Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.01.2021

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

α =	ω	t = π
интервал времени t , когда	2	фазы компонент становятся неодинаковыми, а суммарная

амплитуда R(t) ~ 0 . Таким образом, время					t - служит мерой ширины центрального импульса и определяется
	ω t	= π	ω	t =1	, или ν t = 1 . Ширина основания центрального импульса равна
соотношением:	2		или 2π

2 t , а t с центром в точке t = 0 взят как условная мера времени, в течение которого R(t) ≥ A / 2 . При таком

определении это соотношение превращается в приближенное равенство:				ν t = 1 или			ω t ≈ 2π . Это
соотношение известно под названием теоремы о ширине частотной полосы.
Теорема утверждает, что одиночный импульс длительности t является результатом сложения
монохроматических компонентов, частоты которых заключены в интервале ωn −ω1 =							ω = 2π / t .
Если перейти к волновому вектору K , то t	надо заменить на координату x и тогда теорема о ширине
частотной полосы примет вид: K x ≈ 2π или	x /	λ ≈1.
В случае монохроматической волны λ = 0. и		1	= 0. , тогда	x (	1	) ≈1. и в этих условиях x ≈ ∞-

		x			λ

определяет бесконечно длинное волновое движение.

Если амплитуды составляющих волнового пакета не равны друг другу, то для рассмотрения этого вопроса необходимо привлечь метод Фурье анализа. Но выводы останутся теми же самыми.

2.7. Поперечные волны в периодической структуре.

Рассмотрим легкую струну длиной l , на всей длине которой на одинаковом расстоянии a друг от друга закреплены n тел одинаковой массы m . Оба конца струны (полная длина l = (n +1)a ) закреплены,

следовательно An = 0 и An+1 = 0 . Во все моменты времени струна натянута с постоянной жесткостью T . Эти тела совершают малые гармонические колебания только в одной плоскости, в данном случае xy . Найдем частоты

и смещения каждого тела. Эта задача была впервые сформулирована французским математиком Лагранжем. Уравнение движения напишем, если рассмотрим компоненты натяжения струны слева и справа от массы с

номером j , которые направлены в сторону равновесия, в данном примере “вниз”.Рис. 24.

Смещение масс i в направлении равновесия ox вызывается силой T sin Θ1 , обусловленной натяжением струны

слева, и T sin Θ

- справа от массы. Но sin Θ =

u j

− u j−1

;sin Θ

u j − u j+1

, поэтому уравнение имеет вид:

d 2u j

= −T (sin Θ + sin Θ

) = −T (

u j − u j−1

u j − u j+1

− 2u

+ u

dt2

) отсюда: U

j−1

). Если

временна зависимость смещения является гармонической, то смещения j -ой массы можно записать в виде:

= A

eiωt , аналогично и U

j−1

= A

j−1

eiωt ;

j+1

= A

eiωt .

j+1

Подставляя их в уравнение движения, получим

−ω2 Aj eiωt =

(Aj−1 −2Aj

+ Aj+1 )eiωt = 0 или

− Aj−1 + 2(− maTω2 )Aj − Aj+1 = 0 . – основное уравнение.

Для всех n +1тел мы получим n уравнений, начиная с j =1 и кончая j = n +1. При A0 и An+1 = 0 получаем следующую систему:

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

j =1	→ (2 − maω2 )A						− A		= 0
			T			1		2
			T
					maω2
j = 2	→ −A1	+ (2		−	maω2			)A2 − A3
j = 2	→ −A1	+ (2		−		T		)A2 − A3		= 0
						T					Решив эту систему мы найдем n разных значений ω и столько же
.....................................................
						maω2
j = n	→ −A		+ (2 −			maω2			)A = 0
j = n	→ −A		+ (2 −						)A = 0
	n−1						T		n
							T

значений Aj . Решение основано на теории матриц. Здесь его мы не будем изучать, попробуем получить решение методом индукции. Пусть n =1. Это значит, что на струне длиной 2a всего одно тело массой m . При этом нам достаточно одного уравнения j =1 с условиями: A0 и A2 = 0 . Подставим эти данные в уравнение и найдем:

(2 − maTω2 )A1 = 0 . Оно дает одну единственную частоту ω12 = ma2T .

