коэффициента усиления по постоянному току.