Добавил:

AnonimusPro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Физика

Файл:

Семинар 5 Механика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.01.2021

Размер:

241.79 Кб

Скачать

☆

Семинар №5

Момент инерции. Момент импульса. Момент силы

Для описания вращения тела вокруг неподвижной оси используются следующие физические величины:

1.Момент инерции тела J относительно заданной оси, характеризующий инертность тела в отношении вращательного движения.

2.Момент импульса тела L=J относительно заданной оси, являющийся количественной мерой вращательного движения тела, – угловая скорость вращения тела вокруг оси.

3.Момент силы М относительно заданной оси, который действует на тело и определяет скорость изменения во времени его момента импульса относительно оси вращения

		M		dL		.	(5.0.1)

				dt
Если при вращении момент инерции тела остается постоянным, то
уравнение вращательного движения преобразуется к виду:
	d (J)	J	d		J M ,		(5.0.2)

	dt		dt

где ddt – угловое ускорение тела.

При описании вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки используется момент импульса относительно точки, который определяется с помощью векторного произведения

( ypz zpy )i

(xpz zpx ) j

(xp y ypx )k

(5.0.3)

px py pz

где r –

радиус-вектор,

проведенный

из выбранной

точки в

ту

точку, где

находится начало вектора импульса

p (в точку нахождения частицы).

Аналогично можно определить вектор момента M

силы F

относительно

заданной точки

M [r

F ]

( yFz zFy )i (xFz

zFx ) j (xFy yFx )k

(5.0.4)

Момент импульса

L или силы F

относительно точки О обозначается как

или M 0

(см. рис. 5.1)

Рис. 5.1. Точка О – начало координат, r

– радиус-вектор точки О` , где

находится начало вектора

P и точка приложения силы

F .

Рассмотрим проекцию вектора M 0 на ось z, проходящую через точку О. Из выражения (5.0.4) получим:

M z xFy	yFx .		(5.0.5)
Величина Mz называется моментом	силы		относительно заданной оси z.
		F

Важно отметить, что Mz не зависит от координаты z точки приложения силы и

определяется только той компонентой силы, которая		лежит в плоскости,

перпендикулярной оси z. Эта компонента обозначается	F . Соответственно,		F\|\|

обозначает компоненту силы, параллельную оси z (см. рис. 5.2). Таким образом, полная сила


		F	F F\|\| .			(5.0.6)

Момент силы	F относительно			оси z	есть	проекция момента силы
относительно произвольной точки на эту ось:

		M z	d \| F \| .			(5.0.7)
Длина отрезка d r sin ,		перпендикулярного к				его компоненте силы	F ,
называется плечом	силы		–	угол	между радиусом-вектором
называется плечом	силы	F ,	–	угол	между радиусом-вектором		r и

компонентой силы F .

Рис. 5.2. Точка О –	точка пересечения плоскости, проходящей через
точку O` приложения силы		перпендикулярно оси z.
	F

Задача №13

Сила F , имеющая проекции Fx=1Н, Fy=2H, Fz=3H, приложена в точке О

с координатами (x,y,z) = (4м,5м,6м). Определить момент силы M 0 относительно начала системы координат (x,y,z) = (0,0,0), момент силы M z относительно оси z и плечо силы d относительно оси z.

Решение Согласно определению момент силы относительно точки (0,0,0):

( yFz

(xFz

(xFy

M [r

F ]

zFy )i

zFx ) j

yFx )k .

(5.1.1)

Подставляя значения из условий задачи, получим

M 0 =(5 3–6 2) i –(4 3–6 1) j +(4 2–5 1) k =( 3i 6 j 3k ) Н м .

Момент силы относительно оси z:

M z xFy yFx 4 2 5 1 3H м .

(5.1.2)

(5.1.3)

Плечо d силы F относительно оси z находится с помощью формулы

d	M z	,	(5.1.4)

	F

где величина F определяется по теореме Пифагора:

F 2 F 2 .

(5.1.5)

Из (5.1.4) и (5.1.5) следует, что плечо силы

M z

1,34м .

(5.1.6)

F 2 F 2

2,24

Ответ: M 0

= (3i

6 j

3k )Н м ; M z 3Н м ; d=1,34м.

Задача №14

Частица массой m=10г движется с постоянной скоростью =18км/ч в

положительном направлении

оси

по

закону

x t .

Определить: момент

импульса частицы

относительно точки с координатами (x1, y1, z1) (0,1,0) м, и

момент импульса частицы Ly относительно оси y для t>0.

Решение:

Момент

импульса

частицы

относительно

заданной

точки

определяется формулой:

x1 р

y1 р z1 р

( y1 р pz z1 p p y )i (x1 p pz

z1 p px ) j

(x1 p p y y1 p px )k

(5.2.1)

px py pz

где согласно условиям x1 p xp x1 t ,

y1 p

yp y1 1м , z1 p zp z1 0 ,

( t, 0, 0) - радиус-вектор частицы, проведенный из точки 1, px m ,

py 0 ,

0 .

Таким образом,

(0 1

(5.2.2)

L [r

0 j

m )k

m k

0,05k Дж с .

Момент импульса частицы Ly

относительно оси y есть проекция на эту

ось момента

импульса

частицы относительно

произвольной

точки

О,

принадлежащей данной оси. Согласно (5.2.2)

Ly=0.

(5.2.3)

Ответ:

L =(0;0;0,05) Дж с , Ly=0.

Задача №15

Вычислите момент инерции J однородноготонкого стержня массой m и длиной l относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей 1)через конец стержня, 2)через середину стержня.

Решение:

Выберем ось z перпендикулярную стержню и проходящую через конец стержня, при этом ось x направим вдоль стержня (рис. 5.3).

z
	dm
О	x
l	dx

Рис. 5.3.

Согласно определению момента инерции

m	m	l	l	m		m	l	m	x	3	l		ml	2
J r2dm x2dm x2 dx x2				m	dx	m	x2dx	m	x				ml		.	(5.3.1)
J r2dm x2dm x2 dx x2					dx		x2dx								.	(5.3.1)
0	0	0	0	l		l	0	l 3			0	3
0	0	0	0				0				0

Во втором случае выберем ось z, проходящую через центр стержня. В результате момент инерции стержня определяется выражением:

J r 2dm x2dm x2 dx x2

x2dx

(5.3.2)

l 3

Ответ: а)

ml2

, б) J

ml2

Соседние файлы в предмете Физика

#
10.01.2021218.42 Кб5Семинар 2. Термодинамика.pdf
#
10.01.2021313.57 Кб3Семинар 3 Механика.pdf
#
10.01.2021208.42 Кб7Семинар 3. Уравнение Ван-дер-Ваальса.pdf
#
10.01.2021367.65 Кб3Семинар 4 Механика.pdf
#
10.01.2021265.01 Кб4Семинар 4 Распределение Максвелла.pdf
#
10.01.2021241.79 Кб2Семинар 5 Механика.pdf
#
10.01.2021257.4 Кб2Семинар 5 Распределение Больцмана.pdf
#
10.01.2021260.82 Кб2Семинар 6 Механика.pdf
#
10.01.2021211.98 Кб2Семинар 6 Процессы переноса.pdf