Пусть теперь n = 2 , а длина струны равна 3a .Возможны два случая колебаний. I– подобен предыдущему с n =1(тела колеблются в фазе) и II. – более сложный, когда тела колеблются в противофазе. Поэтому для этого случая необходимо использовать уже два уравнения с n = 1и n = 2 .

(2 −

maω2

) A

− A

= 0

и A3 = 0 по условию. Решая эти два уравнения:

maω

2 −

−1

− A

+ (2 − maω2 ) A

= 0

det =

= 0

−1

2 −

maω

maω2

maω

maω2

(2 −

)

−1

= 0 или (2 −

1)(2 −

) = 0 .

ω2

, ω2

A1 и A2 . Это в конце концов дает, что для

Зная ω1,ω2 и подставляя их в уравнения последовательно получим

ω1 → A1 = A2 , а для

ω2

→ A1

= − A2 , то есть более быстрое (в 1,7 раза) происходящее колебание, а по

сравнению с n =1 в 1,23 раза.

j - ой массы можно записать уравнением:

Предположим, что амплитуду смещения

= C sin jΘS , где, С – постоянная, ΘS - некоторый постоянный угол при преобразовании вида:

maω2

− A

+ (2 −

)A − A

= 0 → (2 −

)A = A

+ A

J −1

J +1

−

maω2

) =

−1

;(

−

ω2

) =

−1

+ A

J +1

maT

2ω 2 −ω2

+ A

. Отсюда получается, что при любом номере j величина

2ω

2 −ω

J −1

J +1

ω 2

есть величина постоянная и не зависящая от номера, поэтому это представление справедливо для любого j .

Aj−1 − Aj+1

C[sin( j −1)Θ

+ sin( j +1)Θ

]

C sin jΘS

C[sin jΘS cos ΘS

−sin ΘS cos jΘS

+ sin jΘS cos ΘS + sin ΘS cos jΘS ]

2C sin jΘS cos ΘS

= 2 cos ΘS .

C sin jΘS

Угол ΘS - постоянный для частицы ωS , найдем из граничных условий A0

= An+1 = 0 .

= C sin Θ = 0; An+1

= C sin(n +1)ΘS

= 0 или (n +1)ΘS

= sπ , где:

s =1,2,…, n следовательно

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

ΘS =

π и Aj

= C sin QS = C sin j

sπ

- есть амплитуда j - го смещения тела

j при фиксированной

n +1

n +

2ω2 −ω2

sπ

частоте из списка разрешенных. Найдем эти разрешенные частицы:

= 2 cos Θ

= 2 cos

n +

sπ

ω02

Отсюда получаем, что ωS2

= 2ω02 [1 − cos

], s =1,2,3,..., n , а ω02

n +

Анализируя полученную формулу отмечаем, что существует максимальная частота ωS

= 2ω0 , тогда когда

cos

sπ

= −1 или

sπ

= π , или s = n +1. Эта частота называется критической или предельной допустимой

n +

n +1

верхней частотой. Наличие такой предельной частоты характерно для всех колебательных систем, состоящих из некоторого количества одинаковых элементов (масс), (слоев), которые периодически повторяются по всей структуре.

Представим выражение ωS2 = 2ω02 [1 − cos ns+π1] несколько в другом виде, используя формулу

2 sin2 α

=1 − cosα

sπ

ωS2 =

(1 − cos

) =

4π

sin2

n +1

2(n +1)

Воспользуемся предыдущим уравнением:

(U j+1 − 2U j +U j−1 ) и запишем теперь смещение U j

в виде: U j = Aj e

j(ωt−kx)

Aj e

j(ωt−kja)

mU j =

Подставим в уравнение и получим

ka , отсюда найдем, что ω

sin2 ka

−ω2m

= − T

(eika

+ e−ika − 2) = T

(eika / 2

+ e−ika / 2 ) =

sin2

разрешенные частоты. Оно эквивалентно ω2

sin2

ka .

Если ka =

sπ

λ .

; s =1,2,3,..., n. ,но (n +1)a = l - длина струны a(n +1) =

;l = ρ

;

2(n +1)

2π / λ

следовательно:

ka =

2π a =

saπ

πa .

2(n +1)a

ρ λ

При s = ρ изменение s на единицу соответствует переходу от одного разрешенного числа полуволн к другому – следующему по порядку, поэтому минимальная длина волны λ = 2a , а максимальная частота

ωmax2

. При λ = 2a , sin ka

=1 ибо ka

= π .

