Глава 5 Реляционные исчисления Глава 5.Реляционные исчисления
5.1.Основные понятия математической логики
Логика – это наука о законах и формах мышления. Математическая логика – это логика, развиваемая с помощью математических методов.
В математической логике имеется несколько самостоятельных направлений, например, нечеткая логика, модальная логика, временная логика, эпистемическая логика и т.д. Однако все эти логики базируются на так называемой классической логике. В классической логике выделяют логику высказываний (исчисление высказываний) и логику предикатов (исчисление предикатов). Здесь мы дадим основные понятия из этих двух логических исчислений.
Примечание. В исчислении высказываний и исчислении предикатов мы осветим кратко только те вопросы, которые относятся к теории их моделей, оставляя в стороне теорию доказательств.
5.1.1.Исчисление высказываний
Высказывание – это некоторое утверждение, относительно которого заключается его истинностное значение, - истина или ложь.
Исчисление высказываний – это совокупность правил построения формул исчисления, правил определения истинностных значений произвольных формул и правил эквивалентных преобразований произвольных формул.
Элементарное высказывание (или элементарная формула) исчисления высказываний – это высказывание, внутренняя структура которого (с точки зрения рассматриваемой логики) не расчленима. Будем обозначать их прописными буквами конца латинского алфавита: P, Q, R, …, P1, P2, …
Произвольные формулы исчисления высказываний строятся из элементарных с применением следующих логических (или пропозициональных) связок:
Связка Название Как читается
отрицание "не", "не верно, что"
дизъюнкция "или", "… или…", "… или оба"
& конъюнкция "и"
импликация "влечет", "если…., то…", "только если"
эквивалентность "эквивалентно", "равносильно", "тогда и только тогда"
( Иногда вместо
употребляют (черта
над формулой, например
),
вместо & – , вместо
– ,
вместо –
). В формулах со множеством связок
используется следующая упорядоченность
логических связок в "порядке
старшинства": ,
, ,
, .
Связка более высокого "ранга" имеет
большую область действия. Если эту
упорядоченность следует изменить,
то употребляются скобки. Логическая
связка, которая выполняется последней
в формуле, называется внешней. Так,
например, в формуле (P
Q)
& (R
( R
P
)) внешней связкой является &.
Логические связки имеют следующие таблицы истинности:
A |
B |
A B |
A B |
A & B |
A B |
|
A |
A |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
|
t |
f |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
|
f |
t |
f |
t |
f |
t |
f |
t |
|
|
|
f |
f |
t |
t |
f |
f |
|
|
|
Многократным применением таблиц истинности логических связок можно строить таблицы истинности для произвольной формулы исчисления высказываний. Например, для формулы P ( Q R ( R P ) ) ниже приведены окончательная таблица распределения ее истинности (слева) и подробности вычисления третьей строки (справа).
|
P |
Q |
R |
P ( Q R ( R P ) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
t |
t |
t |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
t |
t |
f |
t |
|
P |
|
( |
Q |
|
R |
|
( |
R |
|
|
P |
) ) |
3. |
t |
f |
t |
f |
|
t |
|
( |
f |
|
t |
|
( |
t |
|
|
t |
) ) |
4. |
t |
f |
f |
t |
|
t |
|
( |
|
t |
|
|
( |
t |
|
f |
|
)) |
5. |
f |
t |
t |
t |
|
t |
|
( |
|
t |
|
|
|
|
f |
|
|
) |
6. |
f |
t |
f |
t |
|
t |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
7. |
f |
f |
t |
t |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
f |
f |
f |
t |
|
t |
f |
|
f |
t |
t |
f |
|
t |
f |
f |
t |
|
Отметим, что если формула содержит N атомарных формул, то ее таблица истинности состоит из 2N строк.
А) Общезначимость
Определение. Формула называется общезначимой (или тождественно истинной или тавтологией), если в таблице истинности столбец ее значения содержит только t. Другими словами, это такие формулы, которые принимают только значение t при любых значениях атомарных формул. Общезначимость формулы В обозначается так:╞ В
Вот словесный пример такого высказывания: "Если я пойду слишком быстро, то я пойду слишком быстро" Оно общезначимо в силу исчисления высказываний, ибо имеет вид Р Р.
