Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 семестр_Лекции / Линейная алгебра. Системы линейных уравнений

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
14.01.2021
Размер:
270.28 Кб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический факультет

Кафедра алгебры, математической логики и теории чисел

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Варианты заданий для самостоятельной работы студентов

Барнаул 2010

Составитель: к. ф.-м. н. С.А. Шахова Рецензент: к. ф.-м. н. С.В. Ленюк

Методические указания содержат варианты заданий для самостоятельной работы студентов по теме «Системы линейных уравнений» из курса линейной алгебры. Предназначены для студентов первого курса математического факультета.

Вариант 1.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

1

2

1

3

4

 

 

2

1

3

0

2

 

 

 

 

4

2

4

1

 

.

 

3

 

4

1

1

7

3

 

 

 

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3x

x

2

+ 7x

=18,

3x

+ x

2

5x = 4,

2x

+ x

2

+3x

= −5,

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

3

 

а) 2x1 +5x3 =14,

 

 

 

б) 2x1 +8x2 x3

=3,

в) 4x1

x2 +5x3 =6,

4x + 2x

2

+ x

3

=18;

x

 

9x

2

+ 6x

= −7;

2x

+ 2x

2

+14x =7.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

3

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

3x1 + x2 8x3 + 2x4 + x5 =0,2x1 2x2 3x3 7x4 + 2x5 =0,

x1 +11x2 12x3 +34x4 5x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:

a1 =(1 2 3 1),

a2 =(3 1 2 4),

a3 =(5 3 8 2),

a4 =(4 1 5 3).

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

x1 + 2x2 + x3 x4 = 2,2x1 +5x2 + 2x3 +3x4 = 4,

3x1 24x2 11x3 + x4 = −22.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) =0 , f (1) = −10 , f (2) =14 , f (2) = −30 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

8

1

2

1

5

 

 

2

2

1

0

1

 

 

 

 

4

5

4

1

 

 

 

3

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 x2 + x3 2x4 + x5 =0,x1 + x2 2x3 x4 + 2x5 =0,x1 3x2 + 4x3 3x4 =0.

Вариант 2.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

 

3

0

6

5

 

 

1

2

2

3

 

 

 

 

4

6

1

7

.

 

 

 

4

0

11

7

 

 

 

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

4x

+9x

2

+3x

= 29,

x

+ 2x

2

4x

3

= 2,

3x + x

2

+5x = 4,

 

1

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

а) 3x1 4x2 + x3 = 4,

б) 4x1 3x2 5x3 =8, в) 2x1 3x2 + x3 = −3,

2x

+ x

2

+5x

= −23;

3x +5x

2

+ x = −6;

x

5x

2

+ 7x

= 2.

 

 

1

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

3

1

 

 

3

 

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

7x1 + 2x2 x3 2x4 + 2x5 =0,x1 3x2 + x3 x4 x5 =0,2x1 +5x2 + 2x3 + x4 + x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:

a1 =(3 1 2 5),

a2 =(1 1 0 1),

a3 =(1 0 1 3),

a4 =(2 1 1 2).

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

3x1 + 2x2 +5x3 + 7x4 =1,3x1 + 2x2 +13x3 +18x4 =1,3x1 + 2x2 11x3 15x4 =1.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) = −5 , f (1) = −15 , f (2) = −32 , f (3) =13 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

 

0

1

1

2

1

 

1

3

3

18

2

 

 

 

 

1

2

18

18

3

 

 

 

фундаментальную систему решений для системы уравнений

8x1 + x2 + x3 x4 + 2x5 =0,3x1 3x2 2x3 + x4 3x5 =0,5x1 + 4x2 +3x3 2x4 +5x5 =0.

Вариант 3.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

 

1

1

1

0

3

 

 

2

3

2

4

7

 

 

 

 

4

11

7

9

6

.

 

 

 

3

2

0

1

1

 

 

 

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3x

+5x

2

+ 4x = 26,

2x

6x

2

+ 7x = −4,

3x

+ 4x

2

+ 2x =1,

 

1

 

3

 

1

 

3

 

1

 

3

а) 5x1

2x2 + 7x3 =3,

б) x1

+ 2x2 3x3 =5,

в) 3x1

5x2 + x3 =6,

8x1 x2 +3x3 = −5;

3x1 4x2 + 4x3 =1;

3x1 6x2 + 4x3 = −1.

