Дискретная математика
.pdf
g l a w a 1 algebra logiki
x1. wYSKAZYWANIQ. oPERACII DIZ_@NKCII, KON_@NKCII I OTRICANIQ
wYSKAZYWANIEM BUDEM S^ITATX POWESTWOWATELXNOE PREDLOVENIE, QWLQ@]EESQ LIBO ISTINNYM, LIBO LOVNYM. mY NE BUDEM RASSMATRIWATX WYSKAZYWANIQ S TO^KI ZRENIQ IH SODERVANIQ I FAKTI^ESKI BUDEM OTOVDESTWLQTX WYSKAZYWANIE S EGO ISTINNOSTNOSTNYM ZNA- ^ENIEM. pROIZWOLXNYE WYSKAZYWANIQ BUDEM OBOZNA^ATX BUKWAMI a , b , c , : : : . zNA^ENIE "ISTINA" OBOZNA^AETSQ ^EREZ 1 ILI true, A ZNA- ^ENIE "LOVX" - ^EREZ 0 ILI .
oPREDELENIE 1. wYSKAZYWANIQ a I b NAZYWA@TSQ RAWNOSILXNYMI, OBOZNA^AETSQ a = b , ESLI ONI OBA ISTINNY, LIBO OBA LOVNY.
sWOJSTWO 1. a = a .
sWOJSTWO 2. eSLI a = b , TO b = a . sWOJSTWO 3. eSLI a = b I b = c , TO a = c .
oPREDELENIE 2. kON_@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE " a I b ", KOTOROE QWLQETSQ ISTINNYM LI[X KOGDA KAVDOE IZ WYSKAZYWANIJ a; b QWLQETSQ ISTINNYM. oBOZNA^AETSQ
KON_@NKCIQ TAK: ab , a ^ b , a & b , a and b . |
|
|
|
|
|||
zNA^ENIQ KON_@NKCII OTRAVENY W TABL. 1. pOLXZUQSX \TOJ TAB- |
|||||||
LICEJ LEGKO DOKAZATX SLEDU@]IE SWOJSTWA. |
|
|
|
|
|||
sWOJSTWO 4. |
a |
0 = 0 . |
|
tABLICA 1 |
|||
sWOJSTWO 5. |
|
1 = a . |
a |
b |
ab |
a _ b |
|
a |
|||||||
|
|
|
|||||
sWOJSTWO 6. |
a |
a = a | IDEMPOTENTNOSTX. |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
||||
sWOJSTWO 7. |
a b = b a | KOMMUTATIWNOSTX. |
||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
||||
sWOJSTWO 8. |
a(bc) = (ab)c | ASSOCIATIW- |
||||||
NOSTX. |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n
kON_@NKCI@ a1 a2 : : : an MOVNO OBOZNA^ITX TAK: V ai .
i=1
oPREDELENIE 3. dIZ_@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE " a ILI b ", KOTOROE ISTINNO, ESLI HOTQ BY ODNO IZ
WYSKAZYWANIJ a; b |
QWLQETSQ ISTINNYM, ^TO I OTRAVENO W TABL. 1. |
||||||||||||
oBOZNA^AETSQ ZNA^ENIE DIZ_@NKCII TAK : |
a _ b , |
a or |
b . |
|
|
|
|||||||
sWOJSTWO 9. |
a _ 0 = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sWOJSTWO 10. |
a |
_ 1 = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sWOJSTWO 11. a |
_ a = a | IDEMPOTENTNOSTX. |
|
|
|
|
|
|
||||||
sWOJSTWO 12. a |
_ b = b _ a | KOMMUTATIWNOSTX. |
|
|
|
|
||||||||
dOKAZATELXSTWA SWOJSTW 9 { 12 NEPOSREDSTWENNO POLU^A@TSQ IZ |
|||||||||||||
OPREDELENIQ DIZ_@NKCII. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sWOJSTWO 13. |
a |
_ (b |
_ c) = (a _ b) _ c |
| ASSOCIATIWNOSTX. |
|||||||||
dOKAZATELXSTWO. sDELAEM RAZBOR SLU^AEW PO PEREMENNOJ b ; DLQ |
|||||||||||||
\TOGO NAJDEM ZNA^ENIQ LEWOJ ^ASTI ( LP ) I PRAWOJ ^ASTI ( RP ) DLQ |
|||||||||||||
b = 0 I DLQ b = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pUSTX b = 0 , TOGDA LP = a _ (0 |
_ c) = a _ c , RP = (a _ 0) _ c = |
||||||||||||
= a _ c ; OTS@DA SLEDUET, ^TO LP = RP . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
pUSTX b = 1 , TOGDA LP = a_(1_c) = a_1 = 1 , RP = (a_1)_c = |
|||||||||||||
= 1 _ c = 1 ; OTS@DA SLEDUET, ^TO LP = RP . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
iTAK, W KAVDOM IZ DWUH WOZMOVNYH SLU^AEW, ZNA^ENIQ LEWOJ I |
|||||||||||||
PRAWOJ ^ASTEJ SWOJSTWA 13 SOWPADA@T, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. |
|||||||||||||
