3. Показатели безотказности восстанавливаемых объектов

Последовательность наступления отказов восстанавливаемо­го оборудования в процессе функционирования локомотива можно представить в виде следующей модели [6]. Наблюдение за новым (отремонтированным) оборудованием начинается в мо­мент времени t = 0 . После функционирования в тече­ние времени (наработки) τ₁ возникает отказ, затем происходит восстановление или оборудование заменяют новым за время, не­соизмеримо меньшее, чем наработка до отказа τ₂. После нара­ботки τ₂ оборудование отказывает, и снова его ремонтируют или заменяют однотипным работоспособным. Далее процесс разви­вается аналогично. Поскольку все отказы возникают под действи­ем одних и тех же факторов, естественно предположить, что на­работки между отказами τ₁ , τ₂ ,..., τ_i,..., τ_n имеют один и тот же закон распределения F(t) = Р(τ <t).

Моменты отказов t_l = τ₁, t₂= τ_{1 +}τ₂ , ..., t_n = τ_{1 +}τ₂ +...+ τ_n образуют случайный поток, называемый процессом восстанов­ления. Процесс восстановления оборудования локомотивов можно оценивать следующими показателями безотказности: ве­роятностью безотказной работы, средней наработкой на отказ и параметром потока отказов.

Определение параметра потока отказов осуществляется на ос­нове функции восстановления H(t) — среднего числа отказов m(t) одного экземпляра оборудования за наработку t:

H(t) = M{m(t)},

гдеm(t)— число отказов одного объекта за наработку t.

Для опытного определения H(t) наблюдают за N экземпляра­ми однотипного оборудования и фиксируют число отказов каж­дого из них в течение наработки t.

О ценка среднего числа отказов, приходящихся на один экземпляр рассматриваемого оборудования, за на­работкуtопределяется следующим образом:

Модель процесса восстановления

где m_i (t) — число отказов i-го экземпляра оборудования за наработку t.

П о объединенному процессу восстановления, полученному в ре­зультате наложения N процессов конкретных экземпляров оборудо­вания, можно графически представить функцию среднего числа отка­зов одного экземпляра оборудования за время t (рис. 1.24). Зависи­мость m(t) представляет собой ступенчатую линию, величина сохраняет постоянное значение в промежутке между отказами от­дельных экземпляров оборудования и возрастает скачком на 1/N в момент очередного отказа. Чем большее число экземпляров одно­типного оборудования будет поставлено под наблюдение, тем мень­ше будет интервал наработки Δt между соседними отказами и мень­ше окажется скачок 1/N. В пределе при N→∞ —ступенчатая линия стремится к некоторой непрерывной и плавной кривой H(t), кото­рая и является ведущей функцией процесса восстановления, т.е.

П о функции восстановления определяется параметр потока от­казов оборудования:

который характеризует скорость нарастания числа отказов при различных значениях наработки.

Параметр потока отказов оценивается по статистическим дан­ным с помощью выражения:

Статистические оценки функции восстановления в моменты t и t+ Δt определяются по формуле:

где m_i(t)и m_i(t+ Δt) — число отказов i-го объекта за наработку t и (t+ Δt) соответственно.

Подставив получим:

Поскольку числитель дроби представляет собой Δm — число отказов всех рассматриваемых объектов в интервале Δt, то окончательное выражение статистической оценки параметра по­тока отказов имеет вид:

О ценку параметра потока отказов целесообразно осуществлять на основе информации о наработках между отказами оборудова­ния локомотивов, обусловленными какой-либо конкретной при­чиной (например, перебросы по коллектору, ползуны колесных пар и т.п.). Для этого по наработкам между отказами отдельных экземпляров оборудо­вания строят объеди­ненный процесс восста­новления.

Функция восстановления

Период наблюдения за объединенным про­цессом восстановления разбивают на более мелкие интервалы Δt. По числу отказов Δm в каждом интервале наработки Δt определяют оценку параметров потока отказов w*(t) по формуле.