2πa

Сдвиг фаз между соседними массами равен точно π радиан

ka =

= π

U j

≈ eika

= eiπ

= −1 и самая высокая частота соответствует максимальной связи.

U j+1

В случае больших длин волн и малых k

sin

≈

, поэтому ω

4T k 2a2

Скорость распространения волны вдоль цепочки c2 =

ω2

= Ta = c2 = T / ρ , где

k 2

В общем же случае

. Так как

ρ = m / a .

v = ω / k = c	0	sin ka /	2	.Рис. 26.
	0	ka / 2

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 26.

На рисунке представлены две дисперсионные кривые, a - зависимость скорости от частоты, δ - зависимость разрешенных частот от величины волнового вектора k . ωm - предельно разрешенная максимальная частота волны, распространяющейся вдоль линейной одномерной цепочки масс в периодической структуре.

К лекции об отражении и преломлении поперечных волн.

Зададим себе вопрос, что произойдет с поперечной волной движущейся по структуре, имеющей в некоторой точке излом? Пусть этот излом находится в точке x = x0 . Струна имеет силу натяжения T одинаковую слева и справа

от точки x = x0 . Поперечная волна возбуждается силой F = F0eiωt , действующей в начале струны при x = 0 .

Вправо от точки x = 0 начнет распространяться поперечная волна вида u = aei(ωt−kx) , где u - смещение струны в

точке x , ω - частота колебаний, k - волновой вектор

k =

2π

2πω

= 2πω

= Ω

;

T / ρ

Ω = 2πω

Посмотрим боле внимательно на нашу струну. Мы видим, что в принципе ничего особенного со струной не происходит. Натяжение постоянно, линейная плотность ρ - не меняется и длина струны непрерывна по

координате x , то есть L = ∫dx = l . Однако, первая производная длины струны по координате x в точке x = x0

терпит разрыв. Если слева от точки x = x0 − 0 dLdx = +const , то справа x = x0 + 0 dLdx = −const , и

при x = x0 существует разрыв производной.

Обратим внимание на волновое уравнение:	∂2U	= C2 ∂2U	мы знаем, что это не что иное как силовой
	∂t2	∂x2
баланс на струне. Если мы вместо c2 подставим T / ρ , то получим, что				∂2U	=	T ∂2U	или ρ	∂2U	= T	∂2U
				∂t2		ρ ∂x2		∂t2		∂x2

слева, как мы помним, стоит сила инерции, а справа – сила упругости или сопротивляемости струны изменению

своего состояния. Это уравнение справедливо для всей струны. При этом U T и U X , то есть смещение перпендикулярно координате x и направлению натяжения струны.

Но в точке x = x0 меняется, пусть и незначительно, направление струны. А уравнение баланса сил в точке x0 − 0 выполняется, а в точке x0 + 0 уже нет, потому что произошло изменение направления силы тяжести и смена знака в производной длины струны по координате. Поскольку мы возбуждаем волну поперечную по условию F , то есть (F iX ) = 0 , то справа от точки x0 волна должна быть поперечной также, то есть смещение

Ux=x0 −0 , чтобы стать смещением Ux=x0 +0 должно провернуться на некоторый угол Θ. Рис. 27.

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Ux=xo-o

Ux=xo

Рис. 27.

Но никаких внешних дополнительных сил, которые бы заставили волну изменить направление, смещения нет, кроме тех, которые переносятся самой волной, то этот поворот должен произойти за счет как бы внутренних свойств рассматриваемой системы. Таким свойством системы есть непрерывность системы смещения струны в

любой ее точке, в том числе и в точке x0 , то есть U x=x0 −0 = U x=x0 +0 . Слева другого смещения просто нет. Для

того, чтобы удовлетворить этим двум условиям, разложим вектор смещения в падающей волне на два вектора. Один из них направлению струны справа от точки x = x0 , а другой ||ему. Тогда будем иметь:

U	x=x0 +0		=U cos Θ


U\|\|	x=x0	+0	=U cos Θ.

