2 Закон распределения случайной величины.
Характеристикой случайного события является мера его объективной возможности появится – вероятность события. Поскольку случайная величина может принимать множество значений, возникает вопрос, как определить вероятность появления того или другого значения с.в.
На этот вопрос отвечает закон распределения с.в.
Определение: Законом распределения с.в. называется всякое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями с.в. и соответствующими вероятностями их появления.
Закон распределения с.в.может иметь различные формы.
Простейшим законом распределения является ряд распределения – одна из форм закона распределения дискретной с.в.
Говорят, что задан закон распределения случайной величины Х или ряд распределения, если заданы все значения случайной величины и вероятности появления этих значений, то есть
-
Х
…
…
,
р
…
…
где
и
.
Если задан ряд распределения случайной величины Х, то с вероятностной точки зрения дискретная случайная величина полностью описана.
Так
как события {
X
= x1
}, { X
= x2
} несовместимы и образуют полную группу
(это вытекает из определения. с.в.) то
сумма всех вероятностей равна 1, т.е.
.Эта
единица (вероятность достоверного
события, которым является пространство
элементарных событий, каким то образом
распределена между значениями с.в.,
отсюда и термин “распределение”.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.
Кроме геометрической интерпретации распределения дискретной с.в. возможна и механическая интерпретация. Это ряд материальных точек на оси абсцисс, имеющих абсциссы и соответственно массы , в сумме образующих единицу.
3. Функция распределения
Если имеется непрерывная случайная величина Х, то описать ее с помощью ряда распределения невозможно, т.к. вероятность принятия ею какого-либо конкретного значения равна нулю. Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения вероятностей.
Функцией распределения вероятностей F(x) или интегральным законом распределения случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х:
Другими словами, функция распределения это вероятность того, что случайная величина Х примет любое значение левее точки с абсциссой х. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Для дискретных величин она имеет ступенчатую структуру.
Из определения функции распределения вероятностей следуют следующие ее свойства:
;
;
не уменьшается при возрастанием х;
Докажем сначала справедливость четвертого утверждения, а затем, пользуясь этим свойством функция распределения, докажем и свойство 3). С этой целью запишем:
Отсюда и получаем искомое свойство. Для
доказательства свойства 3) воспользуемся
доказанным утверждением. Пусть
,
отсюда
.
А
так, как вероятность неотрицательна,
то
.
Примерные графики функций распределения
вероятностей:
Выразим вероятность появления отдельного значения с.в. через функцию распределения (ф.р.). Возьмем любую точку на оси абсцисс и примыкающую к ней область [,).
P(
X
< )
= F()
- F()
Будем
неограниченно приближать т.
к т..
В пределе получим :
.
Значение этого предела зависит от того,
непрерывна функция F(x)
в т.
или терпит разрыв.
Если функция F(x) в т. непрерывна, то предел равен нулю, если же функция F(x) в т. совершаем скачок, то предел равен величине этого скачка. В любом случае вероятность события {X = } равна величине скачка функции распределения в т.. (равен этот скачек нулю или нет).
Если функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения = 0.
Событие {X = } для с.в. X с непрерывной функцией распределения возможно, более того, в результате опыта непременно произойдет одно из этих событий, просто вероятность попадания в каждую из ничтожно мала.
Вероятность попадания с.в. X на участок пропорциональна длине этого участка, но не равна сумме вероятностей попаданий в отдельные точки, потому что теорема сложения вероятностей справедлива для конечного или счетного числа событий.
Функция распределения любой дискретной с.в. есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значением с.в., и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.