3) Мощность объединения двух счётных множеств

Теорема 3. (Мощность объединения двух счетных множеств)

Объединение двух счетных множеств есть счетное множество.

Доказательство. 

Рассмотрим два счетных множества A и B; каждое из них можно записать в последовательность: 

a0, a1, a2, a3, . . .

b0, b1, b2, b3, . . . 

Теперь нетрудно перечислить и элементы множества A ∪ B, чередуя элементы из A с элементами из B: a0, b0, a1, b1, a2, b2, . . . . 

Если A и B не пересекаются, то на этом рассуждение заканчивается — но если пересекаются, то в этой последовательности общие элементы встретятся по два раза. Как это исправить? 

Если очередной элемент уже встречался ранее (например, если элемент aj совпадает с элементом bi , где i < j), то мы его пропускаем и второй раз не выписываем.

Доказано.

4) Теорема Кантора

Множество действительных чисел интервала (0,1) несчетно.

Доказательство.

Предположим противное: множество точек (0,1) счетно. Тогда существует биекция между множеством натуральных чисел N и точками интервала (0,1).

ai ∈{0,1,2,...9} Первый индекс показывает какое число сопоставлено, второй - доли числа. 

Покажем, что в эту таблицу включены не все элементы интервала (0,1). Рассмотрим новое число β,  β=0, b1, b2, ... где b1≠a11, b2≠a22, b3≠a33. Значит это число не совпадает с α1, α2, α3 и тд. → пришли к противоречию.

Доказано.

5) Теорема о мощности интервала

Теорема 5 (теорема о мощности интервала)

Пусть даны  -∞<a<b<+∞. Тогда card(a,b) = card[a,b] = card [a,b) =  card(a,b] = c

Доказательство.

1) card[0,1]=card (0,1)  {0,1} = c

2) Установим биекцию между [0,1] и [a,b]:

Пусть x [a,b], тогда    [0,1].

Биекция установлена - мощности равны

Доказано.

6) Основные результаты теории мощности бесконечных множеств. Проблема континуума

Результаты: 1) Любое бесконечное подмножество бесконечного множества равномощно ему

2) Бесконечные множества могут иметь разные мощности

3) Множество максимальной мощности не существует

Проблема континуума состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами теории множеств следующее утверждение, называемое континуум-гипотезой:

Мощность континуума наименьшая из мощностей, превосходящая мощность счетного множества, и промежуточных мощностей между счетным множеством и множеством континуума нет.

Вопрос №11. Отношения. Определение бинарного, n-арного отношения

n-арным отношением R, заданным на множествах A₁, A₂, … , A_n называется подмножество декартова произведения этих множеств : R A₁ x A₂ x … x A_n

При n = 1 – унарное отношение – является подмножеством множества В.

При n=2 – бинарное отношение. Бинарным отношением R из множества А в множество B называется подмножество декартова произведения A и B и обозначается R AxB

Бинарным отношением R на множестве А называют множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Вопрос №12. Операции над отношениями

Так как отношения сами являются множествами, то на них можно определить те же самые операции, что и операции над множествами. (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность) + обратное отношение, композиция.