2. Распределение Пуассона.
Говорят,
что случайная величина Х имеет
распределение
Пуассона,
если её возможные значения: 0,1,2,…m
(бесконечное, но счетное множество
значений), а соответствующие вероятности
выражаются формулой:
(2)
Распределение
Пуассона (2) зависит от одного параметра
а, который является одновременно
математическим ожиданием и дисперсией
случайной величины Х :
;
;
.
Рисунок 8.2- Распределение Пуассона
Многоугольник распределения для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона с параметрами а=0,5; а=1; а=3,5 представлен. на рис. (8.2)
3. Простейший поток событий
На практике пуассоновское распределение связано с простейшим потоком событий. Рассмотрим такую задачу. Пусть на оси Ot (времени) случайным образом возникают точки – моменты появления каких-то однородных событий, например, вызовов на телефонной станции, или приходов посетителей в магазин. Последовательность таких моментов обычно называют “потоком событий”.
Если
поток обладает следующими свойствами:
отсутствием последействия, свойством
стационарности и свойством ординарности,
то он называется простейшим
потоком.
Пусть
-
число событий, возникших за время (0,t),
определим основные свойства простейшего
потока.
Отсутствие
последействия.
Если для двух непересекающихся отрезков
времени
,
число событий возникших на одном из
отрезков, не зависит от того, сколько
их возникло на другом, то такое свойство
потока называется отсутствием
последствия.
Физически эта независимость сводится
к тому, что события появляются на оси
времени в силу случайных
причин ,
индивидуальных для каждого из отрезков
времени. Говорят что будущее потока не
зависит от его прошлого, отсюда и название
“отсутствие последствия”
Свойство
стационарности.
Если обозначить
-
число событий на интервале
,
то вероятность
появления m
событий на интервале
,
зависит от длины интервала
и не зависит от его начала
,
т.е. если мы имеем равные
,
в разных перекрывающих промежутках
времени
;
;
то вероятности появления m
событий будут равны. Из этого следует,
что среднее число событий, появляющихся
в единицу времени, постоянно. Обозначают
его
и называют интенсивностью
потока. Для
стационарного потока
.
Ординарность. Это свойство означает, что события возникают по одиночке, а не группами по 2, 3 и т.д. Точнее, ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события.
Если
поток является простейшим с интенсивностью
,
то случайная величина Х- число событий,
попавших на участок времени длиной
,
распределена по закону Пуассона, с
параметром
;
Если
же интенсивность потока Х не постоянна,
а зависит от времени
,
то вероятность попадания точно
событий на участок длины
,
начинающий в т.
и кончающийся в т.
имеет тоже распределение Пуассона.
,
где
Пример.
На АТС поступает простейший поток
вызовов с
интенсивностью
(вызов/мин). Найти
вероятность того что за 2 мин. поступит
хотя бы один вызов.
Решение. Случайная величина Х- число вызовов за 2 мин – распределена по закону Пуассона с (вызов/мин).
;
;
Практическое занятие №1
Задача 1.
Что вероятнее, попасть в цель 3 раза при 4х выстрелах или 5 при 8 выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле р=0,5?
Решение:
Формула Бернулли
Задача 2.
Устройство состоит из тысячи элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут точно 3 элемента.
Решение: По условию n=1000, k=3, p=0.002. Воспользуемся формулой Пуассона:
;
Задача 3.
Среднее число сообщений, генерируемых терминалом корпоративной сети в одну минуту = 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит в сеть:
а) 4 сообщения; б)менее 4х сообщений; в) не менее 4х сообщений