Из силового треугольника находим, что α = Θ/ 2 , как углы со взаимно сторонами и окончательно

имеем:

U ′

=U cos 2αΘ

x=x0 +0

U||′

Отсюда U ′2 +U||′2

2 (cos2 2α + sin2 2α) =U 2 , это удовлетворяет условию –

=U sin 2αΘ

x=x0 +0

смещение непрерывно. Вместе с тем, смещение U||

x=x0 +0

происходит не , а вдоль струны и меняет силу

натяжения T , в данном случае увеличивает. Но так как линейная плотность осталась прежней, но из выражения

T = ρc2

находим, что T +

T = ρc2 и

= T +

T ; c =

или c

= c

1 +

≈ c

(1 +

T ) ,

c = c

. И смещение U

0 2T

ρ1

распространяется по струне быстрее, чем породившая его волна U . Эта волна носит название обменной,

поскольку падающее начальное возмущение в виде одной поперечной волны преобразуется в два волновых движения с одной и той же частотой, но с разными скоростями распространения фаз по струне. Произошел как бы обмен колебательными движениями.

Отсюда становится понятным, почему музыканты используют струны для своих инструментов без изломов. Каждый такой излом меняет звуковой тон струны, нарушая гармонию звучания инструмента так приятную для нашего слуха.

2.7. Сводка основных результатов.

1. Волновое уравнение:	∂2 y	= c	∂2	.
	∂t2		∂x2

2.Волновая (фазовая) скорость c = ∂∂xt = ωk .

3.Волновое число k = 2π / λ , λ - длина волны, определяет величину расстояния разность фаз волны, между которыми, равна 2π .

4. Скорость частиц во фронте волны ∂∂yt = −c ∂∂yx = v упругий случай v << c .

5.Смещение частиц во фронте волны описывается уравнением: y = aei(ωt−kx) , где a - амплитуда волны.

6.Групповая скорость – скорость распространения волны в структурированной среде, зависит от частоты или волнового числа. Скорость движения пакета волн. vΓP = ddkω = v + k dkdv = v − λ ddvλ .

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

7.Прямоугольный волновой пакет, состоящий из n компонент с амплитудой a каждого, имеющий частную

ω , описывается выражением: R(t, x) = a

sin(

ωt / 2)

cos(

ширину

t − k

x) , где

- средняя

sin(

ωt / 2n)

частота =

∑ωi

. Амплитуда обращается в 0 , когда sin(

ωt / 2) = 0 или

ωt

= π , ωt = 2π .

i=1

8. Теорема о ширине частотной полосы: для определения волнового импульса длительностью t необходима частотная ширина ω = 2π / t и наоборот.

9.Импеданс или волновое сопротивление среды: Z = сила/скорость = −T ∂∂yx / ∂∂yt = ρc . Отсюда выражение для силы: F = ρcv .

− Z2

2Z1

10.

Коэффициенты отражения и пропускания: r =

, τ

. Энергия отраженной волны:

+ Z2

Z1 + Z2

− Z2

4Z1Z2

−

. Энергия прошедшей волны: −

+ Z2

(Z1 + Z2 )

11.

Согласование импедансов Z2 = Z1Z3 .

Толщина среды с импедансом Z2 равна λ / 4 , где λ - длина волны в этой среде.

2.8.Поляризация.

Амплитуда некоторых типов волн (электромагнитных, упругих в твердых телах ) в средах

характеризуются не только величиной отклонения от положения равновесия, но и направлением. Особо наглядно эта зависимость проявляется на струне. В предыдущих исследованиях колебаний и волн мы не придавали этому факту какого-либо значения, и правильно. Но сейчас, когда установлены основные закономерности волнового движения, обратим внимание на то, что натянутая струна обеспечит бесконечное множество направлений отклонений от невозмущенного состояния. Выберем наугад три реперных направления. Одно вдоль струны “ z ”, другие два ему перпендикулярных, например, “вверх - вниз”, обозначив его через “ y ” и “влево - вправо”, обозначив его как “ x ”. Тогда любое отклонение струны из начального

положения мы можем получить путем линейных комбинации этих двух ортогональных направлений, считая их за оси локальной системы координат “привязанной” к струне. Это показана на рисунке (вертикально поляризованная волна и горизонтально поляризованная волна). Рис. 28.

Рис. 28.

Малые колебания струны фактически всегда линейны, так что две волны могут распространяться вдоль струны независимо друг от друга. В данном случае скорость их распространения одинакова, так как

определяется силой натяжения T0 и линейной плотностью.