sWOJSTWO 14. |
a(b _ c) = ab _ ac . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sWOJSTWO 15. |
a |
_ bc = (a _ b)(a _ c) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dOKAVEM SWOJSTWO |
15. w |
|
|
|
tABLICA 2 |
|
|
|
|||||
TABL. 2 DLQ WSEH WOZMOV- |
a |
b |
c |
a _ bc |
|
(a |
_ b) |
(a _ c) |
|
||||
NYH ZNA^ENIJ |
|
|
PRIWO- |
|
|
|
|
|
|
||||
a; b; c |
0 |
0 |
0 |
0 0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|||
DQTSQ REZULXTATY WYPOLNENIQ |
0 |
0 |
1 |
0 0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|||
OPERACIJ _ I |
^ |
W LEWOJ I |
0 |
1 |
0 |
0 0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
PRAWOJ ^ASTQH DANNOJ FOR- |
0 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
MULY. sTOLBCY, WYDELENNYE |
1 |
0 |
0 |
1 0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
VIRNYM [RIFTOM, QWLQ@TSQ |
1 |
0 |
1 |
1 0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
ITOGOWYMI ZNA^ENIQMI LEWOJ |
1 |
1 |
0 |
1 0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
I PRAWOJ ^ASTEJ I, POSKOLX- |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
KU \TI STOLBCY ODINAKOWY, TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
SWOJSTWO 15 DOKAZANO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
dIZ_@NKCI@ a1 _ a2 _ : : : _ an MOVNO OBOZNA^ITX TAK: |
i=1 ai . |
oPREDELENIE 4. oTRICANIEM WYSKAZYWANIQ a NAZYWAETSQW WY-
SKAZYWANIE "NEWERNO, ^TO a ", KOTOROE ISTINNO LI[X KOGDA a LOVNO, ^TO I OTRAVENO W TABL. 3. oBOZNA^AETSQ ZNA^ENIE OTRICANIQ TAK: a , q a , not a .
sWOJSTWO 16. |
a _ |
a |
= 1 | ZAKON ISKL@^ENNOGO TRETXEGO. |
||||||||||||||||||||||||
sWOJSTWO 17. |
a |
|
= 0 | ZAKON PROTIWORE^IQ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sWOJSTWO 18. |
|
= a . |
tABLICA 3 |
||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||
sWOJSTWO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
a1 _ a2 _ : : : _ an = a1 a2 : : : an . |
|
a |
|
a |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sWOJSTWO |
|
|
0 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
a1a2 : : : an = a1 _ a2 _ : : : _ an . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
sWOJSTWA 19 I 20 NAZYWA@TSQ ZAKONAMI DE mORGA- |
|
1 |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NA. pRIWEDEM DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 20.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
a1 = 1; |
, 8 |
a |
1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 , a1a2 : : : an = 1 , |
|
|
|
|
, |
||||
|
a1 a2 : : : an |
: : : |
: : : |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< an = 1: |
< |
|
n = 0: |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||
, |
|
1 _ |
|
2 _ : : : _ |
|
n = 0 . |
: |
|
: |
|
|
|
|
||
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
||||||||
x2. oPERACII IMPLIKACII, \KWIWALENCII I SUMMY PO MODUL@ 2
oPREDELENIE 1. iMPLIKACIEJ WYSKAZYWANIJ a I b NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "ESLI a , TO b " ILI "IZ a SLEDUET b ", KOTOROE LOVNO LI[X KOGDA a ISTINNO, NO b LOVNO; OBOZNA^AETSQ IMPLIKACIQ TAK: a ! b , WYSKAZYWANIE a NAZYWAETSQ POSYLKOJ, b | ZAKL@^ENIEM. zNA^ENIQ IMPLIKACII PRIWEDENY W TABLICE 4.
