Если ставить вопрос о появлении события а k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде

Bk = AAA  + +  +
k n-k k n-k k n-k

Число различных слагаемых в правой части этого равенства равно числу испытаний из n по k , поэтому вероятность событий , которую будем обозначать , равна

Последовательность событий образует полную группу независимых событий . Действительно, из независимости событий получаем

Рассмотрим случайную величину Х – число появлений события А в n испытаниях. Она принимает значения 0,1,2…,к,…n. Но как известно, вероятность того, что событие А появится К раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

(1)

Говорят, что с.в. Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения равны 0,1,2…,к, …n, а соответствующие вероятности определяются по формуле (1). . Это название связано с тем, что равно коэффициенту при в разложении бинома

Возникает вопрос, какое максимальное значение принимает , если рассматривать , как функцию от k при фиксированном n? С этой целью рассмотрим отношение

Отсюда следует, что будет больше , если и меньше, если . Если - целое число, то Р_n (m)=Р_n (m-1). Это значит, что в двух точках достигается максимальное по k значение . Исключая эту ситуацию, имеем только одно целое число m, которое заключено в интервале

максимизирующее вероятность	.
	n

Распределение (1) зависит от двух параметров : и .

Рассмотрим числовые характеристики с.в., распределенной по биномиальному закону.

Математическое ожидание числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Очевидно, что общее число Х появлений события А в n испытаниях складывается из числа появления события А в отдельных испытаниях. Поэтому если Х₁ число появлений события А в 1-м испытании, Х₂ число появлений события А во 2-ом, Х_n – в n -ом, то общее число появлений события А в n опытах будет равно:

Тогда , где

- математическое ожидание числа появления события А в i – ом опыте. Определим его

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. Тогда

.

Дисперсия биномиального распределения с параметрами и равна произведению . .

Доказательство. По формуле дисперсии ;

Поскольку Х₁, Х₂,…Х_n независимы, то можно записать.

Определим

;

; с вероятностью и :

; ;

Пример: Передается 5 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью независимо от других искажений. Случайная величина Х – число искаженных сообщений. Построим ряд распределения, определим математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение непосредственно по ряду сравненим с теми, которые получены по формулам.

Решение: Случайная величина Х – число искаженных сообщений распределена по биномиальному закону, под испытанием понимается “передача сообщения”, под “успехом“- его искажение. С. в. принимает значения 0,1,2,3,4,5.

Ряд распределения будет иметь вид:

0	1	2	3	4	5
0,168	0,360	0,309	0,133	0,028	0,02

; ;

;

График распределения с параметрами n=5,p=0,3; k=0,1,2,3,4,5 представлен на рис.8.1

Рисунок 8.1 –Биномиальное распределения