Во многих средах волны распространяются одинаково не зависимо от их поляризации. Но это относится не ко всем веществам и уж тем более к геологическим породам. Яркой житейской иллюстрацией этого явления служит распространение волн в деревянных рельсах. Доска, как известно, имеет два выделенных ортогональных направления. Одно из них перпендикулярно горизонтальной плоскости, другое – вертикальной. При этом сама доска обладает существенно меньшей жесткостью для колебания “вверх – вниз”, и наоборот для “влево – вправо”. Мы все помним свои ребячьи игры, иногда заканчивающиеся синяками и ссадинами, при неумелом использовании досок в качестве качелей, при закреплении одного из ее концов.

Итак, волны представляют собой физические процессы, характеристические параметры которых, суть отклонения от их равновесного состояния, меняются в зависимости от координат и времени. Отклонение от

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

положения равновесия может описываться вектором смещения U(x, y, z, t) . Будем рассматривать плоские волны, для которых функция смещения зависит от z, t т.е. U(z, t) .

В общем случае, как мы уже знаем, вектор смещения в плоской волне, распространяющейся вдоль направления zˆ описывается уравнением: U(z, t) = mvxU x (z, t) + mvyU y (z, t) + mvzUz (z, t) .

Для поперечных упругих волн вектор U(z, t) имеет либо x, y компоненту, либо z, x соответственно

нашим обозначениям sH и sV типов сдвиговых колебаний.

Если в поперечной волне смещение направлено вдоль прямой линии и лежащей в плоскости XY ,

перпендикулярно оси zˆ , то такая волна называется линейно поляризованной sH .

U(z, t) = m)xUx (z, t) + m)yU y (z, t) или, представляя, что m)xUx (z, t) = m)x A1 cosωt и

U y (z, t) = m)y A2 cosωt

запишем, что: U(z, t) = m)x A1 cosωt + m)y A2 cosωt = (m)x A1 + m)y A1 ) cosωt.

Для простоты мы возьмем колебания с одинаковой фазой в разных точках оси z . Величина и направление

)

вектора mx A1

+my

в этом случае не зависит от времени и наше уравнение дает описание колебания вдоль

фиксированного направления с амплитудой A

A =

A12

+ A22

, которое переносится вдоль оси OZ . Вектор U(z, t) одну половину периода направлен

mˆ x +

mˆ y

вдоль единичного вектора − m , где + m , где

)

Найдем этот вектор:

)

U =

U = mAcosωt m

B1mx

+ B2my

(B1mx + B2my ) cosωt

A(B m

+ B m

) = A m

+ A m

и B m

+ B

; B

v v

( A mˆ

+ A mˆ

A2mˆ

mˆ

+ A2mˆ

mˆ

+ 2A A mˆ

mˆ

1 2

m) =

=1.

Для линейно поляризованной бегущей волны необходимо вместо аргумента ωt подставить ωt − kz и

тогда Ur(z, t) = ( A mˆ

+ A mˆ

) cos(ωt − kz) .

Круговая поляризация.

Однако, поперечная волна может нести не только колебания вдоль какой-либо линии. Эти колебания могут представлять собой движение частицы по кругу, при этом говорят, что волна поляризована по кругу.

Такие колебания могут быть представлены суперпозицией линейно - поляризованных колебаний по осям x и y , причем амплитуды этих движений равны. Выберем правостороннюю систему координат x × y = z . В

этом случае для колебания с круговой поляризацией по + z составляющая uvx опережает на 900 uvy :

u(t) = m)x A1 cosωt + m)y A2 cos(ωt −π / 2) = m)x A1 cosωt + m)y A2 sinωt .

Аналогично, при вращении U(z, t) в обратную сторону Ux отстает от U y на 900 и

)	)	A = A .
U (z,t) = m A cosωt −m A sinωt;		A = A .
x 1	y 2	1 2

Поляризованные по кругу упругие волны переносят момент импульса единицы объема J , который, как

известно, выражается через энергию волны и ее угловую частоту:

J = ±m)z (w / ω) = ±m)z (ρv2 / ω) = ±m)z (ρλv) , где ρ - плотность породы, λ - длина волны, v - массовая скорость движения частицы.