sWOJSTWO 1. a ! b = a _ b | PRAWILO ISKL@^ENIQ IMPLIKACII. dOKAZATELXSTWO DANO W TABL. 4.
oPREDELENIE 2. |KWIWALENCIEJ WYSKAZYWANIJ a I b , OBOZNA- ^AETSQ ^EREZ a b , NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE " a \KWIWALENTNO b ", KOTOROE ISTINNO TOLXKO, KOGDA a = b , ^TO I OTRAVENO W TABL. 5.
sWOJSTWO 2. a b = a b _ a b | PRAWILO ISKL@^ENIQ \KWIWALENCII. dOKAZATELXSTWO DANO W TABL. 5.
a b = (a ! b)(b ! a) .
dOKAZATELXSTWO. pREOBRAZUEM PRAWU@ ^ASTX RAWENSTWA:
(a ! b)(b ! a) = (a _ b)(b _ a) = ab _ aa _ bb _ ab = ab _ ab = a b .
3
oPREDELENIE 3. sUMMOJ PO MODUL@ 2 WYSKAZYWANIJ a I b , OBOZNA^AETSQ a b , NAZYWAETSQ WYSKAZYWANIE "ILI a , ILI b ", KOTOROE ISTINNO, KOGDA ROWNO ODNO IZ \TIH WYSKAZYWANIJ QWLQETSQ ISTINNYM (SM. TABL. 5).
tABLICA 4
|
|
a ! b |
|
|
_ b |
a |
b |
|
a |
||
|
|
|
|
||
0 |
0 |
1 |
1 1 0 |
||
0 |
1 |
1 |
1 1 1 |
||
1 |
0 |
0 |
0 0 0 |
||
1 |
1 |
1 |
0 1 1 |
||
tABLICA 5
|
a b |
a b _ |
|
b |
a b |
||
a b |
a |
||||||
0 |
0 |
|
|||||
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sWOJSTWO 4. x y = x y .
dOKAZATELXSTWO \TOGO SWOJSTWA NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ OPREDELENIQ \KWIWALENCII I SUMMY PO MODUL@ 2 (SM. TABL. 5).
sWOJSTWO 5. a b = a b _ a b | PRAWILO ISKL@^ENIQ SUMMY PO MODUL@ 2.
dOKAZATELXSTWO. iSPOLXZUQ SWOJSTWO 4, POLU^AEM a b = a b =
= ab _ ab = ab ab = (a _ b)(a _ b) = aa _ ab _ ab _ bb = ab _ ab .
sWOJSTWO 6. x 1 = x . sWOJSTWO 7. x x = 0 . sWOJSTWO 8. x y = y x .
dOKAZATELXSTWO SWOJSTW 6 - 8 MOVNO PROWESTI ISPOLXZUQ PRAWILO ISKL@^ENIQ SUMMY PO MODUL@ 2.
sWOJSTWO 9. x (y z) = (x y) z .
dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 9 MOVNO PROWESTI METODOM ISTINNOSTNYH TABLIC. zAMETIM, ^TO OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA ISTINNY, ESLI IMEETSQ NE^ETNOE ^ISLO SLAGAEMYH, RAWNYH 1; W OSTALXNYH SLU^AQH OBE ^ASTI RAWENSTWA LOVNY.
sWOJSTWO 10. x(y z) = xy xz .
dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 10 LEGKO PROWESTI METODOM RAZBORA SLU^AEW PO PEREMENNOJ x .
x3. pROPOZICIONALXNYE FORMULY, BULEWY FUNKCII I IH KOLI^ESTWO
oPREDELENIE 1. pROPOZICIONALXNOJ FORMULOJ (pf) NAZYWAET-
4
SQ FORMULA, SOSTAWLENNAQ IZ LOGI^ESKIH KONSTANT 0 I 1, LOGI^ESKIH PEREMENNYH, PRINIMA@]IH \TI ZNA^ENIQ 0 I 1, S POMO]X@ SKOBOK I ZNAKOW LOGI^ESKIH OPERACIJ.
