6. Определение формулы алгебры высказываний.

Формула в логике высказываний строится индуктивно. Вводится алфавит символов:

1) высказывательных переменных (обозначаются, как и высказывания, прописными латинскими буквами А, В, С, P, Q …)

2) логических связок;

3) открывающихся и закрывающихся скобок ( ).

Словом в данном алфавите называется любая конечная последовательность символов. Формула над данным алфавитом – это слово, составленное по следующим правилам:

1) Любая высказывательная переменная – атомарная формула;

2) Слова (А), (А∧ В), (А∨В), (А→В), (А~В) являются формулами, если известно, что А и В - формулы ;

3) Других формул, кроме построенных согласно требованиям 1,2, нет.

7. Свойство коммутативности и дистрибутивности. Какие логические связки им удовлетворяют?

1) Закон коммутативности x ◦ y = y ◦ x, ◦ ∈ { ∨, ∧ , ∼};

2) Законы дистрибутивности:

1. Конъюнкции относительно дизъюнкции:

x ∧ (y ∨ z) = x ∧ y ∨ x ∧ z;

2. Дизъюнкции относительно конъюнкции:

x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z);

8. Свойство ассоциативности и идемпотентности. Какие логические связки им удовлетворяют? Правила де Моргана.

1) Законы ассоциативности A o (B o С) = (A o B) o С, ∈{∧,∨,∼};

2)Законы идемпотентности:

А ∧ А = А – идемпотентность ∧

А ∨ А = A – идемпотентность ∨

3)Законы де Моргана:

!(А ∧ В) = !А ∨ !В - первый закон де Моргана;

!(А ∨ В) = !А ∧ !В - второй закон де Моргана;

9. Представление эквиваленции и импликации булевыми формулами.

! - инверсия

А ~ В = ( А & В ) ∨ ( !А & !В ) = ( А ∨ !В ) & ( !А ∨ В ) ;

А → В = !А ∨ В = !(А & !В) ;

10. Равносильные формулы. Формулы поглощения и расщепления.

A ∧ (A ∨ B) = A – первый закон поглощения

A ∨ (A ∧ B) = A – второй закон поглощения

11. Тавтология и противоречие. Свойства констант (6 законов).

Формула называется тавтологией, или тождественно истинной, если задаваемая ею функция истинна при всех значениях высказывательных переменных. Формула называется противоречием, или тождественно ложной, если задаваемая ею функция ложна при всех значениях высказывательных переменных.

Обозначение: Φ = И – тавтология; Φ = Л – противоречие.

Свойства констант

1. А ∧ А = Л

2. А ∨ А = И

3. А ∨ Л = А

4. А ∧ И = А

5. А ∧ Л = Л

6. А ∨ И = И

12 Двойственная формула. Принцип двойственности.

Формула Ф* называется двойственной по отношению к булевой формуле Ф, если:

1) все вхождения дизъюнкции заменить на конъюнкцию

2) все вхождения конъюнкции заменить на дизъюнкцию

Принцип двойственности: две формулы равносильны, т.е. Φ1 = Φ2 тогда и только тогда, когда равносильны двойственные к ним.

13. Проблема разрешимости в логике высказываний.

Проблема разрешимости:

Существует ли процедура, которая за конечное число шагов позволяет выяснить, является ли произвольная формула логики высказываний тавтологией, или нет?

Ответ:

Такая процедура существует, т.е. проблема разрешимости алгоритмически разрешима.

14. Определение кнф. Как проверить, что формула является тавтологией с помощью кнф?

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – конъюнкция конечного числа элементарных дизъюнкций.

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция конечного числа переменных и (или) их отрицаний.

Любая формула логики высказываний может быть записана в форме КНФ, которая ей равносильна.

Если формула Ф, приведенная к КНФ, в каждой элементарной дизъюнкции содержит некоторую переменную и ее отрицание, то она является тавтологией.

Алгоритм приведения к КНФ:

1) привести формулу к виду ДНФ

2) построить двойственную ей формулу

3) найти ДНФ полученной формулы

4) Построить двойственную к полученной формуле.