Бегущая волна с круговой поляризацией по направлению + z получится заменой аргументов ωt на

ωt − kz или:

US (z, t) = A{m)x cos(ωt − kz) + m)y cos[(ωt −π / 2) − kz]}.

Если волна идет в обратном направлении, то меняется значение аргумента ωt − kz на обратные.

Общий случай поперечной поляризации – эллиптическая поляризация.

В общем случае это колебание имеет вид:

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

U(t) = m)x A1 cos(ωt +ϕ1 ) + m)y A2 cos(ωt +ϕ2 ) . Если ϕ1 = ϕ2 или ϕ2 ±π то мы имеем случай линейно поляризованного колебания.

Если ϕ2 = ϕ1 −π / 2 и A1 = A2 , то имеет место колебание с круговой поляризацией по + mz , при

ϕ2 = ϕ1 +π / 2 ; A1 = A2 то же, но по − mz . Запишем, как это мы делали раньше, что:

)

U x

A1 cos(ωt +ϕ1 )

U(t) = mxU x

+ myU y , тогда

A cos(ωt +

)

из этих двух уравнений исключим посредством

алгебраических преобразований функции cos и sin ωt .

/ A

= cosωt cosϕ

− sinωt cosϕ

cosϕ

−

/ A

= cosωt cosϕ

− sin ωt cosϕ

cosϕ

ax cosϕ2 − ay cosϕ1

= sinωt sinϕ2 cosϕ1 − sinωt sinϕ1 cosϕ2 =

= sinωt(sinϕ2 cosϕ1

− sinϕ1 cosϕ2 ) = sinωt sin(ϕ2

−ϕ1 )

ax cosϕ2 − ay cosϕ2

cosϕ2 −

U y

cosϕ1

sinωt =

sin(ϕ2

−ϕ1 )

sin(ϕ2

−ϕ1 )

U y

sinϕ2

−

sinϕ1

cosωt =

. Возведем в квадрат и сложим, тогда справа 1, а слева получим

sin(ϕ2 −ϕ1 )

2 U y

U y

выражение:

− 2

cos(ϕ

−ϕ

) =1. Это не что иное, как уравнение кривой второго

порядка носящее название конического сечения или эллипса. В зависимости от конкретного соотношения фаз двух колебаний ϕ1 и ϕ2 главные оси эллипса постепенно поворачиваются относительно осей координат x и

y . При ϕ2 −ϕ1 = 0;π;2π. - поляризация линейная с переменной смещения частицы при ϕ2 −ϕ1 = π . При ϕ2 −ϕ1 = π / 2;3π / 2. - эллипс вытянут вдоль осей y , либо x и в зависимости от соотношения между величинами A1 и A2 .При A1 = A2 - круговая поляризация, т.к. в этом случае U x2 +Ux2 = A2 .

При остальных значениях ϕ - эллипс занимает промежуточное положение.

Вставить фиг.11 со стр.28.

Свойства поперечно поляризованных колебаний.

1. В линейно – поляризованной волне при фиксированной пространственной координате смещение или

отклонение дважды проходит через 0 , а все элементы совершают одинаковое движение, но с фазовым сдвигом, определяемым временем распространения волны.

2. При круговой поляризации стоячей или бегущей волны + абсолютная величина отклонения при

фиксированной координате z постоянна. Если сделать мгновенный снимок волны, то форма возмущенного состояния среды будет напоминать форму штопора.

3. При отражении направление вращения относительно фиксированного в пространстве направления

zсохраняется независимо от свойств отражающей границы.

2.8.Различные представления состояния поляризации.

Наиболее общее состояние поляризации может быть представлено суперпозицией волн линейно

поляризованных по осям x и y . Существует множество направлений, которые можно выбрать за x и, соответственно этому, множество представлений состояния с линейной поляризацией, переходя к комплексным величинам, ибо мы знаем, что любую волну можно представить в виде ряда гармонических функций, записанных через комплексные величины, можно сказать, что существует бесконечное множество

наборов ортонормированных волновых функций U1 и U2 , которые можно использовать для получения

суперпозиции, определяющей U(z, t) .

Полный набор ортонормированных волновых функций для линейно – поляризованных колебаний по

v	и	v	)	i(kz−ωt)	)	i(kz−ωt)	.
направлениям mx	и	my	U1 = mx e		и U2 = my e		.

