Семинар 4 Распределение Максвелла

4. Распределение Максвелла

При статистическом методе описания равновесного состояния макроскопической системы одинаковых частиц основной характеристикой является функция распределения или плотность вероятности случайной величины. В случае теплового движения компоненты скоростиx , y , z частиц рассматриваются как независимые случайные величины,

изменяющиеся непрерывным образом от - до + . Если система из большого числа одинаковых частиц находится в тепловом равновесии с температурой Т, то справедлив закон распределения Максвелла. Согласно этому закону, распределение частиц по абсолютным значениям скорости

имеет вид

где m – масса частицы и k=1,38 10-23Дж/К – постоянная Больцмана. График зависимости F( ) приведен на рисунке.

Максимум функции F( ) определяет наиболее вероятную скорость частиц. Функция распределения F( ) определяет вероятность dP( ) того, что произвольная частица имеет абсолютное значение скорости в интервале

, +d ,

dP( ) F( )d

и подчиняется условию нормировки

F ( )d dP 1 .

0 0

Задача №10 Определить наиболее вероятную среднюю и среднеквадратичную

скорости молекул хлора Cl2 при температуре Т=500К. Молярная масса хлора

71г .

Решение Наиболее вероятная скорость движения молекул идеального газа в

условиях равновесия находится с помощью уравнения

14

Среднеквадратичная скорость молекул хлора

При вычислении интеграла в (10.4) использовалось известное значение несобственного интеграла

Интересно отметить, что все три вычисленные скорости теплового движения молекул хлора превышают скорость звука в воздухе 330м/с.

Ответ: вер 346м / с , ср 390м / с , ср.кв 424м / с .

Задача №11 Как зависит от давления Р средняя скорость ср частиц идеального газа

при адиабатном процессе?

Решение Задача решается с помощью уравнения адиабатного процесса

15

где Р – давление, V – объѐм и – показатель адиабаты, формулы для средней скорости теплового движения частиц

и уравнения состояния идеального газа – уравнения Клапейрона-Менделеева

где С2 – постоянная.

1

Ответ: ср C2 p 2 , С2 – постоянная и – показатель адиабаты (для идеального

газа Ср CV 53).

При достаточно большой температуре в тепловом движении многоатомной молекулы участвуют все еѐ степени свободы: поступательные, вращательные и колебательные. В случае теплового равновесия справедлив классический закон о равнораспределении средней кинетической энергии теплового движения по всем степеням свободы молекулы. При этом средняя кинетическая энергия теплового движения, приходящаяся на 1 степень свободы равна kT/2, где k – постоянная Больцмана и Т – температура системы:

кин.х кин. у кин.z 12 kT ,

кин.вр 12 kT ,

кин.кол. 12 kT .

Полная средняя кинетическая энергия теплового движения многоатомной молекулы определяется формулой

кин. n 12 kT ,

где n – полное число степеней свободы молекул, участвующих в тепловом движении при заданной температуре Т.

Задача №12 Определить среднеквадратичную угловую скорость ср.кв. вращения

молекул кислорода О2 относительно оси симметрии молекулы, если температура газа Т=300К и момент инерции относительно заданной оси

I=19,2 10-40г/см2.

16