2.4. Алгоритм Ератосфена пошуку простих чисел

До важливих алгоритмів відноситься і алгоритм пошуку простих чисел.

Простим є число, яке ділиться тільки на 1 і на себе.

Алгоритм пошуку простих чисел запропонував древньогрецький математик Ератосфен, і він отримав назву Решето Ератосфена.

Ідея і загальний опис алгоритму.

Є розташована в ряд за збільшенням послідовність цілих чисел. Спочатку в ній викреслюються усі числа кратні 2, окрім її самої, і так до N. Далі із списку, що вийшов, береться число, що йде за двійкою, - трійка, викреслюються усі кратні 3 числа, окрім її самої. У такому вигляді алгоритм триває для частини послідовності, що залишилася, і у результаті отримаємо усі прості числа у вказаному діапазоні.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

У таблиці наведені усі цілі числа від 2 до 100. Червоним помічені ті, які були видалені в процесі виконання алгоритму Решето Ератосфену.

Тепер розглянемо алгоритм детальніше, розбивши його на декілька частин.

Словесний опис алгоритму.

Отже, для пошуку простих чисел за алгоритмом Решето Ератосфена треба:

1. Організувати список з чисел від 2 до N, а також логічний масив розмірністю N;

2. У вільну змінну R записати число 2;

3. Виключити усі числа кратні R, починаючи з R*2;

4. Записати в R наступне за R не закреслене число;

5. Повторювати дії, описані в двох попередніх кроках.

Цей самий алгоритм можна реалізувати на інших мовах програмування.

Реалізація алгоритму на мові C#

class Program

{

//Знаходження простих чисел. Алгоритм "Решето Ератосфена"

//Запишемо підряд усі числа від 2 до N.

/Далі викреслимо з цього списку усі числа кратні 2,

// виключаючи саму двійку, потім викреслимо усі числа кратні 3,

//виключаючи само число 3, число 4 вже викреслено, викреслюємо числа кратні 5 і так далі

/Продовжуємо цей процес, поки квадрат чергового числа не перевищить N.

static void Main(string[] args)

{

bool[] table = new bool[100];

int i, j;

// Відмічаємо усі числа як прості

for (i = 0; i < table.Length; i++)

table[i] = true;

// Викреслюємо зайве

for (i = 2; i * i < table.Length; i++)

if (table[i])

for (j = 2 * i; j < table.Length; j += i)

table[j] = false;

// Виводимо знайдене

for (i = 2; i < table.Length; i++)

{

if (table[i])

Console.WriteLine(i);

}

Console.ReadKey();

}

}