dLQ UMENX[ENIQ KOLI^ESTWA SKOBOK USTANAWLIWA@T SLEDU@]IE PRIORITETY DLQ LOGI^ESKIH SWQZOK:
q WYPOLNQETSQ W PERWU@ O^EREDX; ^ | WO WTORU@ O^EREDX;
_; ; !; | W TRETX@ O^EREDX.
pRIMER 1. (( q x) ! (y (xz))) ( q y) = (x ! (y xz)) y . dLQ PROPOZICIONALXNOJ FORMULY A(x1; x2; : : : ; xn) MOVNO SO-
STAWITX ISTINNOSTNU@ TABLICU EE ZNA^ENIJ DLQ WSEH NABOROW ZNA- ^ENIJ LOGI^ESKIH PEREMENNYH x1; x2; : : : ; xn . |TA TABLICA IMEET 2n STRO^EK. zNA^ENIQ PEREMENNYH ZAPISYWA@T PEREWODQ ^ISLA 0; 1; 2; : : : ; 2n ; 1 W DWOI^NU@ SISTEMU S^ISLENIQ W PORQDKE IH WOZRASTANIQ (SM. TABL. 1 | 5).
oPREDELENIE 2. fUNKCIQ y = f(x1; x2; : : : ; xn) NAZYWAETSQ BU-
2 f0; 1g PRI i = 1; 2; : : : ; n , y 2 f0; 1g . bULEWY FUNKCII MOVNO ZADAWATX ISTINNOSTNYMI TABLICAMI, A
TAKVE UKAZYWATX PRAWILO IH WY^ISLENIQ S POMO]X@ PROPOZICIONALXNYH FORMUL.
tEOREMA O KOLI^ESTWE BULEWYH FUNKCIJ. iMEETSQ 22n RAZ-
LI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH.
dOKAZATELXSTWO. eSLI FUNKCIQ IMEET n PEREMENNYH, TO W EE ISTINNOSTNOJ TABLICE IMEETSQ 2n STRO^EK. pOSKOLXKU W KAVDOJ STRO^KE BULEWA FUNKCIQ MOVET PRINIMATX DWA ZNA^ENIQ 0 I 1, TO WSEGO IMEETSQ 22n RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH. w TABL. 6 PRIWEDENY WSE 16 BULEWYH FUNKCIJ OT DWUH PEREMEN-
NYH a I b .
eSLI BULEWA FUNKCIQ OT n PEREMENNYH ZADANA STANDARTNOJ TABLICEJ, STRO^KI KOTOROJ QWLQ@TSQ DWOI^NYMI ^ISLAMI, RASPOLOVENNYMI W PORQDKE WOZRASTANIQ OT 0 DO 2n ;1 , TO DOSTATO^NO UKAZATX STOLBEC ZNA^ENIJ FUNKCII. |TOT STOLBEC MOVNO NAPISATX CELIKOM, ODNAKO ^ASTO UKAZYWA@T NOMERA STRO^EK, NA KOTORYH FUNKCIQ ISTINNA. nAPRIMER, MOVNO NAPISATX
ILI f(a; b; c) = (0; 2; 3; 6;7) .
