4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения

множеств в качестве первоначального результирующего отношения предпочтения целесообразно выбрать. rðåç r

Необходимо отметить, что применение паретовских результирующих отношений предпочтения для ряда задач может привести к выделению слишком большого множества эффективных альтернатив. По этой и ряду других причин на практике осуществляют переход к лексикографическим методам построения результирующих отношений предпочтения. При указанном подходе задание

набора ранжированных по важности критериальных функций f1,f2,…,fm позволяет не только выделить некоторые альтернативы x в качестве оптимальных, но и упорядочить все альтернативы из множества s по степени предпочтительности подобно тому, как располагает слова при составлении словаря. Поэтому данное отношение предпочтения часто называют лексикографическим (от греческого — словарь + — пишу), а многокритериальные задачи со строго упорядоченными по важности критериями — лексикографическими задачами.

SPIIRAS

51

4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения

В выражении (4.35) запись вида Arg max f (x) обозначает множество элементов,

x

в которых достигается максимум некоторой функции f(x), x . Для обозначения

Следует подчеркнуть, что хотя рассматриваемая процедура оптимизации имеет определенное сходство с процедурой последовательного сужения ядер, основанной на методах ЭЛЕКТРА, на самом деле существуют принципиальные отличия между двумя указанными подходами.

SPIIRAS

53

4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения

Главное из этих отличий состоит в том, что в определении множества Парето и

отыскание ядра отношения предпочтения rрез. В общем случае процедура лексикографической оптимизации может оказаться неустойчивой, т.к. даже незначительные изменения исходных данных могут привести к нахождению альтернатив, для которых соответствующие значения всех критериальных функций (кроме первой наиболее предпочтительной функции) сильно

f1(x), на исходном множестве s может содержать единственную альтернативу:

x* arg max f (x) (1)

1 . В данной1 ситуацииs теряется возможность оптимизации по

x s

другим критериальным функциям. Поэтому для расширения возможностей применения лексикографических методов многокритериальной оптимизации вводится интервальный лексикографический порядок (см. формулу (4.24)).

SPIIRAS

54

4.4. Методы покомпонентного построения результирующих отношений предпочтения

Последний результат и является окончательным решением исходной задачи многокритериального выбора. Рассмотренный метод (алгоритм) в теории многокритериальной оптимизации получил название метода (алгоритма) последовательных уступок. В самом деле, приведенным соотношениям может быть дана следующая интерпретация: вначале проводится оптимизация

Чем меньше уступки по предшествующим показателям, тем меньше возможности улучшения последующих показателей. В то же время, очевидно,

fi ниже минимальных значений, принимаемых этими функциями во множестве Парето.

Таким образом, метод последовательных уступок целесообразно применять для решения тех задач, в которых все показатели качества естественным образом упорядочены по важности, причем каждый показатель настолько более важен, чем последующий, что можно ограничиться только их попарной связью и выбирать величину допустимого снижения очередного показателя с учетом поведения лишь одного следующего показателя.

SPIIRAS

56

4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей

Сущность данных методов многокритериальной оптимизации состоит в построении такого результирующего отношения предпочтения rðåçk (в частности, результирующей целевой функции f ðåçk ), на основе которого возможно прямое выделение во множестве s оптимальной в некотором смысле альтернативы x*. В связи с этим данные методы называют еще и прямыми методами

векторной оптимизации. В общем случае при реализации указанных методов

~

выделяется некоторое подмножество альтернатив s s , относительно которых нельзя однозначно сказать о том, что они являются

паретооптимальными. Поэтому на втором этапе реализации данных методов

~ ~

необходимо проводить проверку выделенных альтернатив x s на паретооптимальность с использованием условий, перечисленных ранее в п.4.2.2, 4.2.3. Указанная особенность приводит к тому, что многие из прямых методов векторной оптимизации по существу совпадают с некоторыми из методов определения точек во множестве Парето (см. п.4.2.3).

SPIIRAS

57

4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей

При применении прямых методов часто осуществляется модификация функций fi(x), i как в интересах приведения всех функций к однородному (нормализованному) виду, так и в целях видоизменения содержательного характера этих функций. Данная модификация необходима, т.к. в большинстве случаев масштабы измерения критериальных функций fi(x) неодинаковы и

С учетом введенных обозначений основные виды модификаций могут быть представлены следующим образом:

SPIIRAS

59

4.5. Методы построения результирующих отношений предпочтения на основе свертки показателей

С учетом введенных обозначений основные виды модификаций могут быть представлены следующим образом:

В дальнейшем будем обозначать модифицированные функции через ~i ( ) . f x

В качестве первых примеров свертки, используемых в прямых методах векторной оптимизации, рассмотрим следующие варианты задания результирующих функций выбора

SPIIRAS

60