Диаграмма распределения оценки параметра потока отказов по интервалам наработки

Р езультаты наблюдений оформляют в виде таблицы , и они могут быть представлены в графической форме ). Оценка параметров потока отказов в i-ом интервале наработки рассчитывается по формуле :

Таблица7

П ри N→∞ ширина интервала Δt→0 и ступенчатая линия w*(t) превращается в гладкую кривую w(t).

Измерение параметра потока отказов по мере увеличения наработки

Обычно параметр потока отказов в зависимости от на­работки изменяется, как пока­зано на рисунке.

Ilo зависимости w(t) можно рассчитать остальные показатели не безотказности восстанавливаемого оборудования — вероятность безотказной работы P(t) и среднюю наработку на отказ Т.

Взаимосвязь между показателями безотказности

11ри условии, что замена или восстановление отказавшего обо­рудования происходит мгновенно, процесс отказов можно пред­ставить в следующем виде. Допустим, что из N экземпляров од­нотипного оборудования, работоспособного в момент времени t, и интервале наработки Δt отказало Δm экземпляров .

Число экземпляров отказавшего оборудования Δm складыва­ется из:

Δm₁ — число экземпляров оборудования, ни разу не отказав­шего в интервале [0, t],— так называемые первичные отказы;

Δm₂ — число экземпляров оборудования, отказавшего в ин­тервале [0, t], восстановленного и вновь отказавшего в интерва­ле [t,t+Δt];

Δm= Δm₁ + Δm₂.

Общее число отказов в интервале [t,t+ Δt] по формуле находится так:

Δm = Nw(t)Δt

Вероятность отказов оборудования

где w(t) — параметр потока отказов.

Так как Δm₁ экземпляров оборудования ни разу не отказали в интервале от 0 до t ,то Δm₁ можно опреде­лить через функцию плот­ности распределения нара­ботки между отказами f(t) как для невосстанавливае-мого оборудования:

Δm₁ = Nf(t)ΔtДля определения числа экземпляров отказавшего оборудования Δm₂ выберем такой интервал Δτ, в течение которого вероятность от­каза каждого из Δm₂ экземпляров более одного раза является величи­ной бесконечно малой по сравнению с вероятностью одиночного от­каза. Интервал [τ, τ + Δτ] лежит внутри промежутка [0, t]. В течение этого интервала отказало и заменено на новое (или полно­стью восстановлено) Nw(τ)Δτ экземпляров оборудования. Из их чис­ла в интервале [t, t + Δt] вновь откажут, т.е. будут иметь повторный отказ ΔК экземпляров. Ведя отчет наработки элементов, отказавших в интервале Δτ, от момента τ, находим вероятность их повторного от­каза в интервале Δt как f(t- τ)Δt; поэтому ΔК = Nw(τ)Δτf(t - τ)Δt.

С уммируя ΔК по всем τ в интервале [0; t], получаем, что из числа уже отказавших и восстановленных до момента t экземп­ляров оборудования в интервале [t, t + Δt] повторному отказу будет подвержено Δm₂ экземпляров:

Подставив в выражение соответствующие выражения для Δm, Δm₁, Δm₂, получим:

После деления обеих частей выражения на NΔt получа­ем интегральное уравнение:

У равнение не всегда удается решить аналитически. Если существуют преобразования Лапласа w(S) и f(S),то в операторной форме параметр потока отказов и функция плотности распределе­ния наработки между отказами выражается следующим образом:

Аналитическое решение уравнения существует для нормаль­ного распределения наработки между отказами и распределения Эрнанга. Для других законов распределения решение уравнения не записывается в аналитических выражениях. Поэтому при реше­нии практических задач, в основе которых лежит обработка первич­ной статистической информации, уравнение целесообразно ин-итрировать численными методами. При этом как до, так и после вы­полнения расчетов функции w(t) и f(t)оказываются заданными в виде дискретного ряда w(i) и f(i). Произведем замену t на L, а τ на l. Вве­дем обозначение для подинтегральной функции :

F(L, l)= w(l)f(L- l).

