Вопрос №18. Диаграммы Хассе

Определение диаграммы Хассе.

Любое частично-упорядоченное мн-во можно представить в виде схемы, в которой каждый элемент изображается точкой на плоскости. Если элемент у покрывает элемент х, то х и у соединяются отрезком, причем точка х располагается ниже точки у. Такие схемы называют диаграммами Хассе.

Элемент у покрывает элемент х:

Пусть А ≠ ∅ и card A < ∞. Пусть p (подмножество А²) — отношение порядка. Элемент у покрывает элемент х, если у ≤ х и не существует u ∈ A (x < u < y).

Примеры применения и свойства.

Пример первый.

Возьмём некоторое множество A = {3;6;4} и построим отношение ƿ, где ƿ: P(A) x P(A). P(A) – множество всех подмножеств, его можно представить в таком виде: { Ø, {3}, {6}, {4}, {3;6}, {6;4}, {3;4}, {3;6;4}}. Построим диаграмму Хассе данного отношения. На Рис. 1, представлена эта диаграмма.

Рис.1 Диаграмма Хассе для первого отношения

Отметим, что в этой диаграмме один элемент “Покрывает” другой, то есть, если мы берём два случайных элемента, то они не равны друг – другу и одни из этих элементов предшествует другому. К примеру, возьмём из диаграммы элемент Ø и {3}, они не равны друг – другу и один предшествует другому.

Ещё одним свойством диаграммы Хассе является то, что из любой части диаграммы можно добраться в любую другую.

Пример второй.

Построим диаграмму Хассе для отношения Ω, где Ω: быть делителем. Возьмём множество A = {1;2;4;5;10}. Построенная диаграмма показана на Рис. 2.

Рис.2 Диаграмма Хассе для второго

отношения

Введём новые понятия для данного вида диаграмм. Наибольший (Величайший) и Наименьший элемент. Наименьший элемент диаграммы является тем элементом, который начинает диаграмму, а наибольшим (величайшим), тем элементом, который её заканчивает. Причём если наибольших (величайших) или наименьших элементов несколько, то в ответ будет записываться, что наибольшего или наименьшего элемента нет. Другими словами, наибольший (величайший) и наименьший элемент на диаграмме Хассе — только один.

Возвращаясь к первому примеру, там сразу видно, что наименьшим элементом у нас будет Ø, а наибольшим (величайшим) {3;6;4}. Во втором примере наименьшим элементом будет 1, а наибольшего (величайшего) элемента не будет, т.к. наибольшими (величайшим) элементами могут быть сразу 4 и 10, следовательно, наибольшего (величайшего) элемента во втором примере нет.

Максимальные элементы — это те, которые не заменяются другим элементом. Минимальные элементы — это те, которым не предшествует другой элемент.

Вопрос №19. Изоморфные, частично упорядоченные множества

Бинарное отношение R ⊆ A² на множестве A называется отношением частичного порядка на множестве A, если оно

1) антисимметрично, т.е. ∀x , y ∈ A из R(x , y) и R(y , x) следует x = y (совпадение элементов);

2) транзитивно, т.е. ∀x , y , z ∈ A из R(x , y) и R(y , z) следует R(x , z).

Если отношение при этом рефлексивно, то это отношение нестрогого частичного порядка. Если же отношение антирефлексивно, то это отношение строгого частичного порядка.

Если a, b ∈ A и a ≤ b, то говорят, что элемент a предшествует или равен элементу b, или элемент b следует или равен элементу a.

Пусть R ⊆ A2 – отношение частичного порядка на множестве A. Если для элементов a, b ∈ A верно R(a, b) или верно R(b, a), то элементы a и b называются сравнимыми.

Элементы a, b ∈ A, не являющиеся сравнимыми, называются несравнимыми.

Если все пары элементов множества A сравнимы относительно порядка R , то порядок R называется линейным.

Множество A с заданным на нем частичным порядком R называется частично упорядоченным множеством (ЧУМ) и обозначается (A;R).

Если частичный порядок R является линейным, то ЧУМ (A;R) называется линейно упорядоченным множеством.

Изоморфизмы

Два частично упорядоченных множества называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, то есть взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок. (Естественно, что в этом случае они равномощны как множества.) Можно сказать так: биекция   называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств   и  , если

для любых элементов   (слева знак   обозначает порядок в множестве  , справа - в множестве  ).

Очевидно, что отношение  изоморфности рефлексивно (каждое множество изоморфно самому себе), симметрично (если   изоморфно  , то и наоборот) и транзитивно (два множества, изоморфные третьему, изоморфны между собой). Таким образом, все частично упорядоченные множества разбиваются на классы изоморфных, которые называют порядковыми типами. (Правда, как и с мощностями, тут необходима осторожность - изоморфных множеств слишком много, и потому говорить о порядковых типах как множествах нельзя.)