5
oPREDELENIE 3. pEREMENNAQ xi NAZYWAETSQ SU]ESTWENNOJ DLQ FUNKCII y = f(x1; x2; : : : ; xn) , ESLI MOVNO UKAZATX TAKIE ZNA^ENIQ
x |
, : : : , x |
1 |
, |
x |
, : : : , x OSTALXNYH PEREMENNYH, ^TO |
||||||
1 |
i |
|
|
i+1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
f(x ; : : :;; x |
|
; 0; x |
; : : : ; x ) = f(x |
; : : : ; x |
; 1; x |
; : : : ; x ) . |
||||
|
1 |
|
i;1 |
|
i+1 |
n 6 |
1 |
i;1 |
i+1 |
n |
|
pEREMENNAQ xi |
NAZYWAETSQ FIKTIWNOJ (NESU]ESTWENNOJ), ESLI |
||||||||||
|
f(x1; : : : ; xi;1; 0; xi+1; : : : ; xn) = f(x1; : : : ; xi;1; 1; xi+1; : : : ; xn) |
||||||||||
DLQ L@BYH ZNA^ENIJ OSTALXNYH PEREMENNYH. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tABLICA 6 |
|
|
||
a b |
f0 |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
f5 |
f6 |
f7 |
f8 |
f9 |
f10 |
f11 |
f12 |
f13 |
f14 |
f15 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pRIMER 2. fUNKCII f0 I f15 W TABL. 6 WOOB]E NE IME@T SU]ESTWENNYH PEREMENNYH { \TO KONSTANTY; f3 , f5 , f10 I f12 IME@T ODNU SU]ESTWENNU@ I ODNU FIKTIWNU@ PEREMENNU@, A OSTALXNYE FUNKCII IME@T DWE SU]ESTWENNYE PEREMENNYE.
x4. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ MNOGO^LENAMI vEGALKINA
oPREDELENIE |
1. bUDEM S^ITATX, ^TO |
x = |
|
|
x; |
|
ESLI |
= 1; |
|||||||
|
|
|
|
|
ESLI |
= 0: |
|||||||||
|
|
x; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sWOJSTWO 1. x |
= 1 , x = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
= 0 |
, x = . |
|
|
|
|
|||||||
dOKAZATELXSTWO LEGKO PROWODITSQ RAZBOROM SLU^AEW PO PEREMEN- |
|||||||||||||||
NOJ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oPREDELENIE 2. pOLNOJ \LEMENTARNOJ KON_@NKCIEJ PEREMEN- |
|||||||||||||||
NYH x1; x2; : : : ; xn |
NAZYWAETSQ WYRAVENIE |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K(x1 ; x2; : : : ; xn) = x 1 x 2 : : : x n = |
|
|
|
|
x i |
: |
(1) |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|||
eSLI W (1) NEKOTORYE SOMNOVITELI OTSUTSTWU@T, TO GOWORQT |
|||||||||||||||
PROSTO OB \LEMENTARNOJ KON_@NKCII. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sWOJSTWO 2. K(x1; x2; : : : ; xn) = 1 , xi = i |
|
DLQ WSEH ZNA^ENIJ |
|||||||||||||
i = 1; 2; : : : ; n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oPREDELENIE 3. mNOGO^LENOM vEGALKINA OT x1; x2; : : : ; xn NAZYWAETSQ PROPOZICIONALXNAQ FORMULA WIDA
6
|
|
n |
|
|
n n |
|
|
|
P |
|
P P |
|
|
g(x1; x2 ; : : : ; xn) = c0 i=1 cixi i=1 j=i+1 cijxixj |
|
|||||
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
P P |
P |
|
cijkxixj xk : : : c12:::nx1x2 |
: : : xn; |
|
|
i=1 j=i+1 k=j+1 |
|
|
|||
GDE KO\FFICIENTY c0 , |
ci , |
cij ; : : : 2 f0; 1g . |
|
|||
pRIMER 1. oB]AQ FORMULA MNOGO^LENA vEGALKINA OT TREH PEREMENNYH a , b , c WYGLQDIT TAK:
g(a; b; c) = C0 C1a C2b C3c C12ab C13ac C23bc C123abc:
tEOREMA O REALIZACII BULEWOJ FUNKCII MNOGO^LENOM
vEGALKINA. dLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII f(x1; x2; : : : ; xn) |
IME- |
|||||
ET MESTO FORMULA |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x1; x2 ; : : : ; xn) = |
|
f( 1 |
; : : : ; n)x 1 x 2 |
: : : x n ; |
(2) |
|
|
|
|
|
1 2 |
n |
|
|
1;::: ; n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
W KOTOROJ SUMMIROWANIE OSU]ESTWLQETSQ PO MODUL@ 2. |
|
|||||
dOKAZATELXSTWO. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH |
x1; x2 ; : : : ; xn |
|||||
KON_@NKCIQ x 1 x 2 |
: : : x n |
ISTINNA, SOGLASNO SWOJSTWU 2, LI[X KOG- |
||||
1 2 |
n |
|
|
|
|
|
DA i = xi DLQ WSEH ZNA^ENIJ i = 1; 2; : : : ; n . sLEDOWATELXNO, W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (2) MOVET BYTX OTLI^NO OT 0 TOLXKO ODNO
SLAGAEMOE f(x1; x2 ; : : : ; xn)xx11 xx22 : : : xxnn , RAWNOE f(x1 ; x2; : : : ; xn) .
tEOREMA DOKAZANA.
eSLI FUNKCIQ f(x1; x2 ; : : : ; xn) NE RAWNA TOVDESTWENNO 0, TO FORMULU (2) MOVNO PEREPISATX TAK:
f(x1; x2; : : : ; xn) = |
|
x 1 x 2 : : : x n : |
(3) |
||
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
f( 1;::: ; n)=1 |
|
|
|
|
|
X |
|
WY^ISLQ@]EGO ZNA^E- |
||
dLQ POLU^ENIQ MNOGO^LENA vEGALKINA, |
|||||
NIQ FUNKCII f , DOSTATO^NO W FORMULE (2) ILI (3) |
WMESTO x0 |
, RAW- |
|||
|
|
|
|
i |
|
NOGO xi , PODSTAWITX (xi +1) , ZATEM RASKRYTX WSE SKOBKI I PRIWESTI PODOBNYE ^LENY.
eSLI BULEWA FUNKCIQ ZADANA S POMO]X@ FORMULY, TO DLQ NAHOVDENIQ EE MNOGO^LENA vEGALKINA DOSTATO^NO WYPOLNITX SLEDU@]IE PREOBRAZOWANIQ.
1. iSKL@^ITX OPERACII !;_;^; q PO FORMULAM
a ! b = a _ b , a _ b = a b , a b = a b , a = a 1 .
7
2. |
rASKRYTX WSE SKOBKI PO FORMULE a(b c) = ab ac . |
3. |
pRIWESTI PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM aa = a , a a = 0 , |
a 0 = a . |
|
pRIMER 2. nAJTI MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ BULEWOJ FUNKCII |
|
f(x1; x2 ; x3) = (1101 0100)T , ZDESX UKAZAN STOLBEC ZNA^ENIJ f W |
|
TABLICE ISTINNOSTI (SM. TABL. 7). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
rE[ENIE. pO FORMULE (3) ZAPI[EM SUMMU POL- |
|
tABLICA 7 |
|
|||||||||||||||||||
NYH \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ PO TEM STRO^- |
x1 |
x2 |
x3 |
|
f |
|||||||||||||||||
KAM TABL. 7, GDE \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ISTINNOJ: |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|||||||||||||||||
f(x1; x2 ; x3) = x10x20x30 |
x10x20x31 x10x21x31 x11x20x31 . |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
||||||||||||||||
pOSLE \TOGO ZAMENIM |
|
xi0 NA (xi |
|
1) , RASKROEM WSE |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
||
SKOBKI I PRIWEDEM PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM |
|
|||||||||||||||||||||
x x = 0 , xx = x , x 0 = x . w REZULXTATE PO- |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|||||||||||||||||
LU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)(x2 1)(x3 1) |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
|||||||
: f(x1; x2; x3) = (x1 |
|
|||||||||||||||||||||
(x1 |
1)(x2 1)x3 |
(x1 |
1)x2x3 |
x1(x2 1)x3 = |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
|||||||||||||
= x1x2 |
x1x3 x2x3 |
x1 |
x2 1 . |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
pRIMER 3. nAJTI MNOGO^LEN vEGALKINA DLQ BULEWOJ FUNKCII |
||||||||||||||||||||||
f(x; y) = (x y) _ ( |
|
|
|
! |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
rE[ENIE. pRIMENQEM PRAWILA PREOBRAZOWANIQ 1 { 3, SM. WY[E. |
||||||||||||||||||||||
f(x; y) = (x y) _ ( |
|
! |
|
) = |
|
|
|
x = (x y)(y |
1)x 1 = |
|||||||||||||
y |
x |
x y |
y |
|||||||||||||||||||
= xxy xyy xx xy 1 = xy xy x xy 1 = xy x 1 . |
|
|||||||||||||||||||||
x5. rEALIZACIQ BULEWOJ FUNKCII W dnf