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Они удовлетворяют условиям: U1 U1* =1;U1* U2 = 0 , что легко проверить подстановкой.

Произвольно поляризованное колебание может быть представлено в виде суперпозиции поляризованных компонент с левой и правой спиральностью, с соответствующе подобранными амплитудами и фазами. К

примеру, возьмем волну линейно поляризованную по оси x , которая может быть представлена двумя эквивалентными выражениями:

U = m)x Acos(kz −ωt) или

v		A	)	)	A	)	)
U	=		{mx cos(ωt − kz) + my cos(ωt − kz −π / 2)}+			{mx cos(ωt − kz) + my cos(ωt − kz +π / 2)}
U	=	2	{mx cos(ωt − kz) + my cos(ωt − kz −π / 2)}+		2	{mx cos(ωt − kz) + my cos(ωt − kz +π / 2)}
		2			2		. Здесь

при m)y множитель A / 2 - одинаков, а cos отличаются друг от друга фазой на π и при сложении дадут 0 . Соответствующие комплексные выражения имеют вид:

)

U = mx Aei(kz−ωt )

)

(kz−ωt )

)

i[kz−(ωt−π / 2)]

)

(kz−ωt)

)

i[kz−(ωt+π / 2)]

U =

{mx e

+ my e

{mx e

+ my e

}

. Ему можно придать более компактный

π = i;

−i sin π

ei 2 = cos π

+ i sin

e−i 2 = cos π

= −i

вид, если использовать выражения:

, тогда после

преобразований получим, что:

)

i(kz−ωt )

)

i(kz−ωt )

U =

[(mx

+ imy )e

] +

[(mx − imy )e

]

Теперь вновь можно указать полный набор ортонормированных функций, описывающих состояния кривой

поляризации:

)

Uv(+) =

(mx + imy )

ei(kz−ωt ) ; Uv(−)

(mx − imy )

ei(kz−ωt ) .

Ортонормированность функций U (+) и U (−) доказывается аналогично:

U (+) U (+)* =U (+)* U (+) =1;

U (+)* U (−) = 0 =U (−)*

U (+) .

Поэтому, в общем случае состояние

поляризации в гармонической бегущей волне можно представить в следующем виде:

U(z, t) =A(+) U (+) +A(−) U (−) , где: A(±) - комплексные постоянные. Для случая линейной поляризации

A(+) =A(−) = A / 2.

Из достаточно общих соображений мы получим, что состояние поляризации волны описывается уравнением второго порядка вида:

U y

2U xU y

) = sin2 ( ϕ) + cos2 ( ϕ).

−

cos(ϕ

−ϕ

A A

1 2

При этом возможны три случая:

ϕ2

−ϕ1

= ±π / 2; A2 ≠ A1

получаем эллиптическую поляризацию с осями эллипса совпадающими с

координатами x и y .

ϕ2

−ϕ1

= ±π / 2 +πn; A2

= A1 - круговая поляризация.

U y

−ϕ

= πN; N = 0,1,2,3,... - линейная поляризация т.к.

= 0 получаем уравнение двух

прямых, углы наклона которых к оси ox определяются соотношениями между A1 и A2 : tgα = ±A2 / A1 . Состояние поляризации гармонической волны обычно характеризуют множители поляризации.

Ρ =	U x		=	A1	ei(ϕ2 −ϕ1 )
				A
U		y
				2

Как следует из предыдущего при комплексном Ρ волна имеет эллиптическую поляризацию, при чисто мнимом – оси эллипса совпадают с осями координат. Когда Ρ = ±i - поляризация круговая. В случае

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

действительных значений Ρ волна поляризована линейно. Знак мнимой части Ρ определяет направление вращения вектора смещения вектора смещений в плоскости поляризации.

Основной вывод из всех рассмотренных нами соображений тот, что если отношение амплитуд

ортогональных проекций вектора смещения U и сдвиг фаз между ними не изменяются, то есть если U x и

Uv y когерентны, то упругая волна поляризована.

Состояние поляризации как монохроматических так и не монохроматических волн можно характеризовать единым образом с помощью матрицы когерентности:

U U *

, где черта означает усреднение по времени наблюдения, которое должно быть

αβ

U U *

значительно больше, чем период T = 2π / ω . Как видим, след матрицы Ι равен интенсивности рассматриваемой

волны: S p Ιαβ

= Ι.

