1 семестр_Лекции / Линейная алгебра. Системы линейных уравнений

Составитель: к. ф.-м. н. С.А. Шахова Рецензент: к. ф.-м. н. С.В. Ленюк

Методические указания содержат варианты заданий для самостоятельной работы студентов по теме «Системы линейных уравнений» из курса линейной алгебры. Предназначены для студентов первого курса математического факультета.

Вариант 1.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

3x1 + x2 −8x3 + 2x4 + x5 =0,2x1 − 2x2 −3x3 −7x4 + 2x5 =0,

x1 +11x2 −12x3 +34x4 −5x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

− x1 + 2x2 + x3 − x4 = 2,2x1 +5x2 + 2x3 +3x4 = 4,

3x1 − 24x2 −11x3 + x4 = −22.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) =0 , f (−1) = −10 , f (2) =14 , f (−2) = −30 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 − x2 + x3 − 2x4 + x5 =0,x1 + x2 − 2x3 − x4 + 2x5 =0,x1 −3x2 + 4x3 −3x4 =0.

Вариант 2.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

7x1 + 2x2 − x3 − 2x4 + 2x5 =0,x1 −3x2 + x3 − x4 − x5 =0,2x1 +5x2 + 2x3 + x4 + x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

3x1 + 2x2 +5x3 + 7x4 =1,3x1 + 2x2 +13x3 +18x4 =1,3x1 + 2x2 −11x3 −15x4 =1.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) = −5 , f (−1) = −15 , f (−2) = −32 , f (3) =13 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

фундаментальную систему решений для системы уравнений

8x1 + x2 + x3 − x4 + 2x5 =0,3x1 −3x2 − 2x3 + x4 −3x5 =0,5x1 + 4x2 +3x3 − 2x4 +5x5 =0.

Вариант 3.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

x1 + x2 +10x3 + x4 − x5 =0,5x1 − x2 +8x3 − 2x4 + 2x5 =0,

3x1 −3x2 −12x3 − 4x4 + 4x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

4x1 + x2 +3x3 + 2x4 =3,

12x1 +3x2 +9x3 +10x4 =13,

8x1 + 2x2 + 6x3 +5x4 =7.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) =15 , f (−1) =5 , f (2) =32 , f (−3) = −13.

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 +3x2 − x3 +1`2x4 − x5 =0,2x1 − 2x2 + x3 −10x4 + x5 =0,3x1 + x2 + 2x4 =0.

Вариант 4.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

6x1 −9x2 + 21x3 −3x4 −12x5 =0,

− 4x1 + 6x2 −14x3 + 2x4 +8x5 =0,2x1 −3x2 + 7x3 − x4 − 4x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

2x1 +3x2 + 4x3 +5x4 = 2,

6x1 +9x2 + 2x3 +3x4 = 4,4x1 + 6x2 +3x3 + 4x4 =3.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (−2) = −15 , f (−1) = −4 , f (2) =5 , f (3) = 20 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

фундаментальную систему решений для системы уравнений

7x1 −14x2 +3x3 − x4 + x5 =0,x1 − 2x2 + x3 −3x4 + 7x5 =0,

5x1 −10x2 + x3 +5x4 −13x5 =0.

Вариант 5.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

2x1 − x2 + 2x3 − x4 + x5 =0,x1 +10x2 −3x3 − 2x4 − x5 =0,4x1 +19x2 − 4x3 −5x4 − x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

x1 + 2x2 −7x3 +3x4 =5,

2x1 + 4x2 −31x3 +14x4 =18,

3x1 + 6x2 − 4x3 + x4 =7.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (−3) = −20 , f (−2) = −5 , f (2) =15 , f (1) = 4 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 + 2x2 +3x3 + x4 − x5 =0,2x1 − 2x2 −5x3 −3x4 + x5 =0,3x1 − 2x2 +3x3 + 2x4 − x5 =0.

Вариант 6.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

5x1 − 2x2 +3x3 − 4x4 − x5 =0,x1 + 4x2 −3x3 + 2x4 −5x5 =0,6x1 + 2x2 − 2x4 −6x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

5.Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

3x1 +9x2 +5x3 + 6x4 = 4,

2x1 + 6x2 +3x3 + x4 =5,x1 +3x2 +3x3 +14x4 = −8.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) = −2 , f (−1) = −6 , f (−2) = −20 , f (3) =10 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 + x2 + x3 − x4 − x5 =0,2x1 + x2 − 2x3 − x4 − 2x5 =0,x1 + 2x2 +5x3 − 2x4 − x5 =0.

Вариант 7.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

12x1 − x2 + 7x3 +11x4 − x5 =0,24x1 − 2x2 +14x3 + 22x4 − 2x5 =0,

x1 + x2 + x3 − x4 + x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

5. Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

x1 − x2 −3x4 = −1,

2x1 +3x2 + 2x3 +5x4 =3,7x1 − x2 + x3 −9x4 = −4,

2x1 + 2x2 +3x3 + 4x4 =5.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) =6 , f (−1) = 2 , f (2) = 20 , f (−3) = −10 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

фундаментальную систему решений для системы уравнений

2x1 + x2 −3x3 + x4 − x5 =0,3x1 − x2 + 2x3 − x4 + 2x5 =0,x1 − 2x2 +5x3 − 2x4 +3x5 =0.

Вариант 8.

1.Найти ранг матрицы методом окаймления миноров и при помощи элементарных преобразований

2.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

3.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы уравнений:

x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 =0,2x1 − x2 +3x3 + x4 −5x5 =0,x1 +3x2 − x3 −6x4 − x5 =0.

4. Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не

5. Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

x1 + 2x2 + x3 +3x4 + 2x5 = 2,2x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 2x5 =1,

3x1 + 6x2 + 4x3 +13x4 +8x5 =9,

2x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + x5 =1.

6.Найти многочлен 3-ей степени f (x) , для которого,

f (1) = −4 , f (−1) = −8 , f (2) = −10 , f (−2) = −25 .

7.Выяснить, образуют ли строки матрицы

фундаментальную систему решений для системы уравнений

x1 + 2x2 −3x3 +10x4 − x5 =0,x1 − 2x2 +3x3 −10x4 + x5 =0,x1 + 6x2 −9x3 +30x4 −3x5 =0.