oPREDELENIE 1. dIZ_@NKCIQ \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ NAZYWAETSQ DIZ_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMOJ (dnf). dIZ_@NKCIQ POLNYH \LEMENTARNYH KON_@NKCIJ NAZYWAETSQ SOWER[ENNOJ dnf. tEOREMA O REALIZACII BULEWOJ FUNKCII W dnf. dLQ L@-
BOJ BULEWOJ FUNKCII f(x1; x2; : : : ; xn) |
IMEET MESTO FORMULA |
||
|
1 |
|
|
f(x1; x2 ; : : : ; xn) = |
f( 1 |
; : : : ; n)x 1 x 2 |
: : : x n : (1) |
|
|
1 2 |
n |
1;::: ; n=0
dOKAZATELXSTWO. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH x1; x2 ; : : : ; xn KON_@NKCIQ x11 x22 : : : xnn ISTINNA LI[X, KOGDA i = xi DLQ WSEH ZNA^ENIJ i = 1; 2; : : : ; n . sLEDOWATELXNO, W PRAWOJ ^ASTI FORMULY
8
(1) MOVET BYTX OTLI^NOJ OT 0 TOLXKO ODNA \LEMENTARNAQ KON_@NK-
CIQ f(x1; x2; : : : ; xn)xx11 x2x2 : : : xxnn , RAWNAQ f(x1; x2; : : : ; xn) . tEORE-
MA DOKAZANA.
sLEDSTWIE. dLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII, NE RAWNOJ TOVDESTWENNO NUL@, IMEET MESTO FORMULA
f(x1; x2; : : : ; xn) = |
x 1 x 2 : : : x n : |
(2) |
||
|
1 |
2 |
n |
|
|
f( 1;::: ; n)=1 |
|
|
|
fORMULY (1) I (2) REALIZU@T BULEWU FUNKCI@ W SOWER[ENNOJ |
||||
dnf | ONA OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO PO DANNOJ FUNKCII |
f , NO |
|||
PROIZWOLXNYH dnf, WY^ISLQ@]IH ZNA^ENIQ |
f , |
MOVET BYTX NE- |
||
SKOLXKO. tA IZ \TIH dnf, KOTORAQ IMEET NAIMENX[EE KOLI^ESTWO BUKW W SWOEJ ZAPISI, NAZYWAETSQ MINIMALXNOJ (PO LITERALAM).
pRIMER 1. sOWER[ENNAQ dnf DLQ f(a; b; c) = (1001 0111)T =
= (0; 3; 5;6; 7) WYGLQDIT TAK: f(a; b; c) = abc _ abc _ abc _ abc _ abc .
pRIMENQQ PRAWILO SKLEIWANIQ AB _ AB = B , MOVNO \TU dnf UPROSTITX TAK: f(a; b; c) = bc _ ac _ ab .
eSLI FUNKCIQ ZADANA S POMO]X@ PROPOZICIONALXNOJ FORMULY, TO DLQ PRIWEDENIQ EE K dnf MOVNO POSTROITX ISTINNOSTNU@ TABLICU I DALEE PRIMENITX PRAWILO SKLEIWANIQ. oDNAKO, ESLI FUNKCIQ ZAWISIT OT BOLX[OGO ^ISLA PEREMENNYH, TO ISTINNOSTNAQ TABLICA MOVET OKAZATXSQ GROMOZDKOJ. w \TOM SLU^AE MOVNO PRIWODITX pf K dnf METODOM PREOBRAZOWANIJ.
dLQ PRIWEDENIQ pf K dnf DOSTATO^NO
1) |
ISKL@^ITX OPERACII |
!; ; |
PO FORMULAM: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ! b = |
a |
_ b , a |
b = ab |
_ |
ab , a b = ab _ ab ; |
|||||||||||
2) |
PRIMENQQ ZAKONY DE mORGANA DOBITXSQ, ^TOBY OTRICANIQ BY- |
||||||||||||||||
LI LI[X OT PEREMENNYH I KONSTANT; |
|||||||||||||||||
3) |
RASKRYTX SKOBKI I PRIWESTI PODOBNYE ^LENY PO FORMULAM: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a(b _ c) = ab _ ac , a a = a , a 0 = 0 , a 1 = a , aa |
= 0 , |
|||||||||||||||
|
a _ |
a |
= 1 , a _ |
0 = a , a |
_ 1 = 1 , a _ a = a . |
||||||||||||
eSLI NEOBHODIMO POLU^ITX SOWER[ENNU@ dnf, TO W NEPOLNYH |
|||||||||||||||||
\LEMENTARNYH KON_@NKCIQH IME@]EJSQ dnf WMESTO OTSUTSTWU@- ]EGO SOMNOVITELQ xi WSTAWLQ@T (xi _ xi) I E]E RAZ RASKRYWA@T SKOBKI.
