1 Система двух случайных величин
1.1 Функция распределения двух случайных величин
1.2 Плотность распределения двух случайных величин
1.3 Условные функция распределения и плотность распределения
вероятностей
1.4 Корреляция двух случайных величин
2. Система произвольного числа случайных величин
1 Система двух случайных величин
1.1 Функция распределения двух случайных величин
До сих пор рассматривались ситуации, в которых фигурировала одна случайная величина. Однако, при изучении случайных явлений приходится пользоваться двумя, тремя и более случайными величинами. Так при анализе радиотехнической системы иногда нужно найти связь между входными и выходными сигналами для одного или двух моментов времени.
Координаты
точки разрыва снаряда в пространстве
при стрельбе по воздушной цели определяется
тремя случайными величинами , а сама
точка может рассматриваться как случайная
точка пространства. Систему из n
случайных величин
можно рассматривать как случайную точку
в n-мерном
пространстве . Чтобы научиться
анализировать такие системы , необходимо
расширить понятия функции распределения
и плотности распределения вероятностей
. Сначала рассмотрим систему двух
непрерывных случайных величин.
Пусть имеется две непрерывные случайные величины X и Y.
Определение.
Двумерная функция распределения
вероятностей случайных величин X
и Y
– это вероятность события
,
то есть
,
где (X<x,Y<y)=
{ X<x
}{Y<y
} –означает произведения событий.
Пользуясь геометрической интерпретацией системы (X,Y), как случайной точки на плоскости, можно дать геометрическое истолкование функции распространения F(x,y); это есть вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрат, лежащие левее и ниже ее.
Легко
вывести следующие свойства функции
:
;
;
;- неубывающая функция по одной их переменных;
,
- функции распределения случайных
величин X
и Y.
Зная
функцию распределения F(х,y)
можно найти вероятность попадания с.
т. (X,Y)
в пределы прямоугольника R
,ограниченного абсциссами (
)
и ординатами (
).
P{(X,Y)
R}=F(
)-F(
)-F(
)+F(
).
(Здесь вероятность попадания в квадрат
с вершиной в т. (
)
вычли дважды, поэтому ее нужно прибавить)
1.2 Плотность распределения двух случайных величин
Плотность распределения случайных величин (X ,Y) определяется соотношением
,
если предел существует.
Свойства плотности распределения вероятностей:
,
;
;
;
,
,
где
и
- плотности распределения случайных
величин X
и Y;
Графически плотность распределения вероятностей можно представить как некоторую поверхность над плоскостью X0Y.
В
ведение
плотности вероятностей двух случайных
величин позволяет определить математическое
ожидание функции двух случайных величин
g(X,Y):
В частности , если g(X,Y)=XY, то
.
1.3 Условные функция распределения и плотность распределения
вероятностей
Подобно случайным событиям случайные величины подразделяются на зависимые и независимые, но определение здесь имеет несколько иной характер. Из здравого смысла ясно, что отклонение индуктивности колебательного контура (одна случайная величина) и емкости (другая случайная величина) от номинального значения вследствие дефектов в их производстве – есть независимые случайные величины. Также независимы напряжения помех, проникающих от двух или нескольких независимых (разных) источников.
Две случайные величины называются зависимы, если закон распределения вероятностей одной из них меняется в зависимости от того, какое значение приняла другая.
Степень зависимости может быть разной. Одна может быть жесткой – например, шумовое напряжение на сопротивлении R принимает значение u, то ток равен
.
В других случаях зависимость между случайными величинами является менее определимой . Между двумя крайними случаями – функциональной зависимости и полной независимости двух случайных величин – существует бесконечное множество промежуточных ситуаций , при которых зависимость так или иначе проявляется. Для зависимых случайных величин вводят понятие условных законов распределения.
По аналогии с функцией распределения вероятностей вводится и условная функция распределения. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х при условии, что событие М произошло, называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше чем, х при условии, что событие М произошло:
.
Если р(М)>0, то условную функцию распределения можно представить, как вероятность того, что совместно случайная величина Х приняла значение меньше х и произошло событие М, деленную на вероятность появления события М, т.е.
.
Условная функция распределения вероятностей обладает всеми свойствами функции распределения:
;
;
-
неубывающая функция;
,
если
.
В качестве примера построения условной функции распределения рассмотрим ситуацию, когда событие М состоит в том, что случайная величина Х примет значение меньше некоторого числа m. Пусть x<m. Запишем
.
Так
как событие
содержит событие, состоящее в том, что
Х примет значение меньше х
,
то
.
Поэтому для
.
Если
,
то событие
содержит событие
,
а значит
.
Итак
.
Условная плотность вероятностей определяется как
при условии существования производной и обладает всеми свойствами плотности вероятностей.
Пусть
у нас имеется случайная величина X
и событие А, состоящее в том, что случайная
величина Y<y,
т.е.
.
Ясно , что
.
Тогда согласно определению условной
функции распределения случайной величины
X
при условии, что Y<y
имеем
.
Аналогично получаем
Если
через событие А обозначить
,
то тогда
если
предел существует.
Условная плотность вероятностей случайной величины X при условии, что случайная величина Y=y по определению равна
Аналогично
Индексы х, у в вышеприведенных формулах часто опускают и условные плотности вероятностей обозначают
.
Из формул
,
можно получить вариант формулы Байеса для непрерывных случайных величин:
.