Ответы на вопросы по матлогике

Оглавление

1. Высказывания: простые, сложные, примеры высказываний. Истинностное значение высказывания. 4

2. Определение логичного рассуждения. Примеры. 4

3. Логичные рассуждения и проверка на тавтологию (как связаны) 4

4. Логичные рассуждения и проверка на противоречие (как связаны) 4

5. Дать определение конъюнкции и импликации, дизъюнкции и эквиваленции. 4

6. Определение формулы алгебры высказываний. 6

7. Свойство коммутативности и дистрибутивности. Какие логические связки им удовлетворяют? 7

8. Свойство ассоциативности и идемпотентности. Какие логические связки им удовлетворяют? Правила де Моргана. 7

9. Представление эквиваленции и импликации булевыми формулами. 7

10. Равносильные формулы. Формулы поглощения и расщепления. 7

11. Тавтология и противоречие. Свойства констант (6 законов). 7

12 Двойственная формула. Принцип двойственности. 8

13. Проблема разрешимости в логике высказываний. 8

14. Определение КНФ. Как проверить, что формула является тавтологией с помощью КНФ? 8

15. Определение ДНФ. Как проверить, что формула является противоречием с помощью ДНФ? 9

16. Правило резолюций. Вывод формулы по правилу резолюций в логике высказываний (определение) 9

17. Алгоритм метода резолюций в логике высказываний 10

18.Как задать аксиоматическую теорию (4 пункта). 10

19.Определение вывода формулы в аксиоматической теории. 10

20.Правила подстановки и m.p. 11

21.Теорема дедукции. 11

22. Правила силлогизма и разъединения посылок. 11

23. Правила перестановки и соединения посылок. 11

24. Полнота и непротиворечивость аксиоматической теории (определения). Независимость системы аксиом. 12

25. Определение предиката. Предметное множество и предметные переменные. Местность предиката. 12

26. Связывание кванторами всеобщности и существования (определение, примеры). 12

27. Интерпретация формулы. Равносильность формул в данной интерпретации. 12

28. Равносильность формул на множестве и в логике предикатов. Перенос квантора через отрицание. 13

29. Правила вынесения квантора за скобки. 13

30. Приведенная и нормальная формы формул (определение). 14

31. Выполнимость и общезначимость формулы логики предикатов. 14

32. Проблема разрешимости в логике предикатов. Теорема Черча-Тьюринга. 14

1. Высказывания: простые, сложные, примеры высказываний. Истинностное значение высказывания.

Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно однозначно заключить, истинно (И) оно или ложно (Л) . Значения истина (И) или ложь (Л), приписываемые высказыванию, называют истинностными значениями высказывания. Они формируют множество истинностных значений M={истина, ложь}. Высказывания обозначаются прописными латинскими буквами.

Высказывания могут быть простыми или сложными. Высказывание, не содержащее логических связок, называется простым. Высказывание, содержащее логические связки, называется сложным.

2. Определение логичного рассуждения. Примеры.

Рассуждение называется логичным (или правильным), если всякий раз, когда все гипотезы истинны, истинно также и заключение. Данное определение равносильно следующему: если заключение ложно, то хотя бы одна из гипотез также является ложной.

3. Логичные рассуждения и проверка на тавтологию (как связаны)

Формальная запись рассуждения P1 P2 … Pn|−D называется клаузой. Из определения логичности следует, что эта клауза верная (а рассуждение логично) тогда и только тогда, когда формула P1 ∧ P2 ∧…∧ Pn → D является тавтологией.

4. Логичные рассуждения и проверка на противоречие (как связаны)

Формальная запись рассуждения P1 P2 … Pn|−D называется клаузой. Из определения логичности следует, что эта клауза верная (а рассуждение логично) тогда и только тогда, когда формула P1 ∧ P2 ∧ …∧ Pn ∧ !D является противоречием (тождественно ложной).

5. Дать определение конъюнкции и импликации, дизъюнкции и эквиваленции.

1) конъюнкция

Пусть A, B - некоторые высказывания. Тогда конъюнкция A ∧ B, A&B – сложное высказывание, которое истинно (И) тогда и только тогда, когда A, B - одновременно истинны (И).

A	B	A^B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Формализация языка с помощью конъюнкции:

1 А и В;

2 не только А, но и В;

3 В, хотя и А;

4 В, не смотря на А;

5 Как А, так и В;

6 А вместе с В;

7 А, в то время как В;

2) дизъюнкция

Пусть A, B - некоторые высказывания. Тогда дизъюнкция A ∨ B – сложное высказывание, которое ложно (Л) тогда и только тогда, когда A, B - одновременно ложны (Л).

A	B	A∨B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Формализация языка с помощью дизъюнкции:

1 А или В;

2 Хотя бы одно из двух А или В;

3) импликация

Пусть A, B - некоторые высказывания. Тогда импликация A → B, A ⊃ B – сложное высказывание, которое ложно (Л) тогда и только тогда, когда A - истинно (И), а B - ложно (Л).

A	B	A→B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Формализация языка с помощью импликации:

1 Если А, то В;

2 А, только если В;

3 В, если А;

4 А влечет В;

5 А достаточно для В;

3 В необходимо для А;

4) эквиваленция

Пусть A, B - некоторые высказывания. Тогда эквиваленция A ∼ B – сложное высказывание, которое истинно (И) тогда и только тогда, когда значения A, B - одинаковы.

A	B	A∼B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Формализация языка с помощью эквиваленции:

1 А эквивалентно (равносильно) В;

2 А тогда и только тогда, когда В;

3 А необходимо и достаточно для В;