9
pRIMER 2. dLQ FUNKCII f(a; b; c) = (a b)(b ! (a c)) _ a ! c NAJTI SOWER[ENNU@ dnf.
rE[ENIE. iSKL@^AQ OPERACII !; ; POLU^AEM, ^TO
f(a; b; c) = (ab _ ab)(b _ ac _ ac) _ a _ c .
dALEE PRIMENQEM ZAKONY DE mORGANA, RASKRYWAEM SKOBKI I POSLE UPRO]ENIJ POLU^AEM DIZ_@NKTIWNU@ FORMU:
f(a; b; c) = (ab _ ab)(b _ ac _ ac) _ ac = ab _ abc _ abc _ ac .
dLQ POLU^ENIQ SOWER[ENNOJ dnf WSTAWIM SOMNOVITELI (c _ c) I (b _ b) W PERWU@ I ^ETWERTU@ \LEMENTARNU@ KON_@NKCI@; POSLE RASKRYTIQ SKOBOK, POLU^IM: f(a; b; c) = abc _ abc _ abc _ abc _ abc .
x6. tEOREMA O SOKRA]ENNOJ dnf. mINIMIZACIQ dnf
sWOJSTWO 1. pRI UDALENII L@BOGO SOMNOVITELQ IZ \LEMENTARNOJ KON_@NKCII EE OBLASTX ISTINNOSTI RAS[IRQETSQ W DWA RAZA.
dOKAZATELXSTWO. eSLI \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K0 POLU^AETSQ IZ KON_@NKCII K UDALENIEM SOMNOVITELQ xi i , TO K ISTINNA TOLXKO PRI ODNOM ZNA^ENII xi = i , A K0 ISTINNA PRI DWUH ZNA^E- NIQH xi = 0 I xi = 1 . sWOJSTWO DOKAZANO.
oPREDELENIE 1. kON_@NKTOM (IMPLIKANTOJ) BULEWOJ FUNKCII f NAZYWAETSQ \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K , OBLASTX ISTINNOSTI KOTOROJ QWLQETSQ PODMNOVESTWOM OBLASTI ISTINNOSTI f .
tAKIM OBRAZOM KON_@NKT FUNKCII f QWLQETSQ ISTINNYM NA NEKOTORYH IZ TEH STRO^EK TABLICY ISTINNOSTI, GDE ISTINNA f , I PRINIMAET ZNA^ENIE LOVX NA WSEH STRO^KAH, GDE LOVNA FUNKCIQ f . wOZXMEM NEKOTORYJ KON_@NKT K0 FUNKCII f I UDALIM IZ NEGO TAKOJ SOMNOVITELX, ^TOBY POLU^ILASX \LEMENTARNAQ KON_@NKCIQ K1 , OSTA@]AQSQ KON_@NKTOM \TOJ FUNKCII. tAKIM VE OBRAZOM IZ K1 POLU^IM KON_@NKT K2 I T.D. pOSKOLXKU PRI KAVDOM UDALENII SOMNOVITELQ OBLASTX ISTINNOSTI KON_@NKCII RAS[IRQETSQ W DWA RAZA, TO NA NEKOTOROM \TAPE POLU^ITSQ KON_@NKT Ki TAKOJ, ^TO UDALENIE L@BOGO EGO SOMNOVITELQ PRIWEDET K \LEMENTARNOJ KON_-
@NKCII, NE QWLQ@]EJSQ KON_@NKTOM FUNKCII f .
oPREDELENIE 2. kON_@NKT K FUNKCII f NAZYWAETSQ PROSTYM, ESLI IZ NEGO NELXZQ UDALENIEM KAKOGO-LIBO SOMNOVITELQ PO-
10