В дискретной форме, после замены переменной L на п, а l на i выражение записывается в виде:

F(n, i) = w(i)f(n - i)

При n = 0 из уравнения получаем w₀=f₀.

Е сли n = 1, то, применив численный метод интегрирования — метод трапеций , получим:

где h— шаг интегрирования.

Уравнение для этого случая записывается в виде:

(1.66)

При n= 2 имеем :

В этом случае уравнение принимает вид:

(1.67)

В общем случае для произвольного числа п имеем :

Из выражения (1.62) получаем:

(1.68)

Пояснения к численному решению интегрального уравнения при n=1; n=2 общий случай

Таким образом имеем следующую систему уравнений:

Cистема позволяет по известному дискретному ряду зна­чений плотности распределения наработок на отказ f_i найти ряд значений параметра потока отказов w_i:

Если известен ряд значений параметра потока отказов со, то по системе уравнений можно осуществить обратное реше­ние интегрального уравнения и определить ряд значений плотности распределения наработки на отказ:

Применение метода конечных разностей при расчете парамет­ра потока отказов является предпочтительным, особенно для случаев, когда вид закона распределения наработки между отка­зами априори неизвестен и определить его невозможно.

Блок-схема программы решения интегрального уравнения численным методом представлена на рисунке.

Для «прямого» решения уравнения по рекуррентным формулам переменной z задается значение, равное 1. При «обратном» решении по формулам z= 2.

Д ля нормального закона распределения случайной величины су­ществует аналитическое решение интегрального уравнения :

где m и σ — соответственно математическое ожидание и среднее квадра­тическое отклонение случайной величины (наработки между отказами);

l— значение наработки;

i— номер отказа от начала наблюдения.

В результате вычисления w(l) по выражению установлено, что при i > 10 значение w(l) практически не изменяется с увеличением l. На рисунке представлены результаты расчета параметра потока отказов типичного оборудования электровозов, реализованные численным методом решения уравнения , изложенным выше, и аналити­чески по формуле при i = 10. Вычисление значений параметра потока отказов численным методом осуществлялось с шагом h= Δl = 1 тыс. км. Выбор такого шага объясняется тем, что межремон­тные пробеги локомотивов определены соответствующими докумен­тами с точностью до 1 тыс. км, а наработки на отказ оборудования тоже, как правило, округляются до 1 тыс. км. Поэтому выбранный шаг интегрирования позволяет получить максимально возможную степень приближения результатов к аналитическому решению.

Сопоставление результатов расчета параметра потока отказов , проведенное двумя методами, свидетельствует о практичес­ком совпадении вплоть до второго отказа. Так как основной задачей является предотвращение первого отказа, до которого функции, по­лученные в результате численного и аналитического решения совпа­дают, то точность численного метода можно считать достаточной.

Обычно на практике по статистическим данным об отказах рас­считываются оценки параметра потока отказов в различных интер­валах наработки Δl, а по ним, решая интегральное уравнение

Блок-схема программы решения интегрального уравнения

Результаты расчёта потока отказов оборудования при m=94тыс.км. σ=13 тыс.км. методом конечных разностей(сплошная линия) и аналитическим (штриховая)

определяют плот­ность распределения наработки между отказами в виде дискретно­го ряда f₀, f₁, ...,f_n„. Интегрируя функцию f(l) определяют вероят­ность отказов Q(l) и находят ве­роятность безотказной работы: P(l) =1 - Q(l) а затем, интегри­руя функцию Р(l) в пределах от 0 до ∞ находят среднее значение наработки на отказ.

Изложенные алгоритмы рас­чета показателей безотказнос­ти восстанавливаемых объек­тов реализованы при решении следующих задач