U x

U y

В случае полностью поляризованной волны U xU *y =U xU *y поскольку ни U x ни U y и соответственно их произведение от времени не зависят.

Для неполяризованной волны определитель матрицы когерентности Ιαβ = Ι2 / 4 , поскольку в этом

U U *

U *U

= 0 , а

= Ι / 2 .

случае произведения

x y x y

Для полностью поляризованной волны определитель матрицы когерентности равен 0 , а в случае

частичной поляризации для определителя выполнено неравенство:

Подставляя в матрицу когерентности выражения для U x и


					A2
					A2				A A exp i(ϕ		2	−ϕ	)
Ι		=		1					1 2		2	1
	αβ		A A exp[−i(ϕ			2	−ϕ	)]		A2
			1	2		2	1		2

0 ≤ Ιαβ ≤ Ι2 / 4 .

U y ей можно придать следующий вид:

Таким образом, состояние поляризации полностью характеризуется заданием следующих величин:


A2	;	A A exp i ;		A A exp(−i ) ;		A2	, где A2	+ A2	= Ι .
1		1	2	1	2	2	1	2

Вместо этих четырех величин удобно ввозить следующее 3:

			1			−		);ξ			1					1
ξ		=		(	A2		A2			=			;ξ		=			, которые носят названия параметров Стокса.
												2A A cos					2A A sin
	1		Ι	1		2			2		Ι	1 2		3		Ι	1 2

В этом случае матрица когерентности выражается через параметры Стокса следующим образом:

1 +ξ

+ iξ

Ιαβ

причем: для неполяризованной волны ξ1

= ξ2

= ξ3 = 0 , а для полностью

1 −ξ1

ξ2 − iξ3

поляризованной ξ12

= ξ22 = ξ32

=1. Сумма квадратов параметров Стокса характеризует степень поляризации

волны: p2

= ξ12

+ξ22 +ξ32 .

Если интенсивность волны равна Ι, то интенсивность ее поляризованной части есть ΙΠ = pΙ, а

неполяризованной ΙΗΠ = (1 − p)Ι.

Физический смысл параметров Стокса ясен из их определения: Ιξ1 - разность интенсивности линейно –

поляризованных волн при α = 0 и 900 . Ιξ 2 - то же самое, но для α = 45 и 1350 . Ιξ 3 - разность интенсивностей

волн с правой и левой круговой поляризацией.

С помощью этих параметров или матрицы когерентности можно находить поляризацию суммарного поля при суперпозиции нескольких волн. Матрица когерентности результирующей волны равна сумме матриц когерентности отдельных волн.

Можно решить задачу о разложении частично поляризованного излучения на полностью поляризованную и неполяризованную компоненты и определить характер поляризации. Для этого матрицу когерентности необходимо записать в виде:

Ι(1

− ρ)δ

+ξ1 / ρ

(ξ2 + iξ3 ) / ρ

, где ρ =

+ξ

, а δ

− iξ3 ) / ρ

1 −ξ1 / ρ

αβ

(ξ2

αβ

единичный тензор или символ Кронекера. С помощью параметров Стокса можно рассчитать форму и ориентацию

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
22.01.2021393.6 Кб4НЕФТЯНАЯ И РУДНАЯ ГЕОФИЗИКА.pdf
#
01.02.20211.37 Mб5НЕФТЯНОЕ ТОВАРОВЕДЕНИЕ.pdf
#
14.02.2021180.39 Кб3Нефтяной газ как источник загрязнения атмосферы-1.pdf
#
31.01.20211.15 Mб6Нефтяной газ как источник загрязнения атмосферы. Факельные установки..pdf
#
14.02.2021180.39 Кб3Нефтяной газ как источник загрязнения атмосферы.pdf
#
17.01.20211.17 Mб3НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ.pdf
#
24.01.2021998.5 Кб10НЕФТЯНОЙ ДОБЫВАЮЩЕЙ СКВАЖИНЫ.pdf
#
03.02.20211.63 Mб3нефтяные остатки.pdf
#
24.01.2021920.57 Кб16нефтяных скважин штанговыми насосами.pdf
#
01.02.20211.84 Mб13нефтяных эксплуатационных скважин.pdf
#
06.01.2021353.9 Кб7нефтяных эмульсий.pdf