Лаб2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

Национальный исследовательский университет “МИЭТ”

Институт Системной и программной инженерии и информационных технологий

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика

Лабораторная работа № 2

Критерий согласия Пирсона χ².

Встроенные статистические функции и программы пакета EXCEL

Выполнил:

Студент П-31

Татьяна

Москва, 2020

1. Цель работы

1. Изучение критерия согласия Пирсона 2 (хи-квадрат).

2. Особенности применений критерия 2. 

3. Приобретение навыков использования стандартных средств пакета EXCEL для применения критерия Пирсона. 

Вариант №16

2. Ход работы

1. Х1 имеет равномерное распределение R(a, b). Параметры а и b определяются по формулам:

a = (16 mod 10) – 9 = -3;

b = a + 10 = 7.

Разделим интервал на 5 равных частей.

Интервал 1	[-3 ; -1)
Число значений в интервале 1	17
Интервал 2	[-1 ; 1)
Число значений в интервале 2	14
Интервал 3	[1 ; 3)
Число значений в интервале 3	25
Интервал 4	[3 ; 5)
Число значений в интервале 4	20
Интервал 5	[5 ; 7)
Число значений в интервале 5	24

Если -3 < X < 7 , то f(x) = 0,1 и:

p1 = F(-1 ) - F(-3) = 0,1*(-1+3)-0,1*(-3+3) = 0,2

np1 = 20

p2 = F(1 )-F(-1) = 0,2

np2 = 20

p3 = F(3 )-F(1) = 0,2

np3 = 20

p4 = F(5 )-F(3) = 0,2

np4 = 20

p5 = F(7 )-F(5) = 0,2

np5 = 20

ρ = 4,3

Сравнение вероятностей попадания p_j в j - й интервал группировки равномерного распределения с теоретическими.

Теоретические вероятности pj		Практические вероятности pj
P1 =	0,2		P1 =	0,2
P2 =	0,2		P2 =	0,2
P3 =	0,2		P3 =	0,2
P4 =	0,2		P4 =	0,2
P5 =	0,2		P5 =	0,2

χ²₄ = 9,487729037

χ²₄ > ρ

Тогда принимаем гипотезу о равномерном распределении на уровне α = 0,05

2. Х2 имеет экспоненциальное распределение Ехp(а), где

a = 0,6

Минимум	0,065776853
Максимум	8,849301425

Разделим интервал на 5 равных частей.

Интервал 1	[0 ; 1,8)
Число значений в интервале 1	69
Интервал 2	[1,8; 3,6)
Число значений в интервале 2	23
Интервал 3	[3,6 ; 5,4)
Число значений в интервале 3	5
Интервал 4	[5,4 ; 7,2)
Число значений в интервале 4	2
Интервал 5	[7,2 ; 9)
Число значений в интервале 5	1

- a =

-0,6

p1 = e^a*0 - e^a*1,8 = 0,660404474

np1 = 66,04044744

p2 = e^a*1,8 - e^a*3,6 = 0,224270405

np2 = 22,42704046

p3 = e^a*3,6 - e^a*5,4 = 0,076161226

np3 = 7,616122594

p4 = e^a*5,4 - e^a*7,2 = 0,025864012

np4 = 2,586401156

p5 = e^a*7,2 - e^a*9 = 0,008783303

np5 = 0,87833026

Так как np4 + np5 < 5, тогда

np3+np4+np5 11,08085401

ρ = 1,003850029

Сравнение вероятностей попадания p_j в j - й интервал группировки экспоненциального распределения с теоретическими.

Теоретические вероятности pj		Практические вероятности pj
P1 =	0,686485243		P1 =	0,660404474
P2 =	0,215223254		P2 =	0,224270405
P3+P4+P5 =	0,095262568		P3+P4+P5 =	0,11080854

χ²₂ = 5,991464547

χ²₂ > ρ

Тогда принимаем гипотезу об экспоненциальном распределении на уровне α = 0,05

3. Х3 имеет нормальное распределение N(m, ). Значения параметров определяются по формулам:

m = (V mod 10) – 5 = 1

² = DX = (V mod 3) + 1 = 2

Максимум	4,485284
Минимум	-1,55883

Разделим интервал на 5 равных частей.

Интервал 1	[-2 ; -0,6)
Число значений в интервале 1	9
Интервал 2	[-0,6; 0,8)
Число значений в интервале 2	39
Интервал 3	[0,8 ; 2,2)
Число значений в интервале 3	38
Интервал 4	[2,2 ; 3,6)
Число значений в интервале 4	12
Интервал 5	[3,6 ; 5)
Число значений в интервале 5	2

p1 = Ф(-1,13137085) - Ф( -2,121320344) = 1- Ф(1,13) - 1 + Ф(2,12) = 0,1122

np1 = 11,22

p2 = Ф(-0,141421356) - Ф(-1,13137085 ) = 1 - Ф(0,14) - 1 + Ф(1,13) = 0,3151

np2 = 31,51

p3= Ф(0,848528137) - Ф( -0,141421356) = Ф(0,85) - 1 + Ф(0,14) = 0,358

np3 = 35,8

p4 = Ф(1,838477631) - Ф(0,848528137 ) = Ф(1,84) - Ф(0,85) = 0,1648

np4 = 16,48

p5 = Ф(2,828427125) - Ф(1,838477631 ) = Ф(2,83) - Ф(1,84) = 0,0306

np5 = 3,06

np4 + np5 = 19,54

ρ = 3,925543463

Сравнение вероятностей попадания p_j в j - й интервал группировки экспоненциального распределения с теоретическими.

Теоретические вероятности pj		Практические вероятности pj
P1 =	0,087930223		P1 =	0,1122
P2 =	0,360621049		P2 =	0,3151
P3 =	0,407463818		P3 =	0,358
P4+P5 =	0,137899052		P4+P5 =	0,1954

χ²₃ = 7,814727903

χ²₃ > ρ

Тогда принимаем гипотезу о нормальном распределении на уровне α = 0,05

3. Вывод:

В ходе лабораторной работы №2 мы изучили критерии согласия Пирсона ² , особенности применений критерия ² , а также приобрели навыки использования стандартных средств пакета EXCEL для применения критерия Пирсона. 

Если ρ ~ H_k-1 правее χ_0,95 , то в этом случае мы гипотезу о предполагаемом законе распределения отклоняем. В обратном случае (если ρ левее χ_0,95 ) гипотезу принимаем. Однако при этом мы можем допустить ошибку первого рода – отклонить верную гипотезу с вероятностью 0,05.

7