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

x1 + x2 +10x3 + x4 x5 =0,5x1 x2 +8x3 2x4 + 2x5 =0,

3x1 3x2 12x3 4x4 + 4x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:

a1 =(3 4 5 1),

a2 =(2 3 1 0),

a3 =(4 7 5 2),

a4 =(1 2 3 1).

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

4x1 + x2 +3x3 + 2x4 =3,

12x1 +3x2 +9x3 +10x4 =13,

8x1 + 2x2 + 6x3 +5x4 =7.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) =15 , f (1) =5 , f (2) =32 , f (3) = −13.

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

 

1

1

1

1

15

 

 

2

4

5

1

17

 

 

 

 

1

1

8

2

28

 

 

 

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 +3x2 x3 +1`2x4 x5 =0,2x1 2x2 + x3 10x4 + x5 =0,3x1 + x2 + 2x4 =0.

Вариант 4.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

 

1

1

3

1

 

 

2

0

3

6

 

 

 

 

3

4

1

2

.

 

3

5

3

3

 

 

 

 

2

1

1

1

 

 

 

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

2x1 + x2 +3x3 =1,

5x1 3x2 + x3 = −1,

5x1 2x2 + x3 = −4,

а) 4x1 x2 +5x3 = 27,

б) 2x1 + x2 =1,

в) 6x1 + x2 + 2x3 =3,

3x1 4x2 + 4x3 =34;

3x1 + x2 + x3 =3;

x1 + x2 3x3 = 2.

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

6x1 9x2 + 21x3 3x4 12x5 =0,

4x1 + 6x2 14x3 + 2x4 +8x5 =0,2x1 3x2 + 7x3 x4 4x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:

a1 =(1 3 0 3),

a2 =(2 3 1 1),

a3 =(1 0 1 2),

a4 =(3 6 1 4).

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

2x1 +3x2 + 4x3 +5x4 = 2,

6x1 +9x2 + 2x3 +3x4 = 4,4x1 + 6x2 +3x3 + 4x4 =3.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (2) = −15 , f (1) = −4 , f (2) =5 , f (3) = 20 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

1

1

1

7

3

 

0

2

22

9

 

1

 

 

1

2

2

1

 

1

 

фундаментальную систему решений для системы уравнений

7x1 14x2 +3x3 x4 + x5 =0,x1 2x2 + x3 3x4 + 7x5 =0,

5x1 10x2 + x3 +5x4 13x5 =0.

Вариант 5.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

 

1

1

1

2

1

 

 

1

1

3

1

2

 

 

 

 

1

4

1

1

3

.

 

 

 

2

1

4

4

1

 

 

 

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

5x

+ x

2

+ 2x

3

= 21,

3x

 

4x

2

+ 2x

3

= −1,

4x 3x

2

+ 2x =5,

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

а) 3x1

4x2 +3x3 = −22,

б) 5x1 + 2x2 8x3 =3,

в) 3x1 2x2 + x3 = 4,

2x

3x

2

+ x

 

= −5;

x

6x

2

4x

3

=1;

x

+5x

2

3x

= −8.

 

1

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

2x1 x2 + 2x3 x4 + x5 =0,x1 +10x2 3x3 2x4 x5 =0,4x1 +19x2 4x3 5x4 x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:

a1 =(1 2 4 1),

a2 =(5 3 8 4),

a3 =(3 1 0 2),

a4 =(1 5 8 0).

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

x1 + 2x2 7x3 +3x4 =5,

2x1 + 4x2 31x3 +14x4 =18,

3x1 + 6x2 4x3 + x4 =7.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (3) = −20 , f (2) = −5 , f (2) =15 , f (1) = 4 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

 

0

1

4

4

6

 

 

2

1

11

8

25

 

 

 

 

2

3

5

8

1

 

 

 

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 + 2x2 +3x3 + x4 x5 =0,2x1 2x2 5x3 3x4 + x5 =0,3x1 2x2 +3x3 + 2x4 x5 =0.

Вариант 6.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

 

2

1

3

1

 

 

3

2

0

1

 

 

 

 

1

2

2

9

.

 

1

1

4

1

 

 

 

 

3

4

6

7

 

 

 

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

7x1 2x2 +3x3 = −4,

4x1 +5x2 + x3 = −8,

3x1 5x2 + 2x3 = −7,

а) 4x1 + x2 x3 =15,

б) 3x1 + 4x2 2x3 =6,

в) 4x1 + x2 +3x3 = 2,

5x1 + x2 2x3 =1;

2x1 3x2 +5x3 = −20;

2x1 +11x2 x3 =11.

