15. Определение днф. Как проверить, что формула является противоречием с помощью днф?

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция конечного числа элементарных конъюнкций.

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция конечного числа переменных и (или) их отрицаний.

Любая формула логики высказываний может быть записана в форме ДНФ, которая ей равносильна.

Если формула Ф, приведенная к ДНФ, в каждой элементарной конъюнкции содержит некоторую переменную и ее отрицание, то она является противоречием.

Алгоритм приведения к ДНФ:

1)Привести формулу к булевой форме

2)Спустить отрицания до переменных, используя законы де Моргана.

3)Раскрыть скобки, используя закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции

16. Правило резолюций. Вывод формулы по правилу резолюций в логике высказываний (определение)

Правило резолюций:

(A ∨ B), (!A ∨ C)|- B ∨ C

Вывод формулы по правилу резолюций:

Пусть дано множество элементарных дизьюнкций S = {S₁, S₂, . . . , S_p} (гипотез). Говорят, что из S выводится тождественная ложь (Л) по правилу резолюций, если существует список вывода (доказательство) D₁, D₂, . . . , D_n, удовлетворяющий требованиям:

1)D_n =Л

2) ∀D_i, i < n может быть одной из гипотез S_k ∈ S;

3)∀D_i, i < n выводится из предыдущих формул в списке вывода по правилу резолюций.

17. Алгоритм метода резолюций в логике высказываний

Алгоритм:

Дана клауза P₁, P₂, ... , P_n |- D, где P₁,P₂, . . . , P_n, D – формулы логики высказываний.

1) Записать клаузу в форме конъюнктивного противоречия

P₁, P₂, ... , P_n, !D |- Л

2) Привести каждую гипотезу к КНФ в форме предложения и подставить в список гипотез слева.

3) Вывести Л из полученного множества элементарных дизьюнкций по правилу резолюций.

18.Как задать аксиоматическую теорию (4 пункта).

1) Задан алфавит A символов

2) Определено понятие формулы над алфавитом A

3) Из множества всех формул, выделена группа формул – аксиом АТ

4) Заданы правила вывода формулы в данной теории

19.Определение вывода формулы в аксиоматической теории.

Пусть дано множество формул P = {P₁, P₂, ... , P_m} (гипотез).

Говорят, что из P выводится формула D по правилам вывода АТ, если существует список вывода (доказательство):

D₁, D₂, ..., D_n, удовлетворяющий требованиям:

1)D_n = D

2)∀D_i, i < n может быть одной из гипотез P_k ∈ P

3)∀D_i, i < n может быть одной из аксиом (теорем) теории

4) ∀D_i , i < n выводится из предыдущих формул в списке вывода по правилам вывода данной теории

В этом случае клауза P₁, P₂, ... , P_n |- D считается доказанной в АТ

20.Правила подстановки и m.P.

Правило подстановки:

Любую букву, входящую в аксиому (теорему) ФАТ можно заменить формулой и получить новую теорему ФАТ.

Правило отделения (modus ponens (m.p.)):

Из истинности условия импликации и истинности самой импликации следует истинность следствия (заключения) импликации.

A, A→B |- B

21.Теорема дедукции.

Теорема дедукции:

Пусть Г-список гипотез, А, В - формулы.

Если Г, А|- В тогда Г |- A→B.

22. Правила силлогизма и разъединения посылок.

Правило силлогизма для формул: A→B, B→C |- A C

Правило силлогизма для теорем:

Если доказаны теоремы |- A → B, |- B → C, то доказана теорема |- A → C.

По теореме дедукции и правилу m.p. правило силлогизма равносильно Теореме 3:

|- (A → B) → ((B → C) → (A → C))

Разъединение посылок:

A ∧ B→C |- A→(B→C)

По теореме дедукции и правилу m.p. правило соединения посылок равносильно Теореме 6(а): |- (A → (B → C)) → (A ∧ B → C).

23. Правила перестановки и соединения посылок.

Правило перестановки для формул:

A → (B → C) |- B → (A → C)

Правило перестановки для теорем:

Если доказана теорема |- A → (B → C), то доказана теорема |- B → (A → C).

По теореме дедукции и правилу m.p. правило перестановки равносильно Теореме 4:

|- (A → (B → C)) → (B → (A → C)).

Соединения посылок:

(A → (B → C)) |- A ∧ B→C

24. Полнота и непротиворечивость аксиоматической теории (определения). Независимость системы аксиом.

ФАТ называется полной, если любая тавтология выводима из аксиом ФАТ с помощью правил вывода данной теории (т.е. является теоремой теории).

ФАТ называется непротиворечивой, если не существует такой формулы Φ, чтобы в ФАТ могли были доказаны теоремы |- Φ и |- !Φ.

Система аксиом ФАТ называется независимой, если не существует аксиомы, выводимой из остальных.

25. Определение предиката. Предметное множество и предметные переменные. Местность предиката.

Функция P(x₁, x₂, . . . , x_n) от n переменных называется предикатом, если ∀(x₁, x₂, ... , x_n) P(x₁, x₂, . . . , x_n)∈{И,Л}

Переменные (x₁, x₂, … , x_n) предиката P(x1, x2, . . . , xn) называются предметными переменными, каждая из них принимает свои значения из некоторого предметного множества Mi, i = 1, 2, . . . , n

Число переменных предиката (n = 0, 1, 2 ...) называется местностью предиката.

26. Связывание кванторами всеобщности и существования (определение, примеры).

Пусть P(x) – одноместный предикат, где x ∈ M. Тогда, по определению, (∀x)P(x) – нуль-местный предикат, который принимает значение И, если P(x)=И для каждого x ∈ M

Пусть P(x) – одноместный предикат, где x ∈ M. Тогда, по определению, (∃x)P(x) – нуль-местный предикат, который принимает значение И, если существует элемент a ∈ M такой, что P(a) = И.

27. Интерпретация формулы. Равносильность формул в данной интерпретации.

Формула – слово, составленное по следующим правилам:

1) Пусть x_i1, x_i2, ..., x_ik – предметные переменные (индексы переменных могут быть одинаковыми), тогда P(x_i1, x_i2, ..., x_ik) – атомарная формула, где все переменные называются свободными.

2) Пусть доказано, что A(x) – формула, где x – её свободная переменная (остальные переменные не указаны), тогда слова (∀x)A(x), (∃x)A(x) –формулы, в которых переменная x называется связанной, а сама формула A(x) называется областью действия квантора.

3) Пусть доказано, что A – формула со связанными и свободными переменными, тогда слово (A) – формула, в которой все связанные переменные A остались связанными, а свободные – свободными.

4) Пусть доказано, что A, B – формулы со связанными и свободными переменными, и нет такой переменной x_i которая связана в A и свободна в B (или свободна в A и связана в B). Тогда слова (A ∨ B), (A ∧ B), (A → B), (A~B) – формулы, в которых все связанные переменные A, B остались связанными, а свободные – свободными