13. Обратное соответствие.

Пусть дано соответствие G, являющееся подмножеством AxB.

G ∈ AxB H ∈ BxA.

Соответствие H, которое является подмножеством ВхА, называется обратным соответствию G, если:

∀(a,b) {(a,b) ∈ G ⇔(b, а) ∈ H} и H = G‾¹.

14. Теорема.

Пусть f некоторая функция. Соответствие G^-1 будет функциональным тогда и только тогда, когда функция f инъективна.

15. Способы задания функции.

1. Табличный

2. Графический

3. Формулой

4. Алгоритмом (- процедура, состоящая из последовательности шагов и приводящая к определенному результату)

5. Рекурсивно (- процедура, которая представляет собой два шага: задается значение функции f(1) или f(0); значение f(n+1) определяется через суперпозицию f от n и других известных функций)

Вопрос №9. Мощность конечного множества. Равномощные множества.

Теоремы:

1) О равномощных конечных множествах

2) О мощности множеств всех подмножеств конечного множества

Мощность это Мощность мн-ва: Число элементов конечного множества является натуральным числом и называется мощностью множества. Для конечного множества, состоящего из n элементов, его мощность равна n.

Равномощные мн-ва: Два множества называют равномощными, если между ними можно установить биекцию (взаимно однозначное соответствие), при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого.

Теорема 1. Пусть A и B – конечные множества. Следующие утверждения равносильны:

1. A и B равномощны;

2. card A = card B.

Теорема 2. Множество всех подмножеств множества А имеет мощность большую чем мощность множества А.

Для конечного множества теорема следует из равенства card P(A) = 2^{card A}. Таким образом теоремы можно записать в виде 2^{card A} > card A.

Доказательство:

Множество B всех одноэлементных подмножеств множества А является подмножеством Р(А) и равномощно множеству А. {a}  a Ɐ a ∈ A, таким образом card P(A) ⩾ card (A).

Вопрос №10. Бесконечные множества. Их равномощность. Теоремы:

1. О бесконечных подмножествах множества N 2) О мощности множества N^2 3) Мощность объединения двух счётных множеств 4) Теорема Кантора и следствие из неё

5) Теорема о мощности интервала 6) Основные результаты теории мощности бесконечных множеств. Проблема континуума

1) О бесконечных подмножествах множества n

Теорема 1 (О бесконечности подмножествах множества N)

Множество N всех натуральных чисел, а также любое множество, содержащее подмножество, равномощное N, бесконечны.

Доказательство.

Множество N бесконечно, т. к. отображение f(n) = n + 1 для любого

натурального числа n отображает взаимно однозначно N = {1, 2, 3, ...} на его

собственное подмножество N1 = {2, 3, 4, ...}. Значит, любое множество N',

равномощное N, бесконечно, а по теореме *(Любое надмножество

бесконечного множества само бесконечно) и любое множество, содержащее

подмножество N', равномощное N, также бесконечно.

Доказано.

2) О мощности множества N^2

Теорема 2 (О мощности множества N²)

Декартово произведение двух счетных множеств есть счетное множество.

Доказательство:

По определению декартово произведение есть множество всех упорядоченных пар. Разделим пары на группы, объединив пары с одинаковой первой компонентой (каждая группа имеет вид {a} B для какого-то ). Тогда каждая группа счетна (поскольку находиться во взаимно однозначном соответствии с В) и групп столько же, сколько элементов в А, т.е. счетное число.

Доказано.