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

5x1 2x2 +3x3 4x4 x5 =0,x1 + 4x2 3x3 + 2x4 5x5 =0,6x1 + 2x2 2x4 6x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:

a1 =(1 0 1 1),

a2 =(0 2 1 3),

a3 =(3 2 4 0),

a4 =(2 2 3 1).

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

3x1 +9x2 +5x3 + 6x4 = 4,

2x1 + 6x2 +3x3 + x4 =5,x1 +3x2 +3x3 +14x4 = −8.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) = −2 , f (1) = −6 , f (2) = −20 , f (3) =10 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

 

5

5

1

1

2

 

 

4

7

2

1

2

 

 

 

 

6

2

1

2

3

 

 

 

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 + x2 + x3 x4 x5 =0,2x1 + x2 2x3 x4 2x5 =0,x1 + 2x2 +5x3 2x4 x5 =0.

Вариант 7.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

 

2

1

2

3

 

 

1

0

3

4

 

 

 

 

1

2

1

0

.

 

 

 

1

5

7

3

 

 

 

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3x

x

2

+ 2x = 4,

2x

+3x

2

+ 4x = −7,

4x +3x

2

x

3

= 2,

 

1

 

3

 

1

 

3

 

1

 

 

а) 5x1 + 2x2 + 4x3 =31,

б) 3x1

+ 2x2 +13x3 = −8,

в) 5x1

2x2 + 6x3 = −3,

4x1 + 4x2 x3 =3;

7x1 4x2 +5x3 =6;

3x1 + 4x2 + 4x3 = 2.

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

12x1 x2 + 7x3 +11x4 x5 =0,24x1 2x2 +14x3 + 22x4 2x5 =0,

x1 + x2 + x3 x4 + x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:

a1 =(2 3 1 1),

a2 =(1 0 2 1),

a3 =(1 2 1 3),

a4 =(0 3 3 1).

5. Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

x1 x2 3x4 = −1,

2x1 +3x2 + 2x3 +5x4 =3,7x1 x2 + x3 9x4 = −4,

2x1 + 2x2 +3x3 + 4x4 =5.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) =6 , f (1) = 2 , f (2) = 20 , f (3) = −10 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

1

8

1

3

6

 

 

0

3

1

7

1

 

 

 

 

1

3

0

10

5

 

 

 

фундаментальную систему решений для системы уравнений

2x1 + x2 3x3 + x4 x5 =0,3x1 x2 + 2x3 x4 + 2x5 =0,x1 2x2 +5x3 2x4 +3x5 =0.

Вариант 8.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

 

2

0

1

4

 

 

3

0

0

3

 

 

 

 

6

1

2

2

.

 

 

 

1

1

3

 

 

 

1

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

4x

+ x

2

+ 2x =14,

5x

+ 2x

2

3x =6,

9x

+ 2x

2

+ x = −5,

 

1

 

3

 

1

 

3

 

1

 

3

а) 5x1 3x2 + x3 = −1,

б) 4x1 + x2

+8x3 = −5, в) 3x1 + 4x2 x3 = −8,

 

2x2

+3x3 = −17;

 

 

 

 

5x3 = −1;

 

+ 2x2 x3 =1.

6x1

x1 3x2

x1

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 =0,2x1 x2 +3x3 + x4 5x5 =0,x1 +3x2 x3 6x4 x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

входящие в данную базу, выразить через векторы базы:

a1 =(1 2 1 1),

a2 =(2 0 1 3),

a3 =(3 2 2 1),

a4 =(1 2 1 0).

5. Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

x1 + 2x2 + x3 +3x4 + 2x5 = 2,2x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 2x5 =1,

3x1 + 6x2 + 4x3 +13x4 +8x5 =9,

2x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + x5 =1.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) = −4 , f (1) = −8 , f (2) = −10 , f (2) = −25 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

 

0

1

2

1

2

 

 

0

2

1

0

1

 

 

 

 

0

1

1

1

15

 

 

 

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 + 2x2 3x3 +10x4 x5 =0,x1 2x2 +3x3 10x4 + x5 =0,x1 + 6x2 9x3 +30x4 3x5 =0.