Неразвёртывающиеся (косые) линейчатые поверхности

Неразвёртывающиеся линейчатые поверхности в общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям, которые однозначно задают закон её перемещения (рисунок 4.11). Множество возможных положений прямой, которая в каждый момент времени пересекает три скрещивающиеся прямые образует однополостный гиперболоид.

Рисунок 4.11 - Однополостный гиперболоид

Направляющие линии могут быть прямыми и кривыми. В общем случае линейчатая поверхность может быть построена из множества образующих прямых, пересекающих три заданные пространственные кривые (рисунок 4.12).

Рисунок 4.12 - Формирование косой поверхности

Разновидностями косых поверхностей являются линейчатые поверхности с направляющей плоскостью и частные их виды - линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана). В первом случае поверхность однозначно задается двумя направляющими линиями и направляющей плоскостью, которая заменяет третью направляющую линию. Образующая прямая скользит по двум направляющим и сохраняет постоянный угол с некоторой плоскостью , которая называется направляющей. В частном случае, если угол равен нулю, образующая прямая будет параллельна направляющей плоскости, которая в этом случае называется плоскостью параллелизма.

Поверхности с направляющей плоскостью ( 0) называются косыми цилиндроидами, если обе направляющие являются кривыми линиями; косыми коноидами - если одна из направляющих - прямая линия; дважды косой плоскостью, если направляющие - скрещивающиеся прямые.

На рисунке 4.13 показан дважды косой цилиндроид, как линейчатая поверхность с тремя направляющими, из которых две - пространственные кривые и одна прямая.

Рисунок 4.13 - Дважды косой цилиндроид

На рисунке 4.14 показан дважды косой коноид, образованный перемещением образующей прямой по трем направляющим, из которых две - прямые. Показано построение одной образующей, как результата пересечения вспомогательной плоскости, проходящей через одну из прямолинейных направляющих, с двумя другими направляющими.

Рисунок 4.14 - Дважды косой коноид

Поверхности с плоскостью параллелизма в аналогичных случаях соответственно называются прямыми цилиндроидами, прямыми коноидами и косой плоскостью.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

Прямой цилиндроид. Прямым цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум криволинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой заданной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью параллелизма.

Через каждую точку поверхности проходит одна образующая. Геометрическая часть определителя цилиндроида состоит из двух направляющих кривых линий (m и n) и плоскости параллелизма ( ). Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая направляющие кривые и параллельная плоскости параллелизма.

Прямой коноид. Прямым коноидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум направляющим, одна из которых - кривая, а вторая - прямая, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма. Коноид, направляющими которого являются кривая и прямая, а плоскостью параллелизма - плоскость, изображен на рисунке 4.15.

Рисунок 4.15 - Прямой коноид

Геометрическая часть определителя коноида состоит из двух направляющих линий (прямой и кривой) и плоскости параллелизма. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая направляющие линии и параллельная плоскости параллелизма.

Косая плоскость. Косой плоскостью называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум скрещивающимся прямым и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма.

Косая плоскость имеет два семейства прямолинейных образующих и две плоскости параллелизма. Образующие одного семейства - скрещивающиеся прямые, каждая образующая одного семейства пересекает все образующие второго. Поэтому через каждую точку поверхности проходят две прямолинейные образующие разных семейств (рисунок 4.16).

Рисунок 4.16 - Косая плоскость

Косую плоскость называют также гиперболическим параболоидом, так как при пересечении её соответствующими плоскостями в сечении можно получить параболы и гиперболы (рисунок 4.17а).

а б

Рисунок 4.17 - Гиперболический параболоид и поверхность Каталана

Геометрическая часть определителя косой плоскости состоит из направляющих прямых и плоскости параллелизма. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая направляющие прямые и параллельная плоскости параллелизма.

Косая плоскость может быть получена как поверхность Каталана путем плоскопараллельного перемещения одной из парабол, как образующей, по второй параболе, как направляющей. Результат этого кинематического варианта формирования косой плоскости показан на рисунке 4.17б. На рисунке 4.17б также показан пример гиперболического сечения рассматриваемой поверхности и его вырожденный случай - две прямые, проходящие через "седловую" точку.