Объединение:
ρ ∪ τ = {(a,b) | (a,b) ∈ ρ или (a,b) ∈ τ}
Пример: Объединение "x является отцом y" и "x является матерью y" есть "x является родителем y"
Пересечение: ρ ∩ τ = {(a,b) | (a,b) ∈ ρ и (a,b) ∈ τ}
Пример: Пересечение "x старше y" и "x является братом y" есть "x является старшим братом y"
Дополнение:
=
{(a,b)
| (a,b)
∈
А×А и
(a,b)
∉
ρ}
Пример: Отношение «<» есть дополнение к отношению «≥».
Разность: ρ \ τ = {(a,b) | (a,b) ∈ ρ и (a,b) ∉ τ}
Пример: Разность "x является братом y" и "x старше y" есть "x является младшим братом y"
Симметрическая разность: ρ ∆ τ = {(a,b) | (a,b) ∈ ρ и (a,b) ∈ τ и (a,b) ∉ ρ∩τ }
Пример: Пусть: ρ = {1, 2, 3}, τ = {2, 3, 4} Тогда: ρ ∆ τ = {1, 4}.
Обратное отношение: ρ-1 = {(a,b) | (b,а) ∈ ρ}
Пример 1: Отношение «<» есть обратное к отношению «>» Пример 2: Отношение "x является родителем y" есть обратное к "x является
ребенком y"
Композиция:
ρ ○ τ = {(a,с) | ∃b ∈ A ((a,b) ∈ τ и (b,c) ∈ ρ) Пример 1: ρ – отношение «быть матерью» σ – отношение «быть сыном». 1) τ = σ о ρ , (a,c)∈ τ ↔ ∃b∈A ( (a,b)∈ρ ∧ (b,c) ∈σ ) тогда «а мать b» , «b сын с», Следовательно: τ – отношение «быть супругами» или «быть самим собой» 2) τ = ρ о σ , (a,c)∈τ ↔ ∃b∈A ( (a,b)∈σ ∧ (b,c)∈ρ ) тогда «а сын b» , «b мать с» τ – отношение «быть братом» или «быть самим собой»
Пример 2: ρ – отношение «быть братом», σ – отношение «быть дочерью» 1) τ = ρ о σ , (a,c)∈τ ↔ ∃b∈A ( (a,b)∈σ ∧ (b,c)∈ρ ) тогда «а дочь b», «b брат с» τ – отношение «быть племянницей» 2) τ = σ о ρ , (a,c)∈τ ↔ ∃b∈A ( (a,b)∈ρ ∧ (b,c) ∈σ ) тогда «а брат b» , «b дочь с» τ – отношение «быть сыном»
Вопрос №13. Свойства отношений
[рефлексивность, симметричность, транзитивность. С, НС, АС, Р, НР, АР, Т, АТ]
Вопрос №14. Отношение эквивалентности. Пример
Теорема
Пусть ρ – подмножество A2 и является отношением эквивалентности , тогда: • если х ∈ А , то х ∈ [x], то есть каждый элемент порождает класс эквивалентности со своим именем. • если х,у ∈ А ∧ (х,у) ∈ ρ → [x]=[y] , то есть , класс эквивалентности порождается своим любым элементом. (любые элементы из одного класса равноправны при определении этого класса)
Доказательство
Докажем пункт 2. (х,у) ∈ ρ. Требуется доказать, что [x] = [y]. Для этого достаточно проверить два включения: [x]⊆[y] и [y]⊆[x]. 1)Проверим первое из этих включений. Пусть z∈[x], тогда (z,x)∈ρ. Из (z,x)∈ρ и данного условия (х,у) ∈ ρ, в силу транзитивности ρ, получаем (z,y)∈ρ, т.е. z∈[y]. Итак, включение [x]⊆[y] проверено. 2)Докажем обратное включение: [y]⊆[x]. Пусть z∈[y], тогда (z,y)∈ρ. В силу симметричности из данного в теореме условия (х,у) ∈ ρ следует (y,x) ∈ ρ. Тогда из условий (z,y)∈ρ и (y,x) ∈ ρ, в силу транзитивности R, вытекает, что (z,x)∈ρ, т.е. z∈[x]. Следовательно, и обратное включение [y]⊆[x]. тоже доказано. Итак, [x] = [y], если (х,у) ∈ ρ.
ОЭ разбивает множество на непересекающиеся подмножества.
Классы эквивалентности. Разбиение множества. Класс эквивалентности