Общезначимые формулы (тавтологии) могут показаться на первый взгляд неинтересными, ибо, в некотором смысле, они не несут никакой информации. То, что приведенное выше высказывание является тавтологией, едва ли покажется достаточным поводом для его рассмотрения. Но приводимый далее материал показывает, что общезначимые формулы важны.
Две формулы являются эквивалентными, если при любых значениях их атомарных формул они одновременно принимают истинное или ложное значение. Другими словами, формулы А и В эквивалентны, если формула A B общезначима, что обозначается как ╞ A B. Такие тавтологии определяют множества эквивалентных формул. Приведем наиболее важные из них, указывая их общепринятые названия.
1. ╞ А & В В & А; ╞ А В В А – коммутативность конъюнкции и дизъюнкции
2. ╞ (А & В) & С А & (В & С); ╞ (А В) С А (В С) – ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции
3. ╞ А & (В С) (А & В) (А & С) – дистрибутивность конъюнкции
4. ╞ А (А & С) (А В) & (А С) – дистрибутивность дизъюнкции
5. ╞ А & А А; ╞ А А А – поглощение в конъюнкции и дизъюнкции.
6. ╞ А & (А В ) А; ╞ А (А & В ) А – элиминация
7. ╞ А А – закон двойного отрицания.
8. ╞ (А В ) А & В; ╞ (А & В ) А В – законы Де Моргана
9. ╞ А В В А – контрапозиция
Выражение одних связок через другие
10. ╞ А В (А & В) ╞ А В А В
11. ╞ А & В (А В) ╞ А & В (А В)
12. ╞ А В (А & В) ╞ А В А В
13. ╞ (A B) (А В) & (B A)
Если тавтология содержит "" в качестве внешней логической связки, то это свидетельствует о следующем: Если установлено, что формула, находящаяся слева от "", общезначима, то общезначимой является также формула, находящаяся справа от "". Например, тавтологией является формула А (В А), следовательно, если из контекста известно, что формула А общезначима, то общезначимой является также формула В А, где В – произвольная подформула. Все это может быть сформулировано в виде следующего утверждения:
Утверждение. Если ╞ А и ╞ А В, то ╞ В
Рассмотрим такие тавтологии.
Введение и удаление логических символов:
14. ╞ А (В А)
15. ╞ А А В
16. ╞ А & В А; ╞ А & В В
17. ╞ (А В) (А В) ╞ (А В) (В А)
18. ╞ (A B) & (B C) (A C) - транзитивность эквивалентности
Наконец, тавтологии без эквивалентности и импликации, но с очевидным смыслом:
19. ╞ (A & А) – отрицание противоречия.
20. ╞ A А – закон исключенного третьего.
Утверждение. Пусть Е – формула, построенная из атомов Р1,…, Рn и их отрицаний Р1,…, Рn и с применением только связок & и . Пусть Е* - формула, полученная из Е заменой & на и на & и каждого атома на его отрицание. Тогда ╞ Е Е*.
В) Следование
Определение. Говорят, что В следует из А или является следствием из А, и пишут А╞ В, если в таблицах истинности формула В имеет значение t на всех тех строках, на которых принимает значение t формула А.
Например, покажем, что P & Q ╞ P Q.
P |
Q |
P & Q |
P Q |
t |
t |
t |
t |
t |
f |
f |
t |
f |
t |
f |
t |
f |
f |
f |
f |
Определение (обобщение). Говорят, формула В следует из формул А1, А2,…, Аm, и пишут А1, А2,…, Аm ╞ В, если в таблицах истинности на всех тех строках, где все формулы А1, А2,…, Аm одновременно принимают значение истина, истинным является также и формула В.
Например, покажем, что Р Q, Q P ╞ P Q
P |
Q |
P Q |
Q P |
P Q |
t |
t |
t |
t |
t |
t |
f |
f |
t |
f |
f |
t |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
t |
t |
Утверждение. А ╞ В тогда и только тогда, когда ╞ А В. Более общо, А1, А2,…, Аm-1, Аm ╞ В тогда и только тогда, когда А1, А2,…, Аm-1 ╞ Аm В.
Определение. Формула являющаяся дизъюнкцией конъюнкций атомарных формул или их отрицаний называется дизъюнктивной нормальной формой. Формула являющаяся конъюнкцией дизъюнкций атомарных формул или их отрицаний называется конъюнктивной нормальной формой.
Утверждение. Любая формула может быть представлена в виде дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы.